2023年湖北省武汉市江南六校九年级下学期3月调考数学试卷

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数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数定义直接求值即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
的相反数是，
故选D．
【点睛】本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
2. 小明过马路时，恰好是红灯．这个事件是（　　）
A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 不确定事件
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机事件的定义（在一定条件下，可能发生也可能不发生的时间）即可.
【详解】解：小明过马路时，恰好是红灯,这个事件是随机事件.
故答案选：B.
【点睛】本题主要考查的是必然事件、随机事件、不可能事件的概念.解题的关键在于是否能熟练掌握随机事件的定义.
3. 下列图形是中心对称图形的是（　　）
A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正五边形
【答案】A
【解析】
【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，故选项符合题意；
B、等边三角形不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、等腰直角三角形不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、正五边形不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查中心对称图形的定义，熟记常见的中心对称几何图形是解决问题的关键．
4. 计算的结果是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方运算、幂的乘方运算分别求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查整式混合运算，熟记积的乘方运算、幂的乘方运算法则是解决问题的关键．
5. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从上面看，是三个并排的小正方形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6. 已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数图像与性质即可得到答案．
【详解】解：的，
反比例函数的图像在第二、四象限，
点在反比例函数的图像上，且，
，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数中与图像的象限关系是解决问题的关键．
7. 如果某函数的图像如下图所示，那么随的增大而（　　）

A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 有时增大有时减小
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数增减性定义，从左往右看，函数图像是下降的，即可确定随的增大而减小．
【详解】解：如图所示，从左往右看，函数图像是下降的，
随的增大而减小，
故选：B．
【点睛】本题考查函数增减性，数形结合理解函数增减性是解决问题的关键．
8. 小明邀请小红玩一个转盘游戏，准备下图三个可以自由转动转盘，小明转动转盘，小红记录转盘停下时指针所指的数字．当三个数字中有数字相同时，就算小明赢，否则就算小红赢．请你计算小明赢的概率是（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出树状图，共有8种结果，且是等可能的，找出含有相同数字的结果有6种，即可计算出小明赢的概率．
【详解】解：画树状图如下：

由图可知：共有8种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有6种．
则小明获胜的概率，
故选：D．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断、列表法与树状图法．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
9. 小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，，，，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作，过点作，连接交于点，根据勾股定理求出，再证明得，从而进一步可得结论．
【详解】解：过点作，过点作，连接交于点，如图，

在中，，
在中，，
∴
∵，
∴设，则，
∴
解得，,
∴,
∴；
在中，，
在中，，
设，则
同理可得，，
解得，，
∴
∴


∴
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴
∵，
∴最小的圆形纸板的直径应当为才能完全遮盖四边形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
10. “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中黄金分割点定义，在图（1）中令，设，，即，解得，从而，得到黄金分割比由点分别是线段的黄金分割点，可知，，，则，，，根据，代入求解即可得到，，．
【详解】解：如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，
令，设，则，则由，代值得，解得，
，
，
点分别是线段的黄金分割点，
，，，
，，，
将，代入求解即可得到，，，
故选：A．
【点睛】本题查处黄金分割点定义，涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长，读懂题意，理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算的结果是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式性质直接求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式性质，熟记二次根式性质是解决问题的关键．
12. 某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 _____．
尺码/
24

25

26
销售量/双
2
5
3
6
4

【答案】
【解析】
【分析】根据众数定义：一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数；结合题意可知这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是．
【详解】解：由表中数据可知，这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查众数定义，熟记众数定义是解决问题的关键．
13. 计算的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式混合运算法则化简即可得到答案．
【详解】解：





，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式混合运算，涉及因式分解、通分、约分等知识，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键．
14. 如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的D处同时施工．取，则B，D两点的距离是______m．

【答案】##
【解析】
【分析】过点作于点，先求出，再求出的长度，最后根据勾股定理分别求出，即可求解．
【详解】如图所示：过点作于点，则，

，
，
，
，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是准确作出辅助线．
15. 已知在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）过两点．下列四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④抛物线与轴交于两点，则．其中正确的是______（填写序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】由对称轴得到，从而确定①正确；由抛物线（是常数）过点，得到，将其代入，根据即可确定②正确；结合①②，由，得到，从而，即可确定③正确；利用根与系数的关系，结合两点之间距离公式求出，，假设取，即可确定④错误．
【详解】解：①抛物线（是常数）过两点，
对称轴，即，
若，则，即，解得，故①正确；
②抛物线（是常数）过点，
，得，即，
，
，故②正确；
③抛物线（是常数）过点，
，得，
对称轴，即，
当时，，即，
，即，解得，
，即，故③正确；
④抛物线与轴交于两点，
设，且，则，
，
，
，
抛物线（是常数）过两点，
，则，，
假设取，则，，即不满足，故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数相关性质，根据题意准确列出方程及不等式求解是解决问题的关键．
16. 如图，在中，，若，连接交于点，则的值为_____．

【答案】
【解析】
【分析】过作，过作，如图所示，先证明，得到，从而判定四边形是平行四边形，进而，得到，在中，；在中，；在中，，即可得到．
【详解】解：过作，过作，如图所示：

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，则，解得，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，，，则，
在中，，，则，
在中，，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查求三角函数值，涉及相似三角形判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及余弦函数定义，准确构造辅助线，熟练运用相似三角形判定与性质是解决问题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 解不等式组请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得______；
（2）解不等式②，得______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是______．
【答案】（1）
（2）
（3）解集在数轴上表示见解析
（4）
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解法，分别解出两个不等式，然后根据不等式解集在数轴上的表示方法表示即可，最后由数轴即可得出不等式组的解集．
【小问1详解】
解：，
，
解得：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
，
故答案为：；
【小问3详解】
解：由（1）（2）知，在数轴上表示不等式组解集为：
【小问4详解】
解：由（3）知不等式组解决为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键．
18. 如图，四边形为矩形，对角线交于点，交延长线于点．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形性质，得到，，由，结合平行四边形判定定理得到四边形为平行四边形，根据平行四边形性质得到，从而得到；
（2）由（1）知，则，根据矩形对角线相互平分且相等得到，即可求出．
【小问1详解】
证明：四边形为矩形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
；
【小问2详解】
解：四边形为平行四边形，
，
，
四边形为矩形，
，即是等腰三角形，
，
．
【点睛】本题考查矩形性质、平行四边形判定与性质及等腰三角形判定与性质，熟练掌握相关平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
19. 2021年7月，教育部印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某数学兴趣小组为了解本校九年级学生每周课外阅读的时间，随机调查了九年级部分学生，将收集的数据划分成4组，并将结果绘制成两幅不完整的统计图．
组别
A
B
C
D
时间t（小时）





请你根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ，扇形统计图中的m的值为 ，A组所在扇形的圆心角的大小为 ；
（2）若该校九年级共有600名学生，请估计该校九年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数．
【答案】（1）150 ，28 ，
（2）估计该校九年级每周课外阅读时间超过4小时的学生人数为312人
【解析】
【分析】（1）用D组的人数除以D组人数所占的百分比得到样本容量，再用B组人数乘以样本容量可得到的值，然后用乘以A组人数所占的百分比得到A组所在扇形的圆心角的大小；
（2）用600乘以样本中每周课外阅读时间超过4小时的学生人数所占的百分比即可得到答案．
【小问1详解】
解：，即本次调查的样本容量为150；
，即；
A组所在扇形的圆心角的度数为；
故答案为：150，28，；
【小问2详解】
解：（人，
估计该校七年级每周课外阅读时间超过4小时学生人数为312人．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图能看到各个项目所占百分比．
20. 如图，在中，，C为上一点，连接．

（1）若，求的度数；
（2）若的面积与的面积之比为，求的值．
【答案】（1）∠BOC的度数为50°
（2）
【解析】
【分析】（1）设，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据建立方程求解即可；
（2）过C作于H，设，根据三角形面积之比求出，则由勾股定理得，进而得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：过C作于H，设，

∵的面积与的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股可得，
在中，由勾股可得，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．、、、都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）在图中上方作以为斜边的等腰直角；
（2）连接，过作，垂足为；
（3）请你在图中下方找点，使，且平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据网格的特点找到格点，使得，且，连接，即可求解；
（2）找到格点，使得，进而证明，得出，即可求解；
（3）取点，使得，作平行四边形，延长交于点，则，点即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，，，则即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，

找到格点，使得，
则，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
解：如图所示，

取点，使得，作平行四边形，延长交于点，则
∵
∴，
∴,
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴四点共圆，
又∵
∴是直径，
∴，
∵，
∴，
即，且平分．

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰直角三角形的性质与判定，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的圆周角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. 一座拱桥的界面轮廓为抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
　　
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），其表达式是的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；
（2）求支柱MN的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽3m的隔离带），其中的一条行车道要能并排行驶三辆宽2m的汽车（汽车间的间隔忽略不计），则在最外侧车道上的汽车最高为_____m．高为2.5m的汽车在最外侧车道___（填“能”或“不能”）顺利通过拱桥下面．
【答案】（1），
（2）支柱MN的长度为
（3）2.625，能
【解析】
【分析】（1）根据题意得出、、，代入，即可求得．
（2）根据相邻两支柱间的距离均为5m，设，将代入求解．
（3）找到隔离带与并排行驶的车辆位置，转化为图上的点，求出点的坐标，带入解析式计算即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，、、，
将、代入，
得，
解得，．
【小问2详解】
解：由（1）知，，
根据相邻两支柱间的距离均为5m，设，
将代入，
解得，
由图可知，拱桥最高处到地面得距离为，
故支柱MN的长度为．
【小问3详解】
解：如图所示，设最外侧车道上得汽车位于点G处，汽车高度为GH，
DE为3m的隔离带，EG为并排行驶三辆宽2m的汽车得宽度，
则，


设，
将代入，
解得，
故在最外侧车道上的汽车最高为；

故高为2.5m的汽车在最外侧车道能顺利通过拱桥下面．

【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意求出点的坐标．
23. 问题提出：如图（1），在中，，D是内一点，，若，连接，求的长．

（1）问题探究：请你在图（1）中，用尺规作图，在左侧作，使．（用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不说明理由）
（2）根据（1）中作图，你可以得到与的位置关系是_______；你求得的长为_______；
（3）问题拓展：如图（2），在中，，D是内一点，若，求的长．
【答案】（1）作图见解析
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】（1）由，，可得，根据在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，以及所对的直角边等于斜边的一半，记中点为，连接，则，如图1，作线段中点，然后分别以为圆心，以线段长为半径画弧，交点即为，连接，即为所求；
（2）如图2，延长交于，，，，可得，可证，则，有；由以及所对的直角边等于斜边的一半可得的值，由，可得，，由，分别求的值，则，求的值，在中，由勾股定理得，，求的值即可；
（3）如图3，过A作，取，连接，延长交于，由，，可得，证明，则，，证，则，在，由勾股定理得，，则，是等腰三角形，，在，由勾股定理求的值，由，求的值，在，由勾股定理得，，求的值即可．
【小问1详解】
解：如图1，分别以为圆心，以线段长为半径画弧，连接两交点与交于点，然后分别以为圆心，以线段长为半径画弧，交点即为，连接，即为所求；
【小问2详解】
解：如图2，延长交于，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
故答案为： ，；
【小问3详解】
解：如图3，过A作，取，连接，延长交于，

∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在，由勾股定理得，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
在，由勾股定理得，，
∴，
在，由勾股定理得，，
∴的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，余弦，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24. 如图1，抛物线交轴于两点（在的左边），与轴交于点，是抛物线上一点．

（1）直接写出三点的坐标：______，______，______；
（2）若点到直线的距离等于，当为何值时，这样的点有且仅有3个；
（3）如图2，当在第二象限时，连接，若，求点坐标．
【答案】（1）
（2）时，这样的点有且仅有3个
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数图形与性质，结合题意，令，求出即可得到点坐标；令，解方程即可得到点坐标；
（2）连接，过抛物线下方满足条件的作交轴于，过作于，如图所示，若点到直线的距离等于，在抛物线上这样的点有且仅有3个，依题意可得上方抛物线上必定存在两个点到直线的距离等于，则只有当下方抛物线上有且只有一个点到直线的距离等于时才能满足要求，从而得到直线与抛物线有且只有一个交点，联立方程组，根据两个图像有且只有一个交点得到，解得，求出，在等腰中，求出即可满足题意；
（3）过作轴于，在下方取，连接，过作轴于，如图所示，由，得到，即，设，由，得到，解得，即，从而，由，，得到，解得，根据在第二象限的抛物线上，由可知，即可得到．
【小问1详解】
解：抛物线交轴于两点（在的左边），与轴交于点，
当时，，即；当时，，解得或，
在左边，
，
故答案为：；
小问2详解】
解：连接，过抛物线下方满足条件的作交轴于，过作于，如图所示：

，
若点到直线的距离等于，在抛物线上这样的点有且仅有3个，依题意可得上方抛物线上必定存在两个点到直线的距离等于，则只有当下方抛物线上有且只有一个点到直线的距离等于时才能满足要求，
直线与抛物线有且只有一个交点，且满足题意的点在第三象限，
，，
设直线：，则，解得，即直线解析式为，
，由函数图形平移可设直线，
联立，消去得，
，
直线与抛物线有且只有一个交点，
，解得，即，
，即，
，
，，
，即等腰直角三角形，
，则，
在等腰中，，则，
若点到直线的距离等于，当时，这样的点有且仅有3个；
【小问3详解】
解：过作轴于，在下方取，连接，过作轴于，如图所示：

设交轴于，
，
，
，
，
，即，
设，
，，
，
，即，解得，即，
，
，，
，
由得，则，
，解得，
在第二象限的抛物线上，由可知，
，即．
【点睛】本题考查二次函数综合，难度较大，涉及二次函数与坐标轴交点坐标求解、抛物线上点到直线距离为定值存在性问题、三角形相似的判定与性质及解三角形与二次函数综合等，熟练掌握二次函数图像与性质，读懂题意，将几何问题转化为代数问题，数形结合求解是解决问题的关键．