2021-2022学年上海市青浦区高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市青浦区高一上学期期末数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市青浦区高一上学期期末数学试题 一、填空题1．已知集合，，则______.【答案】【分析】根据交集的定义求解判断.【详解】因为，，由交集的定义可得.故答案为：2．若，则_____【答案】；【解析】根据对数运算与指数运算的关系可直接求得结果.【详解】，.故答案为：.3．不等式的解集是______.【答案】【分析】两边同乘以,变为一元二次不等式解出解集即可.【详解】解:因为,所以,两边同时乘以可得:,解得或,所以解集为:故答案为: 4．用反证法证明命题：“若 ， 且 ，则 和 中至少有一个小于2”时，应假设___．【答案】 两者都大于或等于2【分析】由反证法思想：先否定原结论并推出矛盾，故只需写出原结论的否命题即可.【详解】由于“，中至少有一个小于”的反面是“，都大于或等于”，故用反证法证明命题: “若且，则，中至少有一个小于”时，应假设，都大于或等于.故答案为：和都大于或等于 .5．已知幂函数在区间是减函数，则实数的值是__________．【答案】3【详解】∵幂函数在区间是减函数∴，解得：故答案为36．函数且的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是_____.【答案】【分析】令，得，【详解】令，则有所以过定点故答案为：【点睛】处理与指数函数有关的函数过定点时是利用且.7．函数的最大值为________【答案】【分析】首先求出函数的定义域，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求出最大值.【详解】函数的定义域为，函数在上是增函数，函数在上是减函数，根据结论：增函数减函数增函数，函数在上是增函数，当时，函数有最大值，故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题.8．已知关于x的不等式有实数解，则a的取值范围是______.【答案】【分析】分离参数转化为能成立问题，再利用绝对值不等式求解.【详解】由题意得，因为，当时等号成立，所以.故答案为：.9．函数在区间上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是          ．【答案】【分析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性即可求出x的范围即可．【详解】因为f（x）为奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝1，于是﹣1≤f（x﹣2）≤1等价于f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），又f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，∴﹣1≤x﹣2≤1，∴1≤x≤3．故答案为【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，考查转化思想，属于基础题．10．当，时，则的取值范围是______.【答案】【分析】先，，得到，，，推出，，令，，用定义法判断该函数单调性，即可得出结果.【详解】因为，，所以，，，即，因此，所以，令，，任取，则，因为，所以，，因此，即，所以函数在上单调递增，所以，即的取值范围是.【点睛】本题主要考查由函数单调性求取值范围，熟记函数单调性的定义，以及对数的运算性质即可，属于常考题型.11．若函数的值域为，则实数的取值范围是________【答案】【分析】分类讨论，先由求出的取值范围，再结合时二次函数的单调性求解值域即可【详解】当时，，；当时，是减函数，，要满足，此时应满足 ，即故答案为【点睛】本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题12．已知，函数在区间上有两个不同零点，则的取值范围是________.【答案】【分析】设函数的两个不同的零点分别为，且，用表示后利用基本不等式可求的取值范围.【详解】设函数在上的两个不同的零点分别为，则为的两个不同的解，所以，，故，由基本不等式可得，，故，因，故等号不可取，所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查函数的零点、二次函数的图象和性质和基本不等式，注意用二次方程的根表示目标代数式，本题属于难题. 二、单选题13．已知，条件：，条件：，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分性、必要性的定义，结合对数的运算性质和对数函数的性质进行判断即可.【详解】若，则有，因此有，故；反之，若，当其中有负数时，不成立，故是的必要不充分条件.故选：B14．下列函数中，值域是的是A． B．C． D．【答案】D【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．【详解】对于A：的值域为；对于B：，，，的值域为；对于C：的值域为；对于D：，，，的值域为；故选D．【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．15．已知定义域为R的函数满足：对任意，恒成立，则函数（    ）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数【答案】C【解析】利用赋值法，再根据函数的奇偶性定义，即可求解.【详解】令，则，令，则，令，则，即，所以函数既是奇函数又是偶函数.故选：C.【点睛】判定函数的奇偶性的常见方法：（1）定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称，再化简解析式验证货等价形式是否成立；（2）图象法：若函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；若函数的图象关于轴对称，可得函数为偶函数；（3）性质法：设的定义域分别为，那么它们的公共定义域上，奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇.16．设函数的定义域为D，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数为“倍增函数”，且满足存在，使在上的值域为，所以在上是增函数 ，则，即， 方程有两个不等实根且两根都大于零，设,有两个不等实根都大于零， , 解得，选C.【点精】本题为自定义信息题，属于创新题型，解决自定义信息题，首先要把新定义读懂，所谓“倍缩函数”就是要满足它的定义要求的函数，函数的定义域为D，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，就是要求自变量取值于[a,b],对应的值域为，对于所给函数按照“倍缩函数”的定义，列出需要满足的要求，化简转化后解不等式求出结论. 三、解答题17．已知关于x的不等式的解集为S.(1)当时，求集合S；(2)若且，求实数m的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）将代入后，将分式不等式转化为一元二次不等式求解；（2）根据元素与集合的关系，转化为不等关系，列式求m的取值范围.【详解】（1）当时，，解得：，所以不等式的集合为；（2）若且，则或，解得：或，所以的取值范围是.18．函数的定义域为，关于的不等式的解集为.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）若，试求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【详解】试题分析：(Ⅰ)函数有意义，则真数大于零，被开方数不小于零，分母不等于零，据此求解不等式组可得(Ⅱ)求解二次不等式可得 结合可知 据此得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域满足：则集合（Ⅱ）解不等式可得. 解得            若则 所以解得：     则的取值范围是.19．已知函数，其中.(1)讨论函数的奇偶性：(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数a的取值范围.【答案】(1)详见解析(2) 【分析】（1）分和两种情况讨论函数的奇偶性；（2）根据条件转化为当时，，参变分离后，转化为求的范围，即可求参数的取值范围.【详解】（1）当时，，所以的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数；当时，，所以，所以是非奇非偶函数；（2）由题意得任取且，则恒成立，即，即，，因为，所以，，所以恒成立，又，所以，则，所以.20．某工厂某种航空产品的年固定成本为万元，每生产件，需另投入成本为，当年产量不足件时，（万元）.当年产量不小于件时，（万元）. 每件商品售价为万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（件）的函数解析式；(2)年产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】(1)(2)当产量为100件时，最大利润为1000万元 【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为（万元），根据年利润＝销售收入−成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为（万元），根据年利润＝销售收入−成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【详解】（1）∵①当0＜x＜80时，根据年利润＝销售收入−成本，∴；②当x≥80时，根据年利润＝销售收入−成本，∴．综合①②可得，；（2）①当0＜x＜80时，，∴当x＝60时，L（x）取得最大值L（60）＝950万元；②当x≥80时，，当且仅当，即x＝100时，L（x）取得最大值L（100）＝1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元21．已知函数，若存在常数，使得对定义域内的任意，都有成立，则称函数是定义域上的“利普希兹条件函数”.(1)判断函数是否为定义域上的“利普希兹条件函数”，若是，请证明：若不是，请说明理由；(2)若函数是定义域上的“利普希兹条件函数”，求常数的最小值；(3)是否存在实数，使得是定义域上的“利普希兹条件函数”，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】(1)是，证明见解析(2)(3)存在， 【分析】（1），由，得，即可解决；（2）由题知均有成立，不妨设，得恒成立，由，得，即可解决；（3）由题得，不妨设，得，又，即可解决.【详解】（1）由题知，函数，定义域为，所以，不妨设，因为，所以，所以，所以是利普希兹条件函数（2）若函数是“利普希兹条件函数”，则对于定义域上任意两个，均有成立，不妨设，则恒成立，因为，所以，所以的最小值为．（3）由题意得在上恒成立，即，不妨设，所以，因为，所以，所以.