广东省广州市华南师范大学附属中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试卷
展开2022学年第二学期九年级综合训练
数学 综合训练题
一、选择题(本大题共10题,每小题3分,满分30分)
1. 下列平面图形中,是棱柱的侧面展开图的是( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据棱柱的特点即可得出答案.
【详解】解:A.棱柱的侧面展开图是矩形,故该选项符合题意;
B、C、D选项都不是棱柱的侧面展开图,故都不符合题意;
故选:A.
【点睛】本题考查的是棱柱的展开图,掌握常见几何体的展开图是解题的关键.
2. 下列图形中,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念即可作出判断.中心对称图形的概念:在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形.
【详解】解:A、是中心对称图形,符合题意;
B、不是中心对称图形,不合题意;
C、不是中心对称图形,不合题意;
D、不是中心对称图形,不合题意.
故选:A.
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念,正确把握中心对称图形的概念是解题关键.
3. 若式子有意义,则实数x的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可以得到且,即可得到x的取值范围.
【详解】由题意得:且,解得且,
故选:D.
【点睛】此题考查分式有意义的条件,分式有意义时需使分母不等于0,但是这里的分子是二次根式,还需使二次根式的被开方数大于等于0,即使分子有意义,分母不等于0.
4. 若一次函数()的图象经过点,则k的值为( )
A. 2 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】
【分析】把代入,即可求出k的值.
【详解】解:把代入得:
,
∴.
故选:C.
【点睛】此题考查了用待定系数法求函数解析式,掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键.
5. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用乘方运算法则,二次根式的加减法则,分式的加减法则以及完全平方公式分别计算结果,从而得出结论.
【详解】A.,故A选项错误;
B.,故B选项错误;
C.,故C选项正确;.
D.,故D选项错误;
故选C.
【点睛】本题主要考查了二次根式,分式,整式等运算性质,熟练掌握有理数的乘方法则,二次根式的加减法则,分式的加减法则以及完全平方公式是解决本题的关键.
6. 如图,二次函数的图象与x轴交于A,两点,则下列说法正确的是( )
A. B. 点A的坐标为
C. 当时,y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴为直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断.
【详解】由图可得开口向上,故a>0,A错误;
∵解析式为,故对称轴为直线x=-2,D正确
∵
∴A点坐标为(-3,0),故B错误;
由图可知当时,y随x的增大而减小,故C错误;
故选D.
【点睛】此题主要考查二次函数图象与性质,解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点.
7. 已知A,B,C三点在数轴上从左向右排列,且,原点O为中点,则点B所表示的数是( ).
A. 1 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出,根据线段中点的定义可得,从而可得,且点在原点的左侧,再根据数轴的性质即可得.
【详解】解:由题意,画出图形如下:
,
,
原点为中点,
,
,
,且点在原点的左侧,
则点表示的数为,
故选:B.
【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算、数轴,熟练掌握数轴的性质和线段中点的运算是解题关键.
8. 疫情期间进入学校都要进入测温通道,体温正常才可进入学校,昌平某校有2个测温通道,分别记为A、B通道,学生可随机选取其中的一个通道测温进校园.某日早晨该校所有学生体温正常.小王和小李两同学该日早晨进校园时,选择同一通道测温进校园的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再利用概率公式计算可得.
【详解】解:列表格如下:
A
B
A
A,A
B,A
B
A,B
B,B
由表可知,共有4种等可能的结果,其中小王和小李从同一个测温通道通过的有2种可能,
所以小王和小李从同一个测温通道通过的概率为.
故选:C
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
9. 如图,在正方形中,点E,G分别在,边上,且,,连接、,平分,过点C作于点F,连接,若正方形的边长为4,则的长度是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长交于H,利用已知条件证明,然后利用全等三角形性质证明,最后利用勾股定理即可求解.
【详解】解:如图:延长交于H,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
而,
∴,
∵,正方形的边长为4,
∴,,,
在中,,
在中,,
∴,
∴.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,也利用了正方形的性质,三角形中位线的性质,具有一定的综合性,解题关键是作出辅助线,利用全等三角形、正方形和三角形中位线的性质以及勾股定理求解.
10. 如图,在平面直角坐标系中,点,,正六边形沿x轴正方向无滑动滚动,保持上述运动过程,经过的正六边形的顶点是( ).
A. 点C或点E B. 点B或点D C. 点A或点E D. 点B或点F
【答案】D
【解析】
【分析】先分别找出经过的点有D,F,经过的点有E,A,经过的点有F,B,经过的点有A,C,经过的点有B,D,再由六边形6次滚动一周即可得解.
【详解】解:在滚动过程中,经过的点有D,F,经过的点有E,A,经过的点有F,B,经过的点有A,C,经过的点有B,D,因为是六边形可知6次滚动一周,因为从到,滚动了10个单位,因为,即通过1周滚动后,再滚动4次,
故选D.
【点睛】本题主要考查了正多边形与坐标与图形,熟练根据所给条件找出正六边形的滚动规律是解题的关键.
二、填空题(本大题共6题,每小题3分,满分18分)
11. 有甲、乙两组数据,如下表所示:
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲、乙两组数据的方差分别为,,则______(填“>”,“<”或“=”)
【答案】>
【解析】
【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数,再根据方差公式进行计算即可得出答案.
【详解】解:=×(11+12+13+14+15)=13,
s甲2= [(11-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2]=2,
=×(12+12+13+14+14)=13,
s乙2= [(12-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(14-13)2]=0.8,
∵2>0.8,
∴s甲2>s乙2;
故答案为:>.
【点睛】本题考查方差的定义:一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为,则方差,它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.
12. 分解因式:3x2﹣6xy=__.
【答案】3x(x﹣2y)
【解析】
【详解】3x2﹣6xy=3x(x﹣2y),
故答案为3x(x﹣2y).
13. 如图,在四边形中,,,,点O为的中点,则___.
【答案】##度
【解析】
【分析】先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形,则,再利用勾股定理得逆定理证明是直角三角形,即,由此即可得到答案.
【详解】解:∵点O为的中点,,
∴,
∵,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∵,
∴是直角三角形,即
∴,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定,勾股定理得逆定理,证明四边形是平行四边形是解题的关键.
14. 分式方程的解是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式方程的求解方法计算即可.
【详解】
,
经经验,是原方程的根,
即:.
【点睛】本题考查了解分式方程的知识,掌握求解分式方程的方法是解答本题的关键.解分式方程时,记得对所求的根进行检验.
15. 在中,,,,以所在直线为轴,把旋转一周,得到圆锥,则该圆锥的全面积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出,结合圆锥的全面积公式即可得到答案.
【详解】解:∵,,,
∴,
∵所在直线为轴,把旋转一周,得到圆锥,
∴圆锥的面积为:,
故答案为:
【点睛】本题考查勾股定理及圆锥全面积,解题的关键是熟练掌握及.
16. 如图,中,于点D,,,,若将绕点D逆时针方向旋转得到,当点E恰好落在上,连接,则的长是__________.
【答案】
【解析】
【分析】过点D作于点H,由等腰直角三角形的性质,可得,由勾股定理求出的长,由旋转的性质得出,,,证出,设,,由勾股定理求出a可得出答案.
【详解】解:过点D作于点H,
,,
,
,,
,
,
∵将绕点D逆时针方向旋转得到,
,,,,
,,
,
,
设,则,
,
,
,
,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,等腰三角形的性质,旋转的性质,锐角三角函数的定义,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
三、解答题(本大题共9小题,满分72分)
17. 解不等式:,并把不等式的解集在数轴上表示出来.
【答案】,图见详解;
【解析】
【分析】移项,合并同类项,系数化为1,再在数轴上表示即可得到答案.
【详解】解:移项得,
,
合并同类项得,
,
系数化为1得,
,
在数轴上表示为:
;
【点睛】本题考查解一元一次不等式,解题的关键是熟练掌握不等式的性质.
18. 如图,已知OA=OC,OB=OD,∠1=∠2,求证:AB=CD
【答案】见解析
【解析】
【分析】由∠1=∠2,∠DOA=∠DOA,得∠BOA=∠DOC,构成SAS条件证明△BOA≌△DOC,从而得到AB=CD.
【详解】证明:∵∠1=∠2,
∴∠BOA=∠DOC
在△BOA和△DOC中
∴△BOA≌△DOC(SAS)
∴AB=CD.
【点睛】本题考查了三角形全等的判定,利用公共角求等角是解决本题的关键.
19. 为了传承优秀传统文化,某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表:
成绩分
频数
频数
10
0.05
20
0.10
30
0.30
80
0.40
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)______,______;请补全频数分布直方图;
(2)这次比赛成绩的中位数落在______分数段;
(3)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有多少人?
【答案】(1)60,0.15,补全图形见解析
(2)80≤x<90.
(3)该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人.
【解析】
【分析】(1)从图表中可知频率b对应的频数是30,频数a对应的频率是0.30,结合“频率= 频数总数 ”即可求出a、b的值; 结合统计图表中的数据即可补全直方图;
(2)结合中位数的定义,再根据频数分布直方图中的数据即可求解;
(3)从图表中找出“优”等的频率,利用样本估计总体的方法即可解答.
【小问1详解】
解:根据图中数据可得: b=30÷200=0.15,a=0.30×200=60,
频数分布直方图,如图:
故答案为:60,0.15.
【小问2详解】
根据频数分布直方图可知,,
200个数据中排在第100个,第101个数据落在80≤x<90分数段.
所以中位数落在80≤x<90分数段.
故答案为:80≤x<90.
【小问3详解】
从统计图表中可知“优”等的频数是0.40, 0.40×3000=1200(人),
则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人.
【点睛】本题考查的是一道统计类型的题目,考查的是从频数分布表与频数直方图中获取信息,利用样本估计总体,掌握频数分布直方图以及从图表中获取信息是解答本题的关键.
20. 驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾,某研究所经实验测得:成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间函数关系如图所示(当4≤x≤10时,y与x成反比例).
(1)根据图象分别求出血液中酒精浓度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式.
(2)问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时?
【答案】(1)y=(4≤x≤10).(2)6小时.
【解析】
【分析】(1)当0≤x≤4时,设直线解析式为:y=kx,当4≤x≤10时,设反比例函数解析式为:y=,利用待定系数法即可解决问题;
(2)分别求出y=200时的两个函数值,再求时间差即可解决问题.
【详解】解:(1)当0≤x≤4时,设直线解析式为:y=kx,将(4,400)代入得:400=4k,
解得:k=100,故直线解析式为:y=100x,
当4≤x≤10时,设反比例函数解析式为:y=,将(4,400)代入得:
400=,
解得:a=1600,故反比例函数解析式为:y=;
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=100x(0≤x≤4),
下降阶段的函数关系式为y=(4≤x≤10).
(2)当y=200,则200=100x,
解得:x=2,
当y=200,则200=,
解得:x=8,
∵8﹣2=6(小时),
∴血液中药物浓度不低于200微克/毫升持续时间6小时.
【点睛】本题考查了反比例函数的应用,解题的关键是熟练的掌握反比例函数的性质.
21. 已知.
(1)化简A;
(2)若a,b是方程的两根,求A的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据整式乘除法则与加减法则直接化简即可得到答案;
(2)根据根与系数的关系得到两根和与两根积的关系代入求解即可得到答案;
【小问1详解】
解:由题意可得,
;
【小问2详解】
解:∵a,b是方程的两根,
∴,,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查整式化简求值与一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是熟练掌握 ,.
22. 如图,在中,,以为直径的半圆O交于点D.
(1)尺规作图:过点D作半圆O的切线,交于点E;
(2)求证:;
(3)若,,求半圆O的半径长.
【答案】(1)见详解 (2)见详解
(3)
【解析】
【分析】(1)以D点为圆心画弧交于两点,再以这两点为圆心,以合适的长度为半径画弧,两弧交于一点,将该点与D点连接,交于点E,即可;
(2)连接,先得到,根据“三线合一”可得:平分,即有,再根据,可得,问题随之得解;
(3)利用勾股定理可得,根据(2)中的相关结论再证明,即有,即可得,问题得解.
【小问1详解】
以D点为圆心画弧交于两点,再以这两点为圆心,以合适长度为半径画弧,两弧交于一点,将该点与D点连接,交于点E,如图,
即为半圆O的切线;
证明:连接,如图,
根据作图可知:,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵是圆的半径,
∴即为半圆O的切线;
【小问2详解】
证明:连接,如图,
∵是圆的直径,
∴,
∴,,
∵,
∴根据“三线合一”可得:平分,
∴,
∵即为半圆O的切线,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴;
【小问3详解】
根据(1)可知:,
∵,,
∴,
根据(2)可知:,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴半圆O的半径长为.
【点睛】本题考查了圆周角定理,相似三角形的判定与性质,切线的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识,掌握切线的判定与性质是解答本题的关键.
23. 如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东方向上,沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向上,B在D的北偏西方向上.
参考数据:,,.
(1)求证:;
(2)求A,B两点间的距离.
【答案】(1)见详解 (2)96米
【解析】
【分析】(1)结合图形有:,,即有,问题随之得解;
(2)解可求出的长,根据(1)证明是直角三角形,求出的长,根据可得结论.
【小问1详解】
∵ A,B均在C的北偏东方向上,B在D的北偏西方向上,
∴结合图形有:,,
∴,
∴,
∴;
【小问2详解】
∵A,B均在C的北偏东方向上,A在D的正北方向,且点D在点C的正东方,
∴是直角三角形,
∴,
∴,
在中,,米,
∴米,
∵,
∴,即是直角三角形,
∴,
∴米,
∴米,
答:A,B两点间的距离为96米.
【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用,解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题.
24. 四边形是正方形,E是直线上一点,连接,在右侧,过点E作射线,F为上一点.
(1)如图1,若点E是边的中点,且,连接,则________;
(2)如图2,若点E是边上一点(不与B,C重合),,判断线段与的数量关系,并说明理由;
(3)若正方形边长为1,且,当取最小值时,求的面积.
【答案】(1)
(2),理由见解析
(3)
【解析】
【分析】(1)如图所示,过点F作交延长线于G,利用证明∴,得到,进而证明,得到,则;
(2)如图所示,在上取一点M使得,先证明,然后利用证明,即可证明;
(3)先利用一线三垂直模型分图1和图2两种情况,证明,推出,即点F在直线上运动;如图3所示,作点B关于直线的对称点H,连接,则,则当三点共线时,最小,即最小,求出直线解析式为,联立,求出,则.
【小问1详解】
解:如图所示,过点F作交延长线于G,
∵四边形是正方形,
∴,
∴,
∵,即,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为:;
【小问2详解】
解:,理由如下:
如图所示,在上取一点M使得,
∴,即,
∵,
∴,
∴,
∵,即,
,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴;
【小问3详解】
解:如图1所示,当点E在右侧时,过点F作交延长线于G,以B为原点,所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,设,
∴,
同理可证,
∴,
∴,
∴,
∴点F在直线上运动;
如图2所示,当点E在左侧时,
∴,
同理可证,
∴,
∴,
∴,
∴点F在直线上运动;
综上所述,点F的运动轨迹即为直线;
如图3所示,作点B关于直线的对称点H,连接,则,
∴,
∴,
∴当三点共线时,最小,即最小,
设直线解析式为,
∴,
∴,
∴直线解析式为,
联立,解得,
∴,
∴.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,全等三角形的性质与判定,轴对称最短路径问题,一次函数与几何综合,等腰直角三角形的性质与判定等等,正确作出辅助线是解题的关键.
25. 已知抛物线(,且a为常数)
(1)当抛物线顶点处于最高处时,求a的值;
(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求a的取值范围:
(3)在(1)的条件下,存在正实数m,n(),当时,恰好,求m,n的值.
【答案】(1)1 (2)
(3),
【解析】
【分析】(1)将抛物线解析式变形,求出顶点坐标为:,根据,即可求解;
(2)设关于原点对称的两个点的坐标为:,,代入抛物线解析式,两式相加得:,问题随之解得;
(3)根据(1)条件可知:,由,可得,由,可得,即,抛物线对称轴,开口向下,即当时,y随x增大而减小,可得,将①变形得:,根据,可得,n可求;同理整理②得:,问题随之得解.
【小问1详解】
∵,
∴抛物线的顶点坐标为:,
∵,
∴当时,,
即此时抛物线顶点处于最高处,
∴a的值为1;
【小问2详解】
设关于原点对称的两个点的坐标为:,,
代入:,
两式相加:,
整理:,
∴,
∵,
∴解得:,
即取值范围:;
【小问3详解】
根据(1)的条件可知:,
即:,
∴,
∵m,n()为正实数,,
∴
∴,
∴,即,
∴,
∵抛物线对称轴,开口向下,
∴当时,y随x增大而减小,
∴当时,,
当时,,
又,
∴,
将①整理得:,
∴变形得:,
∴,
∵,
∴,
∴(舍去),
同理整理②得:,
∵,
∴,(舍去),(此时与n相等,舍去)
∴综上所示:,.
【点睛】主要考查了二次函数综合题,解答该题时,需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象的对称性,二次函数图象的增减性,二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法.该题计算量比较大,需要细心解答.难度较大.
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