2022-2023学年广东省佛山市南海区平洲二中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市南海区平洲二中九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  神舟十三号从距离地面约千米空间站返回．将千米用科学记数法表示为米．(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图是化学实验室经常用到的玻璃漏斗，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  甲、乙两位同学去图书馆参加整理书籍的志愿活动，已知甲每小时比乙多整理本，甲整理本书所用的时间与乙整理本书所用的时间相同，设乙每小时整理本书，根据题意列方程得(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列命题中假命题是(    )

A. 二次函数的对称轴是直线
B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
C. 某双曲线经过点，则必过点
D. 方程无实数根

8.  为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

9.  在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列结论：
；
；
是等腰三角形；
的最小值为：；
，
其中正确结论的序号为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算：______．

12.  已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ______填“”，“”或“”

13.  如图，小树在路灯的照射下形成树影若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为______
 

14.  如图，某同学利用半径为的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽接缝忽略不计，若圆锥底面半径为，那么这个圆锥的侧面积是______ ．
 

15.  如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点且与反比例函数的图象交于点，，连接，若的面积为，则 ______ ．

 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为的正方形，点，，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限画一个使它与位似，且相似比：．
画出，点的坐标为______；
求的面积．

18.  本小题分
某商场以每件元的价格购进一批商品，当每件商品售价为元时，每天可售出件，为了迎接“双十一购物节”，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价元，那么商场每天就可以多售出件．
降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？

19.  本小题分
如图，四边形是矩形，点位于对角线上，将，分别沿、翻折，点，点都恰好落在点处．
求证：；
求证：四边形是菱形．

20.  本小题分
北京冬奥会，为了解学生最喜欢的冰雪运动，学校从全校随机抽取了部分学生，进行了问卷调查每个被调查的学生在种冰雪运动中只选择最喜欢做的一种，种冰雪运动分别是：、滑雪，、滑冰，、冰球，、冰壶；将数据进行整理并绘制成如图两幅统计图未画完整．

这次调查中，一共调查了______名学生，请补全条形统计图；
若全校有名学生，请估计该校最喜欢“滑冰”运动项目的学生数；
学校想要从档的名学生中随机抽取名同学谈谈自己的喜爱的原因，已知这名学生中名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同年级的概率．

21.  本小题分
如图，为的直径，为延长线上一点，弦与弦交于点，连接，于点，交于点，．
求证：是的切线；
若，，求的长．

22.  本小题分
如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．
观察猜想：
 图中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； 
探究证明：
把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； 
拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
 

23.  本小题分
如图，已知二次函数为常数的图象经过点，点，顶点为点，过点作轴，交轴于点，交二次函数的图象于点，连接．
求该二次函数的表达式及点的坐标；
若将该二次函数图象向上平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部不包括的边界，求的取值范围；
若为线段上一点，且：：，为直线上一点，在抛物线上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：千米米米．
故选：．
根据科学记数法表示较大的数的方法判断即可．
本题考查科学记数法．
 

3.【答案】 

【解析】解：该空心圆柱的俯视图为：

故选：．
根据从上边看到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查常见几何体的三视图，解题的关键是注意：可以看到的线用实线，看不到的线用虚线．
 

4.【答案】 

【解析】解：第一个不等式的解集为：；
第二个不等式的解集为：；
不等式组的解集为：．
在数轴上表示不等式组的解集为：

、、选项不符合题意，选项符合题意；
故选：．
先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再进行比较可得到答案．
把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，正确；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐一判断即可得出正确选项．
本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程．
设乙每小时整理本书，根据甲整理本书所用的时间与乙整理本书所用的时间相同，列方程即可得到结论．
【解答】
解：设乙每小时整理本书，根据题意列方程得，
故选A．  

7.【答案】 

【解析】解：、二次函数的对称轴是直线，正确，是真命题，不符合题意；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，符合题意；
C、某双曲线经过点，则必过点，正确，是真命题，不符合题意；
D、方程无实数根，正确，是真命题，不符合题意．
故选：．
利用二次函数的性质、正方形的判定方法、反比例函数的性质及一元二次方程根的判别式等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度较小．
 

8.【答案】 

【解析】解：抽查学生的人数为：人，
这名学生的睡眠时间出现次数最多的是小时，共出现次，因此众数是小时，
将这名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是小时，
故选：．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由直线可知，由抛物线开口向上，，不符合题意．
B.由抛物线开口向上，抛物线与轴交点在轴下方，在，不符合题意．
C.由直线可知，由抛物线开口向下，抛物线与轴交点在轴下方，，符合题意．
D.由直线可知，抛物线开口向下，不符合题意．
故选：．
根据各选项图象判断的取值范围求解．
本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

正方形的边长为，是对角线上一点，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
，
，故正确；
同理得：是等腰直角三角形，
，
，
四边形为矩形，
，
由四边形为正方形，所在直线为四边形的对称轴，可得，
，故正确；
当最小时，最小，此时，
，
的最小值等于，故正确；
点是正方形的对角线上任意一点，，
当或或时，是等腰三角形，
除此之外，不是等腰三角形，故错误．
延长交于，
，，
，

平分，，，
，
，，
在和中，，，
；故正确；
综上所述，正确，
故选：．
先证是等腰直角三角形，则，即可判断；
先证明是等腰直角三角形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，由四边形为正方形，所在直线为四边形的对称轴，可得，根据矩形对角线相等得，即可判断；
根据的任意性可以判断不一定是等腰三角形；
当时，即时，的最小值等于，即可求解；
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．

先根据乘方的意义和特殊角的三角函数值计算，然后进行有理数的减法运算．
本题考查了特殊角的三角函数值及有理数的乘方，记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据图示，可得：，
．
故答案为：．
根据图示，可得：，据此判断出的正负即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
．
故答案为：．
找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆锥侧面积公式为：
故答案为：．
利用圆锥的侧面积公式可以直接求出面积．
此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，注意公式的灵活应用．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
又，，，，
，，
，
故答案为：．
由的面积为，可求出的面积为，进而求出的面积为，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，，进而得出答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键．
 

16.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求，点的坐标为．
故答案为：；

的面积．

利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
本题考查作图位似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，学会用割补法求三角形面积．
 

18.【答案】解：元．
降价前商场每天销售该商品的利润是元．
设每件商品应降价元，
由题意，得，
解得，．
要更有利于减少库存，
．
答：每件商品应降价元． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据总利润单件利润销售数量解答；
根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
 

19.【答案】证明：在矩形中，，，，，
，
根据折叠可知，，，
；
，
，
，
四边形是平行四边形，
根据折叠可知，，
，
四边形是菱形． 

【解析】根据矩形的性质可得，，，，可得，根据折叠可知，，即可得证；
根据，可证，进一步可知四边形是平行四边形，根据折叠的性质，可知，即可得证．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，菱形的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：本次调查的学生共有名，
故答案为：，
档人数为人，
补全条形统计图如下：

人，
即估计该校最喜欢“滑冰”运动项目的学生为人；
用表示七年级学生，用表示八年级学生，用和分别表示九年级学生，
画树状图如下：

共有种等可能的情况数，其中抽到的名学生来自不同年级的情况有种，
抽到的名学生来自不同年级的概率是．
由档人数及其所占百分比可得被调查的总人数，再用总人数减去、、的人数求出档人数，从而补全条形统计图；
由全校学生人数乘以最喜欢“滑冰”运动项目的学生所占的百分比即可；
画树状图，共有种等可能的情况数，其中抽到的名学生来自不同年级的情况有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，
设，则，
，
，
，
为的直径，，
，
，
，
，∽，
，，
，，
，
． 

【解析】连接，根据垂直定义可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质，可得，从而可得，进而可得，即可解答；
设，则，根据勾股定理求出，根据平行线分线段成比例定理、三角形中位线的判定与性质及三角形相似的判定与性质求出，，根据线段的和差求解即可．
此题考查了切线的判定与性质、三角形中位线定理，熟记切线的判定定理与性质定理、三角形中位线定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：；；
是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转知，，
，，
在和中，

≌，
，，
利用三角形的中位线定理得，，，，，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，


，
，
，
，
是等腰直角三角形；
面积的最大值为． 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质．
首先判断出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出，，得出，，最后用互余即可得出结论；
先判断出≌，得出，同的方法即可得出结论；
先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】
解：点，分别是，的中点，
，，
点，分别是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
见答案；
如图，

同可得三角形为等腰直角三角形，
最大时，的面积最大，
当且在顶点上面，、、共线时，最大，此时，
连接，，
在中，，，
，
在中，，，
，
．  

23.【答案】解：将点，点代入，
，
解得，
，
；
平移后的函数解析式为，
平移后的顶点坐标为，
抛物线的顶点在的直线上，
设直线的解析式为，
，
，
，
当时，，
，
解得；
存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当时，，
解得或，
，
，
：：，
，
，
设，，
当为平行四边形的对角线时，
，
解得或，
或；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得或，
或；
当为平行四边形的对角线时，
，
此时无解；
综上所述：点坐标为或或或 

【解析】将点，点代入，即可求解；
平移后的顶点坐标为，求出直线的解析式，由题意可知，求出的取值即可；
设，，根据对角线分三种情况求解即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．