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专题05 圆的几何最值问题-【中考冲刺】2023年中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（安徽专用）
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这是一份专题05 圆的几何最值问题-【中考冲刺】2023年中考数学二轮复习名校模拟题重要考点分类汇编（安徽专用），文件包含专题05圆的几何最值问题解析版docx、专题05圆的几何最值问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
二轮复习【中考冲刺】2023年中考数学重要考点
名校模拟题分类汇编专题05
——圆的几何最值问题（安徽专用）
1．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=2，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据动点最值，将军饮马模型，如图所示，作点N关于AB的对称点N'，连接MN'交AB于P，△PMN周长为PM+PN+MN=2+PM+PN，由对称性知△PMN周长为=2+PM+PN=2+PM+PN'，根据两点之间线段最短可知△PMN周长的最小为2+MN'，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可得到答案．
【详解】解：作点N关于AB的对称点N'，则点N'在⊙O上，连接MN'交AB于P，
由对称性知PN=PN'，
∴△PMN周长为PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN'，
根据两点之间线段最短可知△PMN周长的最小为2+MN'，
∵点N是MB的中点，∠MAB=20°，
∴MN=NB=BN'，
∴∠BAN'=10°，
∴∠MAN'=20°+10°=30°，
∴∠MON'=60°，
∴△MON'是正三角形，
∴OM=ON'=MN'=12AB=4，
∵MN=2，
∴△PMN周长的最小值为2+4=6，
故选：C．
【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．
2．（2022·安徽·模拟预测）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是( )
A． B．2 C．1 D．6-2
【答案】C
【分析】取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据，可得结论．
【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．
∵AD=DB，，
∴．
∵CE⊥AF，
∴∠AMC=90°，
∴，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴，
∴DM的最小值为1，
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．
3．（2022·安徽·校联考三模）如图，点P是边长为6的等边△ABC内部一动点，连接BP，CP，AP，满足∠1=∠2，D为AP的中点，过点P作PE⊥AC，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．2 B．323 C．3 D．
【答案】D
【分析】在Rt△AEP中，DE=12AP，易得∠BPC=120°，故点P在△BCP的外接圆的弧BC上，当AP⊥BC时，AP有最小值23，则DE的最小值是．
【详解】解：如图所示，
∵PE⊥AC，
∴△APE是直角三角形，
∵D为AP的中点，
∴DE=12AP，
∴当AP最小时，DE最小．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠1+∠PBC=60º，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PBC=60º，
∴∠BPC=180º-(∠2+PBC)=120º，
∴点P在△BCP的外接圆的BC上，
找出△BPC的外心点O并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是BC，
∴当AP⊥BC时，AP有最小值，延长AP与BC交于点F，
此时∠PFC=90º，∠PBC=∠PCB=30º，FC=12BC=12×6=3，
∴PF=FC·tan∠PFC=3×33=，
AF=AC2-CF2=62-32=3，
∴AP的最小值=AF-PF=3-=2，
∴DE的最小值=12AP=12×2=．
故选：D．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、解直角三角形、勾股定理等知识；解题的关键是正确作出辅助线灵活运用知识解题．
4．（2022·安徽芜湖·统考二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点A出发在边AB上运动，同时动点Q从点B出发以同样的速度在边BC上运动．分别连接AQ,DP,AQ与DP相交于点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A．5 B．22 C．22-1 D．25-2
【答案】D
【分析】先由点P与点Q的速度相同得到AP=BQ，然后结合正方形的性质得证△DAP≌△ABQ，从而得到∠AED=90°，进而得到点E在以AD为直径的圆O上运动，最后连接OB交圆O于点E即为所求．
【详解】∵点P与点Q的速度相同，
∴AP=BQ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAP=∠ABQ，AB=AD，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠ABP=∠DAQ，
∵∠ADP+∠BAQ=90°，
∵∠DAE+∠BAQ=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴点E在以AD为直径的圆上，圆心为点O，
如图，连接OB，与圆O的交点即为所求，
∵AD=4，
∴AB=4，AO=2，
∴OB=AO2+AB2=22+42=25，
∴BE的最小值为OB-2=25-2，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形得到∠AED=90°，进而得到点E的运动轨迹．
5．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A．325 B．2 C．213-6 D．213-4
【答案】D
【分析】结合题意推导得∠APB=90°，取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得OP=OA=OB=12AB=4；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的⊙O上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得OC，通过线段和差计算即可得到答案．
【详解】∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OP，
∴OP=OA=OB=12AB=4
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在Rt△BCO中，
∵∠OBC=90°，BC=6，OB=4，
，
∴PC=OC-OP=213-4
∴PC最小值为213-4
故选：D．
【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
6．（2022·安徽合肥·校考一模）在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点N是线段BC的中点，点E、G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为（ ）.
A．106-5 B．113-5 C．5 D．6
【答案】A
【分析】作点N关于AB的对称点H，取CD的中点F，连接FH，交AB于点G，连接DM、FM、GM、NG，根据三角形三边关系可知，此时，GM+GN最小，求出最小值即可．
【详解】解：作点N关于AB的对称点H，取CD的中点F，连接FH，交AB于点G，连接DM、FM、GM、NG，如图所示，当H、M、F、G1在同一直线上时，GM+GN最小，最小值为FH-FM，
∵在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，
∴CD=10，BC=6，∠ABC=90°，
∵DE为直径，
∴∠DME=∠DMC=90°，
∵CD的中点为F，AB=10，
∴FM= FM=5，
由对称可知，BH=BN= ，
CH=9，
FH=CF2+CH2=52+92=106，
GM+GN最小值为106-5，
故选：A．
【点睛】本题考查了最短路径问题，矩形性质，解题关键是熟练运用轴对称和圆的相关性质，确定最短路径，利用勾股定理求出最小值．
7．（2022·安徽·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6 B．73﹣3 C．213﹣4 D．413﹣4
【答案】C
【分析】判断出点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，此时PC取得最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即∠PBC+∠PBA=90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PBA+∠PAB=90°，即∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，
此时PC取得最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6，
∴OB=OP=12AB=4，
由勾股定理得CO=OB2+BC2=42+62=213，
PC=213-4
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．
8．（2022·安徽·校联考三模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为（ ）
A．10-2 B．3-2 C．75 D．23-2
【答案】A
【分析】延长AE交BD于点F，根据平行四边形的性质可得AE∥CD，可得∠AFB＝∠BDC＝90°，可以证明△AFB≌△DFE，可得∠AEB＝135°，点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E′，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得，CE′即为CE的最小值，利用勾股定理可得CM的值，进而可得CE的最小值．
【详解】解：如图，延长AE交BD于点F，连接BE，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE∥CD，AC＝ED，∠EAC＝∠CDE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∠BDC＝90°，
∴ED＝AB＝AC＝2，∠BAF+∠CAE＝90°，∠CDE+∠EDF＝90°，∠AFB＝∠CDB＝∠DFE＝90°，
∴BC＝2AB＝22，
∴∠BAF＝∠EDF，
在△AFB和△DFE中，
∠BAF=∠EDF∠AFB=∠DFEAB=DE，
∴△AFB≌△DFE（AAS），
∴BF＝EF，
∴∠BEF＝45°，
∴∠AEB＝135°，
∴点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，
连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E′，
则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：
CE′即为CE的最小值，如图，
∴∠AMB＝90°，
∵AM＝BM，AB＝2，
∴∠MBA＝45°，BM＝22AB＝2，
∴∠MBC＝90°，
∴在Rt△MBC中，MC＝＝＝10，
∴CE′＝CM﹣ME′＝10﹣2．
即CE的最小值为10﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、勾股定理、最短路径问题、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9．（2022·安徽·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=22，D是AB上的动点，连接CD，过A作AG⊥CD于G，点E是BC的中点，连接GE，则GE的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．2 D．2-2
【答案】D
【分析】取AC中点O，连接OG，点G在以AC为直径的⊙O上运动，连接OE，则当点G在线段OE上时，GE取得最小值，即GE的最小值为OE－OG的值．
【详解】∵AG⊥CD
∴∠AGC=90゜
如图，取AC中点O，连接OG，则OG=12AC=2
∴点G在以AC为直径的⊙O上运动
连接OE，则OG+GE≥OE
即GE≥OE-OG
∴当点G在线段OE上时，GE取得最小值，且最小值为OE－OG
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=8+8=4
∵O、E分别是AC、BC的中点
∴OE是△ABC的中位线
∴OE=12AB=2
∴GE=OE－OG=2－2
故选：D．
【点睛】本题是线段的最值问题，考查了勾股定理，三角形中位线的性质等，关键和难点是知道动点G的运动路径．
10．（2021·安徽铜陵·统考二模）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB=30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中线段AC的最大值为（ ）．
A．2+33 B．1+3 C．2+32 D．23-2
【答案】B
【分析】连接OA、OB、AB、OC、OP，取OB的中点M，连接CM、AM，根据圆周角定理得出∠AOB=60°，从而得出△AOB是等边三角形，再利用勾股定理得出AM的长，利用三角形中位线定理得出CM的长，当A、M、C共线时，AC最大即可得出答案
【详解】解：连接OA、OB、AB、OC、OP，取OB的中点M，连接CM、AM，
∵∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴AM⊥BC,
∴AM=22-12=3，
∵C为PB的中点，OB的中点M，
∴CM=12OP=1，
∵AC＜AM+CM,
当A、M、C共线时，AC最大，
∴AC的最大值=3+1，
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形中位线定理、圆周角定理等知识，添加辅助线得出当A、M、C共线时，AC最大是解题的关键．
11．（2023·安徽淮北·校联考一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是矩形ABCD内一点，连接PA，PC，PD，若PA⊥PD，则PC的最小值为（ ）
A．213-4 B．210-3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】由PA⊥PD可得点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，连接CO交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案；
【详解】解：∵PA⊥PD，
∴点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，如图所示，
∴连接CO交圆于一点即为最短距离点P，如图所示，
∵AB=4，BC=6，
∴OD=3，DC=4，
根据勾股定理可得，
OC=32+42=5，
∴CP=5-3=2，
故选C．
【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点．
12．（2021·安徽池州·校联考三模）如图，在边长为10的正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的动点，且EF=8，点M为EF的中点，点N为边AD的一动点，则MN+CN的最小值为（ ）
A．105-4 B．105 C．85-4 D．85
【答案】A
【分析】延长CD到G，使GD=CD，CN+MN=GN+MN，当G，N，M三点共线时，GN+MN的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，4为半径的圆弧上，圆外一点G到圆上一点M距离的最小值GM=GB-4，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：延长CD到G，使GD=CD，
CN+MN=GN+MN，
当G，N，M三点共线时，GN+MN的值最小，
∵正方形ABCD中，EF=8，点M为EF的中点，
∴BM=12EF=4，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，4为半径的圆弧上，
圆外一点G到圆上一点M距离的最小值GM=GB-4，
∵BC=CD=10，
∴CG=20，
∴GB=BC2+CG2=102+202=105．
∴CN+MN的最小值是105-4．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到N点的位置是解题的关键．
13．（2021·安徽合肥·统考一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，点D是BC的中点，点E、F分别为半径OC，OB上的动点．若OB=2，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．2 B．23 C．4 D．43
【答案】B
【分析】连接OD，分别作D点关于OB、OC的对称点M、N，连接OM、ON，MN，MN交OM于F，交OC于E，交OD于P，如图，利用，FM=FB得到ΔDEF的周长，根据两点之间线段最短可判断此时ΔDEF的周长最小，接着证明∠MON=120°，OM=ON=2，然后计算出MN即可．
【详解】解：连接OD，分别作D点关于OB、OC的对称点M、N，连接OM、ON，MN，MN交OM于F，交OC于E，交OD于P，
如图，
，FM=FB，
∴ΔDEF的周长，
∴此时ΔDEF的周长最小，
∵点D是BC的中点，
∴∠BOD=∠COD=12∠BOC=30°，
点与D点关于OB对称，
，，
同理得，，
，OM=ON=2，
而∠MOP=60°，
∴OP⊥MN，，
∴PM=PN，
在中，，
，
，
∴ΔDEF周长的最小值为23．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和最短路径问题．
14．（2021·安徽·统考二模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足BFAE=ADAB．连接CP，若AB=4，BC=6，则CP的最小值为 （ ）
A．210－3 B．210－2 C．5 D．3
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到AD=BC，证明△BCF∽△ABE，推出∠BPA=90°，可得CP最短时点P的位置，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，再利用CG-PG即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCF=∠ABE=90°，又BFAE=ADAB，
∴BFAE=BCAB，
∴△BCF∽△ABE，
∴∠BAE=∠FBC，又∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠FBC=90°，
∴∠BPA=90°，
∴点P在以AB为直径的圆周上，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，
即此时CP最短，
∴BG=2，
∴CG=BG2+BC2=210，
∴此时CP=210-2，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及圆的性质，确定出CP最小时点P的位置是解题关键，也是本题的难点．
15．（2021·安徽安庆·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝5，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝13，则可得出答案．
【详解】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝12，BC＝9，
∴AB＝AC2+BC2＝122+92＝15，
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC，
∴△OPB∽△ACB,
∴OPAC=OBAB=23,
∵点O是AB的三等分点，
∴OB=23×15=10,，
∴OP＝8，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC,
∴ODBC=OAAB=13，
∴OD＝3，
∴MN最小值为OP﹣OF＝8﹣3＝5，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝OB+OE＝10+3＝13，
∴MN长的最大值与最小值的差是13﹣5＝8．
故选：D．
【点睛】本题考查切线的性质、三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确找到点MN取得最大值、最小值时的位置．
16．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=33，点E在AB上，AEEB=12，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为（ ）
A．4 B．23 C．27-2 D．213-4
【答案】C
【分析】以 BE为边在矩形内作等边三角形 BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点 P与点M重合时， PD最短，然后过点O作OG⊥AD于点C， 作 OH⊥AB 于点H，连接OB，先求出OH和BH的长，则DG=AD-AG= AD-OH =5-1=4，OG=AB-BH=23，在Rt△DOG中，利用勾股定理即可求得OD的长，进而可求出PD的最小值．
【详解】解：∵AB=33，=12，
∴AE=3，BE=23，
如图，以 BE为边在矩形内作等边三角形 BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点 P与点M重合时， PD最短，过点O作OG⊥AD于点C， 作 OH⊥AB 于点H，连接OB，
∵ △BEF为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴OH垂直平分BE，
∴∠OBH=30°，BH=3，
∴OH=BH⋅tan30°=1，OB=OH2+BH2=1+3=2，
∴DG=AD-AG= AD-OH =5-1=4，OG=AB-BH=23，
在Rt△DOG中，OD=DG2+OG2=42+232=27，
∴PD7min，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及圆的有关知识，解题的关键是作等边三角形 BEF及其外接⊙O．
17．（2022·安徽·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为___．
【答案】1
【分析】作AC为直径的圆，圆心为O，即可得当O、E、B三点共线时，BE是最短，根据勾股定理求OB的长度即可求．
【详解】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为O，连接CE，OE，OB，
∵E点在以CD为直径的圆上，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°，
∴点E也在以AC为直径的圆上，
∵AC＝8，
∴OE=OC＝4，
∵BC＝3，∠ACB＝90°，
∴OB=BC2+CO2=32+42=5，
∵点E在⊙O上运动，根据两点之间线段最短，
∴BE+OE≥OB，
∴当点B、E、O三点共线时OB最短，
∵OE定值，
∴BE最短＝OB﹣OE＝5﹣4＝1，
故答案为：1
【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径，掌握直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径是解题关键．
18．（2021·安徽·统考二模）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．
【答案】213-2
【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【详解】如图：
取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，
由以上作图可知，BG⊥EC于G，
PD+PG=PD′+PG=D′G，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，
∵D′C’=4，OC′=6，
∴D′O=42+62=213，
∴D′G=213-2，
∴PD+PG的最小值为213-2，
故答案为213-2.
【点睛】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
19．（2022·安徽淮南·统考一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为______．
【答案】22
【分析】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E'时，CE+DE长最小，此时的最小值为CD'的长度．
【详解】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴CD′=OC2+OD'2=22，
故答案为22．
【点睛】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质及圆心角与圆弧的关系是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
20．（2021·安徽·统考一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为____．
【答案】43π
【分析】如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．首先说明点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为弧BG，求出圆心角，半径即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴点F的运动轨迹在以边长BC为直径的⊙O上，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为弧BG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCG＝60°，
∴∠BOG＝120°，
∴弧BG的长=120⋅π⋅2180=43π，
故答案为：43π．
【点睛】本题考查菱形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点F的运动轨迹，属于中考常考题型．
二轮复习【中考冲刺】2023年中考数学重要考点
名校模拟题分类汇编专题05
——圆的几何最值问题（安徽专用）
1．（2022·安徽合肥·校联考三模）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=2，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据动点最值，将军饮马模型，如图所示，作点N关于AB的对称点N'，连接MN'交AB于P，△PMN周长为PM+PN+MN=2+PM+PN，由对称性知△PMN周长为=2+PM+PN=2+PM+PN'，根据两点之间线段最短可知△PMN周长的最小为2+MN'，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可得到答案．
【详解】解：作点N关于AB的对称点N'，则点N'在⊙O上，连接MN'交AB于P，
由对称性知PN=PN'，
∴△PMN周长为PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN'，
根据两点之间线段最短可知△PMN周长的最小为2+MN'，
∵点N是MB的中点，∠MAB=20°，
∴MN=NB=BN'，
∴∠BAN'=10°，
∴∠MAN'=20°+10°=30°，
∴∠MON'=60°，
∴△MON'是正三角形，
∴OM=ON'=MN'=12AB=4，
∵MN=2，
∴△PMN周长的最小值为2+4=6，
故选：C．
【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．
2．（2022·安徽·模拟预测）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是( )
A． B．2 C．1 D．6-2
【答案】C
【分析】取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性质求出MT，再根据，可得结论．
【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT．
∵AD=DB，，
∴．
∵CE⊥AF，
∴∠AMC=90°，
∴，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴，
∴DM的最小值为1，
故选：C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．
3．（2022·安徽·校联考三模）如图，点P是边长为6的等边△ABC内部一动点，连接BP，CP，AP，满足∠1=∠2，D为AP的中点，过点P作PE⊥AC，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．2 B．323 C．3 D．
【答案】D
【分析】在Rt△AEP中，DE=12AP，易得∠BPC=120°，故点P在△BCP的外接圆的弧BC上，当AP⊥BC时，AP有最小值23，则DE的最小值是．
【详解】解：如图所示，
∵PE⊥AC，
∴△APE是直角三角形，
∵D为AP的中点，
∴DE=12AP，
∴当AP最小时，DE最小．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠1+∠PBC=60º，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PBC=60º，
∴∠BPC=180º-(∠2+PBC)=120º，
∴点P在△BCP的外接圆的BC上，
找出△BPC的外心点O并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是BC，
∴当AP⊥BC时，AP有最小值，延长AP与BC交于点F，
此时∠PFC=90º，∠PBC=∠PCB=30º，FC=12BC=12×6=3，
∴PF=FC·tan∠PFC=3×33=，
AF=AC2-CF2=62-32=3，
∴AP的最小值=AF-PF=3-=2，
∴DE的最小值=12AP=12×2=．
故选：D．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、解直角三角形、勾股定理等知识；解题的关键是正确作出辅助线灵活运用知识解题．
4．（2022·安徽芜湖·统考二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点A出发在边AB上运动，同时动点Q从点B出发以同样的速度在边BC上运动．分别连接AQ,DP,AQ与DP相交于点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A．5 B．22 C．22-1 D．25-2
【答案】D
【分析】先由点P与点Q的速度相同得到AP=BQ，然后结合正方形的性质得证△DAP≌△ABQ，从而得到∠AED=90°，进而得到点E在以AD为直径的圆O上运动，最后连接OB交圆O于点E即为所求．
【详解】∵点P与点Q的速度相同，
∴AP=BQ，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAP=∠ABQ，AB=AD，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠ABP=∠DAQ，
∵∠ADP+∠BAQ=90°，
∵∠DAE+∠BAQ=90°，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴点E在以AD为直径的圆上，圆心为点O，
如图，连接OB，与圆O的交点即为所求，
∵AD=4，
∴AB=4，AO=2，
∴OB=AO2+AB2=22+42=25，
∴BE的最小值为OB-2=25-2，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形得到∠AED=90°，进而得到点E的运动轨迹．
5．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A．325 B．2 C．213-6 D．213-4
【答案】D
【分析】结合题意推导得∠APB=90°，取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得OP=OA=OB=12AB=4；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的⊙O上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得OC，通过线段和差计算即可得到答案．
【详解】∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OP，
∴OP=OA=OB=12AB=4
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在Rt△BCO中，
∵∠OBC=90°，BC=6，OB=4，
，
∴PC=OC-OP=213-4
∴PC最小值为213-4
故选：D．
【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
6．（2022·安徽合肥·校考一模）在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点N是线段BC的中点，点E、G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为（ ）.
A．106-5 B．113-5 C．5 D．6
【答案】A
【分析】作点N关于AB的对称点H，取CD的中点F，连接FH，交AB于点G，连接DM、FM、GM、NG，根据三角形三边关系可知，此时，GM+GN最小，求出最小值即可．
【详解】解：作点N关于AB的对称点H，取CD的中点F，连接FH，交AB于点G，连接DM、FM、GM、NG，如图所示，当H、M、F、G1在同一直线上时，GM+GN最小，最小值为FH-FM，
∵在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，
∴CD=10，BC=6，∠ABC=90°，
∵DE为直径，
∴∠DME=∠DMC=90°，
∵CD的中点为F，AB=10，
∴FM= FM=5，
由对称可知，BH=BN= ，
CH=9，
FH=CF2+CH2=52+92=106，
GM+GN最小值为106-5，
故选：A．
【点睛】本题考查了最短路径问题，矩形性质，解题关键是熟练运用轴对称和圆的相关性质，确定最短路径，利用勾股定理求出最小值．
7．（2022·安徽·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（ ）
A．6 B．73﹣3 C．213﹣4 D．413﹣4
【答案】C
【分析】判断出点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，此时PC取得最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，即∠PBC+∠PBA=90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PBA+∠PAB=90°，即∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，
此时PC取得最小值，
∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6，
∴OB=OP=12AB=4，
由勾股定理得CO=OB2+BC2=42+62=213，
PC=213-4
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．
8．（2022·安徽·校联考三模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC＝90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为（ ）
A．10-2 B．3-2 C．75 D．23-2
【答案】A
【分析】延长AE交BD于点F，根据平行四边形的性质可得AE∥CD，可得∠AFB＝∠BDC＝90°，可以证明△AFB≌△DFE，可得∠AEB＝135°，点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E′，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得，CE′即为CE的最小值，利用勾股定理可得CM的值，进而可得CE的最小值．
【详解】解：如图，延长AE交BD于点F，连接BE，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE∥CD，AC＝ED，∠EAC＝∠CDE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∠BDC＝90°，
∴ED＝AB＝AC＝2，∠BAF+∠CAE＝90°，∠CDE+∠EDF＝90°，∠AFB＝∠CDB＝∠DFE＝90°，
∴BC＝2AB＝22，
∴∠BAF＝∠EDF，
在△AFB和△DFE中，
∠BAF=∠EDF∠AFB=∠DFEAB=DE，
∴△AFB≌△DFE（AAS），
∴BF＝EF，
∴∠BEF＝45°，
∴∠AEB＝135°，
∴点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，
连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E′，
则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：
CE′即为CE的最小值，如图，
∴∠AMB＝90°，
∵AM＝BM，AB＝2，
∴∠MBA＝45°，BM＝22AB＝2，
∴∠MBC＝90°，
∴在Rt△MBC中，MC＝＝＝10，
∴CE′＝CM﹣ME′＝10﹣2．
即CE的最小值为10﹣2．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、勾股定理、最短路径问题、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9．（2022·安徽·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=22，D是AB上的动点，连接CD，过A作AG⊥CD于G，点E是BC的中点，连接GE，则GE的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．2 D．2-2
【答案】D
【分析】取AC中点O，连接OG，点G在以AC为直径的⊙O上运动，连接OE，则当点G在线段OE上时，GE取得最小值，即GE的最小值为OE－OG的值．
【详解】∵AG⊥CD
∴∠AGC=90゜
如图，取AC中点O，连接OG，则OG=12AC=2
∴点G在以AC为直径的⊙O上运动
连接OE，则OG+GE≥OE
即GE≥OE-OG
∴当点G在线段OE上时，GE取得最小值，且最小值为OE－OG
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=8+8=4
∵O、E分别是AC、BC的中点
∴OE是△ABC的中位线
∴OE=12AB=2
∴GE=OE－OG=2－2
故选：D．
【点睛】本题是线段的最值问题，考查了勾股定理，三角形中位线的性质等，关键和难点是知道动点G的运动路径．
10．（2021·安徽铜陵·统考二模）如图，⊙O的半径为2，定点P在⊙O上，动点A，B也在⊙O上，且满足∠APB=30°，C为PB的中点，则点A，B在圆上运动的过程中线段AC的最大值为（ ）．
A．2+33 B．1+3 C．2+32 D．23-2
【答案】B
【分析】连接OA、OB、AB、OC、OP，取OB的中点M，连接CM、AM，根据圆周角定理得出∠AOB=60°，从而得出△AOB是等边三角形，再利用勾股定理得出AM的长，利用三角形中位线定理得出CM的长，当A、M、C共线时，AC最大即可得出答案
【详解】解：连接OA、OB、AB、OC、OP，取OB的中点M，连接CM、AM，
∵∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴AM⊥BC,
∴AM=22-12=3，
∵C为PB的中点，OB的中点M，
∴CM=12OP=1，
∵AC＜AM+CM,
当A、M、C共线时，AC最大，
∴AC的最大值=3+1，
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形中位线定理、圆周角定理等知识，添加辅助线得出当A、M、C共线时，AC最大是解题的关键．
11．（2023·安徽淮北·校联考一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是矩形ABCD内一点，连接PA，PC，PD，若PA⊥PD，则PC的最小值为（ ）
A．213-4 B．210-3 C．2 D．4
【答案】C
【分析】由PA⊥PD可得点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，连接CO交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案；
【详解】解：∵PA⊥PD，
∴点P在以AD中点O为圆心AD为直径的圆上，如图所示，
∴连接CO交圆于一点即为最短距离点P，如图所示，
∵AB=4，BC=6，
∴OD=3，DC=4，
根据勾股定理可得，
OC=32+42=5，
∴CP=5-3=2，
故选C．
【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点．
12．（2021·安徽池州·校联考三模）如图，在边长为10的正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的动点，且EF=8，点M为EF的中点，点N为边AD的一动点，则MN+CN的最小值为（ ）
A．105-4 B．105 C．85-4 D．85
【答案】A
【分析】延长CD到G，使GD=CD，CN+MN=GN+MN，当G，N，M三点共线时，GN+MN的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，4为半径的圆弧上，圆外一点G到圆上一点M距离的最小值GM=GB-4，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：延长CD到G，使GD=CD，
CN+MN=GN+MN，
当G，N，M三点共线时，GN+MN的值最小，
∵正方形ABCD中，EF=8，点M为EF的中点，
∴BM=12EF=4，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，4为半径的圆弧上，
圆外一点G到圆上一点M距离的最小值GM=GB-4，
∵BC=CD=10，
∴CG=20，
∴GB=BC2+CG2=102+202=105．
∴CN+MN的最小值是105-4．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到N点的位置是解题的关键．
13．（2021·安徽合肥·统考一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，点D是BC的中点，点E、F分别为半径OC，OB上的动点．若OB=2，则△DEF周长的最小值为（ ）
A．2 B．23 C．4 D．43
【答案】B
【分析】连接OD，分别作D点关于OB、OC的对称点M、N，连接OM、ON，MN，MN交OM于F，交OC于E，交OD于P，如图，利用，FM=FB得到ΔDEF的周长，根据两点之间线段最短可判断此时ΔDEF的周长最小，接着证明∠MON=120°，OM=ON=2，然后计算出MN即可．
【详解】解：连接OD，分别作D点关于OB、OC的对称点M、N，连接OM、ON，MN，MN交OM于F，交OC于E，交OD于P，
如图，
，FM=FB，
∴ΔDEF的周长，
∴此时ΔDEF的周长最小，
∵点D是BC的中点，
∴∠BOD=∠COD=12∠BOC=30°，
点与D点关于OB对称，
，，
同理得，，
，OM=ON=2，
而∠MOP=60°，
∴OP⊥MN，，
∴PM=PN，
在中，，
，
，
∴ΔDEF周长的最小值为23．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和最短路径问题．
14．（2021·安徽·统考二模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足BFAE=ADAB．连接CP，若AB=4，BC=6，则CP的最小值为 （ ）
A．210－3 B．210－2 C．5 D．3
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到AD=BC，证明△BCF∽△ABE，推出∠BPA=90°，可得CP最短时点P的位置，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，再利用CG-PG即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCF=∠ABE=90°，又BFAE=ADAB，
∴BFAE=BCAB，
∴△BCF∽△ABE，
∴∠BAE=∠FBC，又∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠FBC=90°，
∴∠BPA=90°，
∴点P在以AB为直径的圆周上，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，
即此时CP最短，
∴BG=2，
∴CG=BG2+BC2=210，
∴此时CP=210-2，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及圆的性质，确定出CP最小时点P的位置是解题关键，也是本题的难点．
15．（2021·安徽安庆·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最大值与最小值之差是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，MN最小值为OP﹣OF＝5，当N在AB边上时，M与B重合时，MN最大值＝13，则可得出答案．
【详解】解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，过点O作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝12，BC＝9，
∴AB＝AC2+BC2＝122+92＝15，
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC，
∴△OPB∽△ACB,
∴OPAC=OBAB=23,
∵点O是AB的三等分点，
∴OB=23×15=10,，
∴OP＝8，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC,
∴ODBC=OAAB=13，
∴OD＝3，
∴MN最小值为OP﹣OF＝8﹣3＝5，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝OB+OE＝10+3＝13，
∴MN长的最大值与最小值的差是13﹣5＝8．
故选：D．
【点睛】本题考查切线的性质、三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确找到点MN取得最大值、最小值时的位置．
16．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=33，点E在AB上，AEEB=12，在矩形内找一点P，使得∠BPE=60°，则线段PD的最小值为（ ）
A．4 B．23 C．27-2 D．213-4
【答案】C
【分析】以 BE为边在矩形内作等边三角形 BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点 P与点M重合时， PD最短，然后过点O作OG⊥AD于点C， 作 OH⊥AB 于点H，连接OB，先求出OH和BH的长，则DG=AD-AG= AD-OH =5-1=4，OG=AB-BH=23，在Rt△DOG中，利用勾股定理即可求得OD的长，进而可求出PD的最小值．
【详解】解：∵AB=33，=12，
∴AE=3，BE=23，
如图，以 BE为边在矩形内作等边三角形 BEF，再作等边三角形BEF的外接⊙O，则点P在⊙O上运动，连接OD，交⊙O于点M，则当点 P与点M重合时， PD最短，过点O作OG⊥AD于点C， 作 OH⊥AB 于点H，连接OB，
∵ △BEF为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴OH垂直平分BE，
∴∠OBH=30°，BH=3，
∴OH=BH⋅tan30°=1，OB=OH2+BH2=1+3=2，
∴DG=AD-AG= AD-OH =5-1=4，OG=AB-BH=23，
在Rt△DOG中，OD=DG2+OG2=42+232=27，
∴PD7min，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及圆的有关知识，解题的关键是作等边三角形 BEF及其外接⊙O．
17．（2022·安徽·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝3，点D是BC边上动点，连接AD交以CD为直径的圆于点E，则线段BE长度的最小值为___．
【答案】1
【分析】作AC为直径的圆，圆心为O，即可得当O、E、B三点共线时，BE是最短，根据勾股定理求OB的长度即可求．
【详解】解：如图，作以AC为直径的圆，圆心为O，连接CE，OE，OB，
∵E点在以CD为直径的圆上，
∴∠CED＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CED＝90°，
∴点E也在以AC为直径的圆上，
∵AC＝8，
∴OE=OC＝4，
∵BC＝3，∠ACB＝90°，
∴OB=BC2+CO2=32+42=5，
∵点E在⊙O上运动，根据两点之间线段最短，
∴BE+OE≥OB，
∴当点B、E、O三点共线时OB最短，
∵OE定值，
∴BE最短＝OB﹣OE＝5﹣4＝1，
故答案为：1
【点睛】本题考查直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径，掌握直径所对圆周角性质，动点轨迹，勾股定理，最短路径是解题关键．
18．（2021·安徽·统考二模）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．
【答案】213-2
【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【详解】如图：
取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，
由以上作图可知，BG⊥EC于G，
PD+PG=PD′+PG=D′G，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，
∵D′C’=4，OC′=6，
∴D′O=42+62=213，
∴D′G=213-2，
∴PD+PG的最小值为213-2，
故答案为213-2.
【点睛】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
19．（2022·安徽淮南·统考一模）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为______．
【答案】22
【分析】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E'时，CE+DE长最小，此时的最小值为CD'的长度．
【详解】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴CD′=OC2+OD'2=22，
故答案为22．
【点睛】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质及圆心角与圆弧的关系是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．
20．（2021·安徽·统考一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为____．
【答案】43π
【分析】如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．首先说明点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为弧BG，求出圆心角，半径即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴点F的运动轨迹在以边长BC为直径的⊙O上，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为弧BG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCG＝60°，
∴∠BOG＝120°，
∴弧BG的长=120⋅π⋅2180=43π，
故答案为：43π．
【点睛】本题考查菱形的性质、弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点F的运动轨迹，属于中考常考题型．
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