2022-2023学年山西省阳泉市高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省阳泉市高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知数列满足，，则（    ）

A．5 B．7 C．10 D．15

【答案】B

【分析】由递推关系求解即可.

【详解】解：因为，所以，.

故选：B

2．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.

【详解】

，

故选：D．

3．函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.

【详解】因为，所以，

令，得或，

又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为，

故选：C

4．若两条直线与平行，则与间的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平行关系求解，进而根据平行线间距离公式即可求解.

【详解】由与平行，可得，

当时，两直线不重合，故，进而与间的距离为，

故选：B

5．圆内有一点，AB为过点且倾斜角为的弦，则AB的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得直线的方程，然后利用弦长公式求得.

【详解】直线AB的斜率为，又直线AB过点，

所以直线AB的方程为：，即，

圆的圆心为，半径，

圆心到直线AB：的距离为，

则．

故选：A.

6．已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及导数的变化可得结果.

【详解】由图可知，当时，，则函数在上为增函数，

当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，

当时，单调递减，故函数在上的增长速度越来越慢.

B选项中的图象满足题意.

故选：B.

7．1202年意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题．他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为斐波那契数列，其前n项和为，且满足，则当时，的值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】利用递推公式，得到

【详解】，

故选：A

8．过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，因为，所以直线的斜率为：，所以，由，解得，设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，而当垂直于轴时，的值最小，最小值为．

【详解】解：显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，

联立方程，消去得：，

设，，，，

，

，

由抛物线的性质可知：，

，直线的斜率为：，

，

，

，

，

抛物线方程为：，准线方程为：，

设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，

而当垂直于轴时，的值最小，最小值为，如图所示：

的最小值为3，

故选：B．

二、多选题

9．如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（    ）

A．点的坐标为，5，

B．点关于点对称的点为，8，

C．点关于直线对称的点为，5，

D．点关于平面对称的点为，5，

【答案】ACD

【分析】对A，根据图示分析即可；

对B，设点关于点对称的点为，再根据为的中点列式求解即可；

对C，根据四边形为正方形判断即可；

对D，根据平面求解即可

【详解】对A，由图可得，的坐标为，5，，故A正确；

对B，由图，，，设点关于点对称的点为则 ，解得，故，故B错误；

对C，在长方体中，

所以四边形为正方形，与垂直且平分，

即点关于直线对称的点为，选项C正确；

对D，因为平面，故点关于平面对称的点为，即，选项D正确；

故选：ACD.

10．若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，下列命题正确的是（    ）

A．与有“隔离直线”

B．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围为

C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是

D．和之间存在唯一的“隔离直线”

【答案】ABD

【分析】对于A，取直线，讨论与的符号判断A；对于B，C，令隔

离直线为，利用二次不等式恒成立计算判断B，C；对于D，函数与有

公共点，求出在点处的切线，再证明此切线与图象关系作答.

【详解】对于A，取直线，当时，，即成立，

当时，令，，则在递减，在上递增，

，，即成立，直线是与的“隔离直线”，A正确；

对于B，C，令和的“隔离直线”为，则，，

则，有，，有，当时，不等式成立，

当时，的对称轴，而时，，则，即，

显然满足此不等式，有，而，解得，同理，，B正确，C不正确；

对于D，因，即和的图象有公共点，若和有隔离直线，则该直线必过点，

设过点的直线方程为，即，由，，

即恒成立，则，解得，即这条直线为，

令，求导得：，

当时，，当时，，即在上递减，在上递增，

，即，，

和之间存在唯一的“隔离直线”，D正确.

故选：ABD

【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.

三、填空题

11．已知函数的图象在点处的切线方程是，则______.

【答案】

【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解.

【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得，

因此，.

故答案为：.

四、解答题

12．已知数列的前n项和公式为，则的通项公式为______.

【答案】

【分析】由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式．

【详解】由题意，可知当时，；

当时，.

又因为不满足，所以.

故答案为：

五、填空题

13．设椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，，则C的离心率为________．

【答案】

【解析】设，根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半以及勾股定理，得出、、，根据椭圆的定义以及离心率公式求解即可.

【详解】在中，设，因为，所以， .

故 .

故答案为：

【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及离心率的求法，属于基础题.

14．当时，函数有两个极值点，则实数m的取值范围___________.

【答案】

【分析】函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实数根，等价于与有两个不同的交点，构造函数，即可求出结果.

【详解】有两个极值点，

所以有两个不同的实数根，

即有两个不同的实数根，

等价于与有两个不同的交点，

设，

当单调递减，

当单调递增，

所以

当；

所以与要有两个不同的交点，只需

故答案为：

【点睛】方法点睛：含参方程有根的问题转化为函数图像的交点问题，数形结合，是常用的方法.本题考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目.

六、解答题

15．已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上.

(1)求经过点A，并且在两坐标轴上截距相等的直线方程；

(2)求过点B的圆C的切线方程.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，代入点坐标，求解即可.（2）设圆心坐标，借助于，解出C点坐标，利用直线和切线垂直求切线的斜率，进而写出切线方程.

【详解】（1）经过点A，在两坐标轴上的截距相等的直线，当直线过原点时，

设直线的方程为，代入点得，，即，

即直线的方程为，

当直线不过原点时，设直线的方程为，

将点代入解得，即直线的方程为

∴所求直线的方程为或；

（2）因圆心C在直线上，则设圆心，

又圆C经过，两点，于是得圆C的半径，

即有，解得，圆心，∴，

∴，∴切线l的方程为：，即.

16．已知等比数列的前n项和为，且是与2的等差中项，等差数列中，，点在一次函数的图象上．

(1)求数列，的通项和；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)结合已知条件，利用与之间的关系求的通项公式；将代入中可得到公差，然后利用等差数列的通项公式即可求解；(2)利用错位相减法即可求解.

【详解】（1）因为是与2的等差中项，

所以，即，

则，

当时，，

从而，

则等比数列的公比，

故；

因为，点在一次函数的图象上，

所以，即等差数列的公差为2，

从而.

（2）由，

得：...①

...②

①-②得，

，

从而.

17．如图，在四棱锥中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.

(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；

(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角P-AC-E的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的性质及勾股定理的逆定理可证出线面垂直，再由面面垂直的判定定理求证即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）∵平面，平面，

∴.

∵，由，且是直角梯形，

∴，

即，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴平面平面

（2）∵平面，平面，

∴.

由（1）知.

∵，平面，平面，

所以平面，

∴即为直线与平面所成角.

∴，

∴，则

取的中点G，连接，以点C为坐标原点，分别以､､为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，，

设为平面的法向量，则，

令，得，，得

设为平面的法向量，

则，令，则，，得.

∴.

由图知所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

18．已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点，过点作，与直线相交于点E，连接OE，与线段PQ相交于点M，求证：点M为线段PQ的中点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.

（2）设出直线的方程，求得直线的方程、直线的方程，求得点坐标，联立直线的方程与椭圆方程，化简写出根与系数关系，求得中点坐标，进而判断出是的中点.

【详解】（1）因椭圆的上顶点，则，令椭圆半焦距为c，

由离心率得，即，解得，

∴椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，，，显然直线l不垂直于y轴，设直线，

显然，直线l不垂直于y轴，因直线过点，且，则直线的方程可设为，

由得点，直线OE的方程为：，

由解得：，因此点，

由消去x并整理得：，设，，

则，所以，，

即线段PQ中点坐标为，∴点M为线段PQ的中点.

19．已知函数.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；

（3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值为.

【解析】（1）求出函数的导数，由题意得出从而可求出实数的值；

（2）令，可得知函数在上有两个零点，分和两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性和极值，由题意转化为函数极值相关的不等式，解出即可得出实数的取值范围；

（3）将代入函数的解析式得出，对该函数求导得出，构造函数，利用单调性结合零点存在定理找出函数的极小值点，并满足，结合此关系式计算得出，从而可得出整数的最大值.

【详解】（1），

因为曲线在点处的切线方程为，

所以，得；

（2）因为存在两个不相等的零点.

所以存在两个不相等的零点，则.

①当时，，所以单调递增，至多有一个零点

②当时，因为当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以时，.

因为存在两个零点，所以，解得.  

因为，所以.

因为，所以在上存在一个零点.  

因为，所以.

因为，设，则，

因为，所以单调递减，

所以，所以，

所以在上存在一个零点.

综上可知，实数的取值范围为；

（3）当时，，，

设，则.所以单调递增，

且，，所以存在使得，

因为当时，，即，所以单调递减；

当时，，即，所以单调递增，

所以时，取得极小值，也是最小值，

此时，  

因为，所以，

因为，且为整数，所以，即的最大值为.

【点睛】本题考查利用切线方程求参数、利用导数研究函数的零点，同时也考考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及隐零点法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.