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    2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期末数学试题(解析版)

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    这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期末数学试题(解析版),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    哈三中2022-2023学年度上学期高二学年期末考试数学试卷卷(选择题,共60分)一、选择题(共60分)(一)单项选择题(共8小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 椭圆的焦距为(    A. 6 B. 8 C. 9 D. 10【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程可得:,则,进而求解.【详解】由椭圆可得:所以,则椭圆的焦距为故选:2. 已知两条直线,则这两条直线之间的距离为(    A. 2 B. 3 C. 5 D. 10【答案】A【解析】【分析】由两平行线距离公式求解即可.【详解】这两条直线之间的距离为.故选:A3. m为实数,若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则实数m的取值范围是(    A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据焦点在x轴上的双曲线的方程特征列出不等式,从而可得答案.【详解】因为方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以,解得.故选:D.4. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用逼近法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆)的右焦点为,过F作直线l交椭圆于AB两点,若弦中点坐标为,则椭圆的面积为(    A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程,再结合即可求解出ab进而求出面积.【详解】,则有,两式作差得:中点坐标为,则可解得故椭圆的面积为.故选:C5. 已知向量,且互相平行,则    A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知因为平行,,则,则无解.综上,故选:D6. 为落实二十大不断实现人民对美好生活的向往,某小区在园区中心建立一座景观喷泉.如图所示,喷头装在管柱OA的顶端A处,喷出的水流在各个方向上呈抛物线状.现要求水流最高点B离地面4m,点B到管柱OA所在直线的距离为2m,且水流落在地面上以O为圆心,6m为半径的圆内,则管柱OA的高度为(    A. 2m B. 3m C. 2.5m D. 1.5m【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系,设抛物线方程为,求出点的坐标,代入抛物线方程,即可求得,再将点代入抛物线方程中,求出,即可求得的高度.【详解】如图所示,建立平面直角坐标系,由题意知,水流的轨迹为一开口向下的抛物线,设抛物线的方程为因为点,所以,解得,所以抛物线方程为在抛物线上,所以,解得所以,所以管柱的高度为故选:B7. 已知双曲线的渐近线方程为,左、右焦点分别为,过的直线与双曲线C的右支交于PQ两点,且的周长为20,则该双曲线的标准方程为(    A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据渐近线方程可得,再根据双曲线的定义及的周长可求得,即可得出答案.【详解】因为双曲线的渐近线方程为所以因为过的直线与双曲线C的右支交于PQ两点,所以,即的周长为所以,则所以双曲线标准方程为.故选:C.8. 已知椭圆的左,右焦点分别为,上顶点为A,直线与椭圆E的另一个交点为B,若,则椭圆E的离心率为(    A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】求出直线的方程,与椭圆方程联立,求得点B的坐标,再根据求解.【详解】解:由题意得则直线的方程为联立,消去y所以因为所以因为,化简得,所以所以.故选:B(二)多项选择题(共4小题,每小题5分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9. 已知圆,则下列说法正确的是(    A. 在圆M B. M关于对称C. 半径为1 D. 直线与圆M相切【答案】CD【解析】【分析】化出圆的标准方程后,再逐项验证.【详解】解:圆的标准方程为:圆心为,半径为1A.因为,所以点在圆M外,故错误;B.因为,即圆心不在直线上,故错误;C.由圆的标准方程知,半径为1,故正确;D.因为圆心为到直线的距离为,与圆M的半径相等,故直线与圆M相切,故正确;故选:CD10. 已知椭圆E分别为它的左右焦点,AB分别为它的左右顶点,点是椭圆上异于AB的一个动点.下列结论中,正确的有(    A. 椭圆的长轴长为8B. 满足的面积为4的点恰有2C. 的的最大值为16D. 直线与直线斜率乘积为定值【答案】AC【解析】【分析】根据椭圆的方程得到,进而判断选项;根据三角形面积求出点的纵坐标的绝对值,进而判断选项;结合椭圆的定义和基本不等式即可判断选项;设出点的坐标,代入计算整理即可判断选项.【详解】由椭圆方程可得:.对于,因为椭圆的长轴长,故选项正确;对于,因为,则所以,所以这样的点不存在,故选项错误;对于,由椭圆的定义可得:当且仅当等号成立,则 所以的的最大值为,故选项正确;对于,设点,则,则有又因为,所以故选项错误,故选:.11. 过抛物线上一点作两条相互垂直的直线,与C的另外两个交点分别为MN,已知C的焦点为F,且,则(    A. C的准线方程是B. C. 直线过定点D. 当点A到直线MN的距离最大时,直线MN的方程为【答案】BCD【解析】【分析】A选项,由抛物线方程得到准线方程;B选项,由焦半径公式求出C选项,设直线的方程,与抛物线方程联立,得到两根之和,两根之积,由求出,分两种情况,得到所过定点,舍去不合要求的情况;D选项,在C选项的基础上,由几何关系得到当与直线垂直时A到直线MN的距离最大,由直线MN的斜率为,求出直线MN的方程.【详解】A选项,由题意,得C的准线方程为,故A错误;B选项,由焦半径,得,解得因为,所以,故B正确;C选项,直线的斜率不为0,设直线的方程为联立,得.,则所以整理得时,直线,即此时直线过定点时,直线,即此时直线过定点,此时与点重合,不合要求,舍去,故直线过定点,故C正确;D选项,由C选项,可知直线过定点故当与直线垂直时A到直线MN的距离最大,因为,所以直线MN的斜率为故直线MN的方程为整理得,故D正确.故选:BCD.【点睛】思路点睛:处理定点问题的思路.1)确定题目中的核心变量(此处设为),2)利用条件找到与过定点的曲线的联系,得到有关的等式,3)所谓定点,是指存在一个特殊的点,使得无论的值如何变化,等式恒成立,此时要将关于的等式进行变形,直至找到若等式的形式为整式,则考虑将含的式子归为一组,变形为的形式,让括号中式子等于0,求出定点;若等式的形式是分式,一方面可考虑让分子等于0,一方面考虑分子和分母为倍数关系,可消去变为常数.12. 若正整数mn只有1为公约数,则称mn互素,欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k,且与k互素的正整数的个数,例如:.已知欧拉函数是积性函数,即如果mn互素,那么,则(    A.  B. C. 数列不是递增数列 D. 数列的最大项为第4【答案】ABD【解析】【分析】根据欧拉函数定义,结合数列的单调性的性质逐一判断即可.【详解】A:因为,所以,因此本选项正确;B:因为在正整数中,所有的偶数与都不互质,所有的奇数都与互质,所以,因此本选项正确;C:因为在正整数中,都与互质,共有个,所以,由上可知:显然互质,所以因为,所以所以数列是单调递增数列,因此本说法不正确;D:由上可知:,所以有假设第项为数列最大项,则有因为是正整数,所以,因此本选项正确,故选:ABD【点睛】关键点睛:正确理解欧拉函数的定义,利用数列的单调性性质是解题的关键.卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)13. 等差数列中,,则______【答案】17【解析】【分析】,再根据等差中项求解的值即可.【详解】在等差数列中,的等差中项,所以.故答案为:17.14. 如图,在长方体中,,则与平面所成的角的正弦值为______【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面角正弦值.【详解】为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设平面的法向量为,则,故与平面所成角的大小为与平面所成角的正弦值为.故答案为:15. 已知点P是椭圆上的动点,则的最大值是______【答案】【解析】【分析】,利用两点间的距离公式求解.【详解】解:设时,取得最大值故答案为: 16. 对非原点O的点M,若点在射线上,且,则称Mr-圆称点,图形G上的所有点的r-圆称点组成的图形称为Gr-圆称形“3-圆称点______,圆(不包含原点)的“3-圆称形的方程为______【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】根据题意得到,结合点在射线上,得到故“3-圆称点,设出,设其r-圆称点,由得到方程,点在射线上,不妨设,得到方程,求出.【详解】由题意得:,又,所以又点在射线上,即在轴正半轴上,“3-圆称点设圆(不包含原点)的一点设其r-圆称点,则又点在射线上,不妨设所以,整理得:综上,,即故圆(不包含原点)的“3-圆称形的方程为.故答案为:.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知,过点且与直线垂直的直线为,圆1的方程;2与圆相交的弦长.【答案】1    2【解析】【分析】1)根据坐标确定直线的斜率,由两条直线垂直可得直线的斜率,又点斜式方程即可求得的方程;2)根据直线与圆相交的几何性质求解圆心到直线的距离,再根据弦长公式即可得与圆相交的弦长.【小问1详解】因为,所以,又,所以,则直线的方程为:,即【小问2详解】因为圆,则圆心,半径所以圆心到直线的距离所以相交弦长为.18. 已知为等差数列的前项和,12是否存在最大值?若存在,求出的最大值及取得最大值时的值;若不存在,说明理由.【答案】1    2存在,最大值205【解析】【分析】1)设公差为,根据等差数列的通项公式与前项和公式,求得即可得2)由等差数列的前项和公式得,根据二次函数的性质结合,即可确定的最大值及取得最大值时的值.【小问1详解】设等差数列的公差为,由可得,解得,所以【小问2详解】,所以当时,,当时,所以存在最大值为,取得最大值时.19. 已知抛物线过点,焦点为FO为坐标原点.1求抛物线C的方程,并写出F的坐标;2若直线MF与抛物线的另一个交点为N,求的面积.【答案】1    2.【解析】【分析】1)根据抛物线过点即可求出的值,进而求解;2)结合(1)的结论写出直线的方程,将直线方程与抛物线方程联立,求出点的坐标,进而求出的长度,再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离,代入三角形面积公式即可求解.【小问1详解】因为抛物线过点,则,解得:所以抛物线的方程为:,焦点坐标为:【小问2详解】由(1)可得:直线的方程为:将其代入抛物线方程可得:,解得:由题意可知:点的横坐标为,所以点的横坐标为则点,所以又因为点到直线的距离所以.20. 椭圆E的方程为,短轴长为2,离心率为1求椭圆E的方程;2若直线l与圆相切,且与椭圆E交于MN两点,且,求直线l的方程.【答案】1    2【解析】【分析】1)根据离心率,短轴长等列出方程组,求出,得到椭圆方程;2)由点到直线距离公式列出方程,得到,联立直线方程和椭圆方程,得到两根之和,两根之积,由弦长公式列出方程,求出,得到答案.【小问1详解】由题意得:,结合解得:故椭圆方程为小问2详解】直线l与圆相切,,即联立得:代入上式得:解得:因为,所以,故,则所以直线l的方程为.21. 已知在四棱锥中,平面1求证:平面平面2是棱上的点,若二面角的余弦值为,求线段的长.【答案】1证明见解析    2的长为【解析】【分析】1)根据线面垂直得线线垂直,再结合面面垂直的判定定理证明即可;2)建立空间直角坐标系,设,,根据空间向量求得二面角的余弦值,列方程即可解得的值,从而可得线段的长.【小问1详解】证明:因为平面平面,所以,所以由于平面,所以平面平面,所以平面平面【小问2详解】由(1)得,如图,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,,则,所以设平面的法向量为,则,令,则平面,所以是平面的一个法向量,所以,整理得,所以故当中点时符合题意,所以.22. 已知双曲线的离心率分别为其两条渐近线上的点,若满足的点在双曲线上,且的面积为8,其中为坐标原点.1求双曲线的方程;2过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于两点,在轴上是否存在定点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】1    2存在,【解析】【分析】1)根据双曲线的离心率得关系,从而可得关系,即可得双曲线渐近线方程,不妨设,确定点的中点代入双曲线方程可得的关系,再由的面积即可求得的值,从而可得双曲线的方程;2)当直线的斜率存在时,设直线方程与交点坐标,代入双曲线方程后可得交点坐标关系,设,满足为常数即可求得的值,并且检验直线的斜率不存在时是否满足该定值即可.【小问1详解】由离心率,得,所以,则双曲线的渐近线方程为因为分别为其两条渐近线上的点,所以,不妨设,由于,则点的中点,所以又点在双曲线上,所以,整理得:因为的面积为8,所以,则故双曲线的方程为【小问2详解】由(1)可得,所以当直线的斜率存在时,设方程为:,所以,则恒成立,所以假设在轴上是否存在定点,设,则要使得为常数,则,解得,定点又当直线的斜率不存在时,直线的方程为,代入双曲线可得,不妨取,则,符合上述结论;综上,在轴上存在定点,使为常数,且.【点睛】关键点睛:解决本题的关键是利用交点坐标关系,假设在轴上是否存在定点,设,验证所求定值时,根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得,要使得其为定值,则与直线斜率无关,那么在此分式结构中就需满足分子分母对应系数成比例,从而可得含的方程,通过解方程确定的存在,使得能确定定点坐标的同时还可得到定值,并且要验证直线斜率不存在的情况.

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