2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期末数学试题(解析版)
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这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期期末数学试题(解析版),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
哈三中2022-2023学年度上学期高二学年期末考试数学试卷第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(共60分)(一)单项选择题(共8小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 椭圆的焦距为( )A. 6 B. 8 C. 9 D. 10【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程可得:,则,进而求解.【详解】由椭圆可得:,所以,则椭圆的焦距为,故选:2. 已知两条直线,,则这两条直线之间的距离为( )A. 2 B. 3 C. 5 D. 10【答案】A【解析】【分析】由两平行线距离公式求解即可.【详解】这两条直线之间的距离为.故选:A3. 设m为实数,若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则实数m的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据焦点在x轴上的双曲线的方程特征列出不等式,从而可得答案.【详解】因为方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以,解得.故选:D.4. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆()的右焦点为,过F作直线l交椭圆于A、B两点,若弦中点坐标为,则椭圆的面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程,再结合即可求解出a、b,进而求出面积.【详解】设,,则有,两式作差得:,即,弦中点坐标为,则,又∵,∴,∴,又∵,∴可解得,,故椭圆的面积为.故选:C5. 已知向量,且与互相平行,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知,,因为与平行,若,则,,若,则,无解.综上,,故选:D.6. 为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往,某小区在园区中心建立一座景观喷泉.如图所示,喷头装在管柱OA的顶端A处,喷出的水流在各个方向上呈抛物线状.现要求水流最高点B离地面4m,点B到管柱OA所在直线的距离为2m,且水流落在地面上以O为圆心,6m为半径的圆内,则管柱OA的高度为( )A. 2m B. 3m C. 2.5m D. 1.5m【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系,设抛物线方程为,求出点的坐标,代入抛物线方程,即可求得,再将点代入抛物线方程中,求出,即可求得的高度.【详解】如图所示,建立平面直角坐标系,由题意知,水流的轨迹为一开口向下的抛物线,设抛物线的方程为,因为点,所以,解得,所以抛物线方程为,点在抛物线上,所以,解得,所以,所以管柱的高度为.故选:B.7. 已知双曲线的渐近线方程为,左、右焦点分别为,,过的直线与双曲线C的右支交于P,Q两点,且,的周长为20,则该双曲线的标准方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据渐近线方程可得,再根据双曲线的定义及的周长可求得,即可得出答案.【详解】因为双曲线的渐近线方程为,所以,因为过的直线与双曲线C的右支交于P,Q两点,所以,即,则的周长为,所以,则,所以双曲线标准方程为.故选:C.8. 已知椭圆的左,右焦点分别为,,上顶点为A,直线与椭圆E的另一个交点为B,若,则椭圆E的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出直线的方程,与椭圆方程联立,求得点B的坐标,再根据求解.【详解】解:由题意得,则直线的方程为,联立,消去y得,则,所以,因为,所以,因为,化简得,即,所以,所以.故选:B(二)多项选择题(共4小题,每小题5分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9. 已知圆,则下列说法正确的是( )A. 点在圆M内 B. 圆M关于对称C. 半径为1 D. 直线与圆M相切【答案】CD【解析】【分析】化出圆的标准方程后,再逐项验证.【详解】解:圆的标准方程为:,圆心为,半径为1,A.因为,所以点在圆M外,故错误;B.因为,即圆心不在直线上,故错误;C.由圆的标准方程知,半径为1,故正确;D.因为圆心为到直线的距离为,与圆M的半径相等,故直线与圆M相切,故正确;故选:CD10. 已知椭圆E:,,分别为它的左右焦点,A,B分别为它的左右顶点,点是椭圆上异于A,B的一个动点.下列结论中,正确的有( )A. 椭圆的长轴长为8B. 满足的面积为4的点恰有2个C. 的的最大值为16D. 直线与直线斜率乘积为定值【答案】AC【解析】【分析】根据椭圆的方程得到,进而判断选项;根据三角形面积求出点的纵坐标的绝对值,进而判断选项;结合椭圆的定义和基本不等式即可判断选项;设出点的坐标,代入计算整理即可判断选项.【详解】由椭圆方程可得:.对于,因为椭圆的长轴长,故选项正确;对于,因为,则,,所以,所以这样的点不存在,故选项错误;对于,由椭圆的定义可得:当且仅当等号成立,则, 所以的的最大值为,故选项正确;对于,设点,则,则有,又因为,所以,故选项错误,故选:.11. 过抛物线上一点作两条相互垂直的直线,与C的另外两个交点分别为M,N,已知C的焦点为F,且,则( )A. C的准线方程是B. C. 直线过定点D. 当点A到直线MN的距离最大时,直线MN的方程为【答案】BCD【解析】【分析】A选项,由抛物线方程得到准线方程;B选项,由焦半径公式求出;C选项,设直线的方程,与抛物线方程联立,得到两根之和,两根之积,由,求出或,分两种情况,得到所过定点,舍去不合要求的情况;D选项,在C选项的基础上,由几何关系得到当与直线垂直时,点A到直线MN的距离最大,由直线MN的斜率为,求出直线MN的方程.【详解】A选项,由题意,得,C的准线方程为,故A错误;B选项,由焦半径,得,解得,故,因为,所以,故B正确;C选项,直线的斜率不为0,设直线的方程为,与联立,得.设,则,,则,,则,所以,整理得,故或,当时,直线为,即,此时直线过定点,当时,直线为,即,此时直线过定点,此时与点重合,不合要求,舍去,故直线过定点,故C正确;D选项,由C选项,可知直线过定点,故当与直线垂直时,点A到直线MN的距离最大,因为,所以直线MN的斜率为,故直线MN的方程为,整理得,故D正确.故选:BCD.【点睛】思路点睛:处理定点问题的思路.(1)确定题目中的核心变量(此处设为),(2)利用条件找到与过定点的曲线的联系,得到有关与的等式,(3)所谓定点,是指存在一个特殊的点,使得无论的值如何变化,等式恒成立,此时要将关于与的等式进行变形,直至找到,①若等式的形式为整式,则考虑将含的式子归为一组,变形为“”的形式,让括号中式子等于0,求出定点;②若等式的形式是分式,一方面可考虑让分子等于0,一方面考虑分子和分母为倍数关系,可消去变为常数.12. 若正整数m,n只有1为公约数,则称m,n互素,欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k,且与k互素的正整数的个数,例如:,,,.已知欧拉函数是积性函数,即如果m,n互素,那么,则( )A. B. C. 数列不是递增数列 D. 数列的最大项为第4列【答案】ABD【解析】【分析】根据欧拉函数定义,结合数列的单调性的性质逐一判断即可.【详解】A:因为,,所以,因此本选项正确;B:因为在正整数中,所有的偶数与都不互质,所有的奇数都与互质,所以,因此本选项正确;C:因为在正整数中,都与互质,共有个,所以,由上可知:,显然互质,所以,因为,,所以,所以数列是单调递增数列,因此本说法不正确;D:由上可知:,所以有,假设第项为数列最大项,则有,因为是正整数,所以,因此本选项正确,故选:ABD【点睛】关键点睛:正确理解欧拉函数的定义,利用数列的单调性性质是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡相应的位置上)13. 等差数列中,,则______.【答案】17【解析】【分析】由,再根据等差中项求解的值即可.【详解】在等差数列中,是的等差中项,所以.故答案为:17.14. 如图,在长方体中,,,则与平面所成的角的正弦值为______.【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量求解线面角正弦值.【详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,,设平面的法向量为,则,令,则,故,设与平面所成角的大小为,则,与平面所成角的正弦值为.故答案为:15. 已知点,P是椭圆上的动点,则的最大值是______.【答案】【解析】【分析】设,利用两点间的距离公式求解.【详解】解:设,,,,当时,取得最大值,故答案为: 16. 对非原点O的点M,若点在射线上,且,则称为M的“r-圆称点”,图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形称为G的“r-圆称形”.的“3-圆称点”为______,圆(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为______.【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】根据题意得到,,结合点在射线上,得到故的“3-圆称点”为,设出,,设其“r-圆称点”为,由得到方程,点在射线上,不妨设,,得到方程,求出.【详解】由题意得:,又,所以,又点在射线上,即在轴正半轴上,故的“3-圆称点”为;设圆(不包含原点)的一点,,设其“r-圆称点”为,则,即,又点在射线上,不妨设,,所以,整理得:,综上,,即,故圆(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为.故答案为:,.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知,,过点且与直线垂直的直线为,圆:.(1)求的方程;(2)求与圆相交的弦长.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据坐标确定直线的斜率,由两条直线垂直可得直线的斜率,又点斜式方程即可求得的方程;(2)根据直线与圆相交的几何性质求解圆心到直线的距离,再根据弦长公式即可得与圆相交的弦长.【小问1详解】因为,,所以,又,所以,则,则直线的方程为:,即;【小问2详解】因为圆:,则圆心,半径,所以圆心到直线的距离,所以相交弦长为.18. 已知为等差数列的前项和,,.(1)求;(2)是否存在最大值?若存在,求出的最大值及取得最大值时的值;若不存在,说明理由.【答案】(1) (2)存在,最大值20,或5【解析】【分析】(1)设公差为,根据等差数列的通项公式与前项和公式,求得即可得;(2)由等差数列的前项和公式得,根据二次函数的性质结合,即可确定的最大值及取得最大值时的值.【小问1详解】设等差数列的公差为,由,可得,解得,所以;【小问2详解】又,所以当时,,当时,,所以存在最大值为,取得最大值时或.19. 已知抛物线过点,焦点为F,O为坐标原点.(1)求抛物线C的方程,并写出F的坐标;(2)若直线MF与抛物线的另一个交点为N,求的面积.【答案】(1),; (2).【解析】【分析】(1)根据抛物线过点即可求出的值,进而求解;(2)结合(1)的结论写出直线的方程,将直线方程与抛物线方程联立,求出点的坐标,进而求出的长度,再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离,代入三角形面积公式即可求解.【小问1详解】因为抛物线过点,则,解得:,所以抛物线的方程为:,焦点坐标为:;【小问2详解】由(1)可得:直线的方程为:,将其代入抛物线方程可得:,解得:,,由题意可知:点的横坐标为,所以点的横坐标为,则点,所以,又因为点到直线的距离,所以.20. 椭圆E的方程为,短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)若直线l:与圆相切,且与椭圆E交于M,N两点,且,求直线l的方程.【答案】(1) (2)或【解析】【分析】(1)根据离心率,短轴长等列出方程组,求出,得到椭圆方程;(2)由点到直线距离公式列出方程,得到,联立直线方程和椭圆方程,得到两根之和,两根之积,由弦长公式列出方程,求出及,得到答案.【小问1详解】由题意得:,,结合,解得:,故椭圆方程为;小问2详解】直线l:与圆相切,故,即,联立与得:,设,,,则,将代入上式得:解得:,因为,所以,故,则,所以直线l的方程为或.21. 已知在四棱锥中,平面,,,.(1)求证:平面平面;(2)若是棱上的点,若二面角的余弦值为,求线段的长.【答案】(1)证明见解析 (2)的长为【解析】【分析】(1)根据线面垂直得线线垂直,再结合面面垂直的判定定理证明即可;(2)建立空间直角坐标系,设,,根据空间向量求得二面角的余弦值,列方程即可解得的值,从而可得线段的长.【小问1详解】证明:因为平面,平面,所以又,,所以,由于平面,所以平面,又平面,所以平面平面;【小问2详解】由(1)得,,如图,以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,由,则设,所以,则,设平面的法向量为,则,令,则,又平面,所以是平面的一个法向量,所以,整理得,所以,故当为中点时符合题意,所以.22. 已知双曲线的离心率,,分别为其两条渐近线上的点,若满足的点在双曲线上,且的面积为8,其中为坐标原点.(1)求双曲线的方程;(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于,两点,在轴上是否存在定点,使为常数?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1) (2)存在,【解析】【分析】(1)根据双曲线的离心率得关系,从而可得关系,即可得双曲线渐近线方程,不妨设,,确定点为的中点代入双曲线方程可得与的关系,再由的面积即可求得的值,从而可得双曲线的方程;(2)当直线的斜率存在时,设直线方程与交点坐标,代入双曲线方程后可得交点坐标关系,设,满足为常数即可求得的值,并且检验直线的斜率不存在时是否满足该定值即可.【小问1详解】由离心率,得,所以,则双曲线的渐近线方程为,因为,分别为其两条渐近线上的点,所以,不妨设,,由于,则点为的中点,所以,又点在双曲线上,所以,整理得:因为的面积为8,所以,则,故双曲线的方程为;【小问2详解】由(1)可得,所以为当直线的斜率存在时,设方程为:,,则,所以,则恒成立,所以,假设在轴上是否存在定点,设,则要使得为常数,则,解得,定点,;又当直线的斜率不存在时,直线的方程为,代入双曲线可得,不妨取,若,则,符合上述结论;综上,在轴上存在定点,使为常数,且.【点睛】关键点睛:解决本题的关键是利用交点坐标关系,假设在轴上是否存在定点,设,验证所求定值时,根据数量积的坐标运算与直线方程坐标转换可得,要使得其为定值,则与直线斜率无关,那么在此分式结构中就需满足分子分母对应系数成比例,从而可得含的方程,通过解方程确定的存在,使得能确定定点坐标的同时还可得到定值,并且要验证直线斜率不存在的情况.
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