2023年辽宁省营口实验中学等校中考数学一模试卷（含解析）

2023年辽宁省营口实验中学等校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是由个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  下列各运算中，计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

7.  在一个不透明的袋中装有个黄球、个黑球和个红球，它们除颜色不同外，其他都相同，现将若干个红球放入袋中，与原来的个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出个球是红球的概率为，则后来放入袋中红球的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  如图的半径为，是弦，点为弧的中点，若，则弦的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转，点落在延长线上的处，点落在处，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：


                                 
点、、是该抛物线上的点，则

 为任意实数
其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  某活动中，共募得捐款万元，将万用科学记数法表示为        ．

13.  若关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是______．

14.  如图，已知圆锥的高为，高所在的直线与母线的夹角为，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为        ．

15.  如图，等边三角形和等边三角形，点，点分别为，的中点，，，绕点旋转过程中，的最大值为        ．

16.  和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内若的周长为，则五边形的周长为        ．

三、解答题（本大题共9小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
某校为了激发学生学习党史的热情，组织了全校学生参加党史知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩得分取正整致，满分为分进行统计，绘制了两幅不完整的统计图．
求抽取了多少名学生的成绩？
请补全频数分布直方图及各组人数，并写出计算过程；
该校共有名学生若成绩分以上含分为一等奖，已知组中分以上含分的人数占组人数的，求全校获得一等奖的学生约有多少名？
 

19.  本小题分
将分别标有数字、、的个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．
若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？
若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于的概率用树状图或列表法求解．

20.  本小题分
年第届冬季奥运会在北京举行，激起了青少年对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场高级雪道缆车线路示意图，滑雪者从点出发，途经点后到达终点，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．
结果精确到米，参考数据：，，

21.  本小题分
如图，已知，是一次函数与反比例函数图象的两个交点，轴于点，轴于点．
求的值及一次函数解析式；
是线段上的一点，连接，，若和面积相等，求点坐标．

22.  本小题分
如图，是的直径，点，点在上，且，连接、，连接交于点，延长到点，使，连接．
求证：是的切线；
若，，求的长．

23.  本小题分
某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多元，若购进甲类拼图盒，乙类拼图盒，则费用为元．
求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
甲、乙两类拼图每盒售价分别为元和元该班计划购进这两类拼图总费用不低于元且不超过元若购进的甲、乙两类拼图共盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？

24.  本小题分
如图，正方形和正方形其中，连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系______，位置关系______；
如图，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由；
矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长．
 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．
求抛物线的解析式；
已知点，点为线段上一动点，连接并延长交抛物线于点，连结，当四边形的面积为时，求点的坐标；
已知点为轴上一动点，点为第二象限抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选D．  

3.【答案】 

【解析】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：学生一周课外阅读时间的出现次数最多的是小时，因此众数是；
将名学生的读书时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是小时，因此中位数是，
故选：．
根据中位数、众数的意义即可求出答案．
本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，单项式除法法则，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方法则逐项判断．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设后来放入袋中个红球，根据题意得：，
解得，
经检验，是方程的解，且符合题意，
答：后来放入袋中的红球有个．
故选：．
设后来放入袋中个红球，根据概率公式列出方程求得红球的个数即可．
本题考查了概率公式的应用以及分式方程的应用．注意用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、，与交于点，

点为 的中点，
，，
，
，
在中，，
．
故选：．
连接、，与交于点，根据垂径定理的推论可得，，然后根据圆周角定理可得，最后利用锐角三角函数求出，即可求出结论．
此题考查的是垂径定理的推论、圆周角定理和锐角三角函数，掌握垂径定理的推论、圆周角定理和锐角三角函数是解决此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过作于，
，，，
，
是斜边的中点，
，，
，
，
将绕点按顺时针方向旋转，点落在延长线上的处，
，
，
故选：．
过作于，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到结论．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，利用面积法求的长是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，
关于的方程有两个不相等的实数根，
，
正确；
抛物线的对称轴为，
，
，
正确；
抛物线的对称轴为，点在抛物线上，
点关于对称轴对称的点为
，且抛物线对称轴左边图象值随的增大而增大，
．
错误；
当时，，且，
，
，
正确；
，
方程中，
抛物线与轴只有一个交点，
图中抛物线开口向下，
，
，
即．
正确．
故选：．
逐一分析条结论是否正确：由抛物线与轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出该结论正确；根据抛物线的对称轴为，即可得出，即正确；根据抛物线的对称性找出点在抛物线上，再结合抛物线对称轴左边的单调性即可得出错误；由时，，即可得出，结合即可得出正确；由方程中结合，即可得出抛物线中，由此即可得出正确．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及抛物线与轴的交点，解题的关键是逐一分析条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象是关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，是基础知识要熟练掌握．
先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】
解：原式
．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：万．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有且只有个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式组，解此题的关键是能得出关于的不等式组．
 

14.【答案】 

【解析】解：设扇形圆心角为，
，，
，，
则圆锥的底面周长为：，
圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
，
解得：，
故答案为：．
根据锐角三角函数的定义分别求出，，根据扇形的弧长公式计算，得到答案．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，以为半径，点为圆心作圆，反向延长与圆交于点，如图，

绕点旋转，
点是在以为半径，点为圆心的圆上运动，
，
当点旋转到，即、、三点共线时，的值最大，最大为，
和都是等边三角形，
点，点分别为，的中点，，，
，，，，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
根据旋转的性质得，，
，即的最大值为．
故答案为：．
分析题意可知，点是在以为半径，点为圆心的圆上运动，连接，，以为半径，点为圆心作圆，反向延长与圆交于点，以此得到、、三点共线时，的值最大，再根据勾股定理分别算出、的值，则的最大值．
本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质、勾股定理，解题关键在于确定点是在以为半径，点为圆心的圆上运动．
 

16.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
≌，
．
和是两个全等的等边三角形，
，
等边的周长为，
等边的边长为，
五边形的周长，
，

．
故答案为：．
证明≌，得出由题意可知，则得出五边形的周长，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质把化简，代入计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、实数的混合运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：名，
答：抽取了名学生的成绩；
组人数为名，组人数为名，
组人数为名，
补全图形如下：

名，
答：全校获得一等奖的学生约有名． 

【解析】由组人数及其所占百分比即可得出总人数；
总人数分别乘以、对应的百分比求出其人数，再根据各分组人数之和等于总人数可求得组人数，从而补全图形；
总人数乘以获得一等奖人数所占比例即可．
本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

19.【答案】解：标号为奇数；
列表如下：

共有种等可能的结果，其中所摸出的两个球上数字之和等于记为事件的有种，
所以，． 

【解析】根据概率公式求解；
通过列表展示种等可能的结果，再找出所摸出的两个球上数字之和等于的结果数，然后利用概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

20.【答案】解：过点作于，
则四边形为矩形，
，
在中，，，
则米，
米，
在中，，米，
则米，
米，
答：垂直高度约为米． 

【解析】过点作于，根据正弦的定义分别求出、，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象过点，
，
点也在该反比例函数的图象上，
，
；
把点，代入得，解得，
一次函数的解析式为；
连接、，如图，设，
和面积相等，
，
解得，
当时，，
点坐标是 

【解析】把点坐标代入反比例函数中求出得到，则得到反比例函数解析式，然后利用反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
连接、，如图，设，利用三角形面积公式得到，解方程求出，从而得到点坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
 

22.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：，，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
的长是． 

【解析】连接，由是的直径，，则垂直平分，所以，则，由，得，则，所以，即可证明是的切线；
先由勾股定理求得，再证明∽，得，则，所以．
此题重点考查切线的判定、圆周角定理、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设甲类拼图每盒进价是元，乙类拼图每盒进价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲类拼图每盒进价是元，乙类拼图每盒进价是元；
设购进甲类拼图盒，则购进乙类拼图盒，
根据题意得：，
解得：．
设购进的甲、乙两类拼图全部售出后获得的总利润为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值．
答：当甲类拼图为盒时，所获得总利润最大，最大利润为元． 

【解析】设甲类拼图每盒进价是元，乙类拼图每盒进价是元，根据“甲类拼图每盒进价比乙类拼图多元，购进甲类拼图盒，乙类拼图盒时，总费用为元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进甲类拼图盒，则购进乙类拼图盒，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不低于元且不超过元，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，设购进的甲、乙两类拼图全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每盒的销售利润销售数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

24.【答案】解：相等，垂直；
不成立，，，理由如下：

如图，由知，，
，，，
，，
，
∽，
，即，
∽，
，
，
，
；
当点在线段上时，如图，

在中，，，则，
过点作于点，
，，
∽，
，即，
，，
则，
则；
当点在线段上时，如图，

过点作于点，
，，
同理得：，，
由勾股定理得：，
则；
综上，的长为． 

【解析】解：如图，

在正方形和正方形中，，
，
即，
，，
≌，
，，
，
，
，
故答案为：相等，垂直；
见答案；
见答案．
证明≌，即可求解；
根据两边对应成比例且夹角相等证明∽，即可求解；
当点在线段上时，如图，证明∽，列比例式可得的长；当点在线段上时，如图，同理可解．
本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中正确画图和分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：将，两点代入抛物线，
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
如图，连接，

，，
，，
设，
，
解得：或，
的坐标为或；
设，
分两种情况：
如图，点在轴的正半轴上，过点作轴于，

是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
点在抛物线上，
，
解得：舍或；
如图，点在轴的负半轴上，过点作轴于，

同理得：≌，
，，
，
点在抛物线上，
，
解得：舍或；
综上，点的坐标为或． 

【解析】将，点坐标代入抛物线解析式求出系数，的值，即可得解析式；
如图，连接，设，根据面积和列方程，解方程可得的值，进而可得结论；
分点在轴的正半轴和负半轴两种情况，作辅助线构建全等三角形，表示点的坐标，分别代入二次函数的解析式可解答．
本题属于二次函数的综合题，主要考查二次函数性质，三角形的面积，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用线段的长度表示点的坐标，分类讨论思想等相关知识，解题的关键是进行正确的分类讨论．