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专题10 天体运动（解析版）
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专题10 天体运动
目录
题型一 开普勒定律的应用 1
题型二 万有引力定律的理解 3
类型1 万有引力定律的理解和简单计算 3
类型2 不同天体表面引力的比较与计算 4
类型3 重力和万有引力的关系 5
类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算 7
题型三 天体质量和密度的计算 8
类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度 8
类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度 9
类型3 利用椭圆轨道求质量与密度 11
题型四 卫星运行参量的分析 13
类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系 13
类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 15
类型3 宇宙速度 17
题型五 卫星的变轨和对接问题 19
类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较 19
类型2 卫星的对接问题 22
题型六 天体的“追及”问题 23
题型七 星球稳定自转的临界问题 25
题型八 双星或多星模型 26
类型1 双星问题 27
类型2 三星问题 29
类型4 四星问题 31
题型一 开普勒定律的应用
【解题指导】1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
【例1】(2022·山东潍坊市模拟)中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021年2月10日成功环绕火星运动。若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做圆周运动，运行过程中火星与地球最近时相距R0、最远时相距5R0，则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为( )
A．365天 B．400天
C．670天 D．800天
【答案】 B
【解析】 设火星轨道半径为R1，公转周期为T1，地球轨道半径为R2，公转周期为T2，依题意有R1－R2＝R0，R1＋R2＝5R0，解得R1＝3R0，R2＝2R0，根据开普勒第三定律有＝，解得T1＝年，设从相距最近到相距最远需经过的最短时间为t，有ω2t－ω1t＝π，ω＝，代入数据可得t＝405天，故选项B正确。
【例2】(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【答案】 CD
【解析】 由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。
【例3】(2021·全国甲卷，18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
【答案】 C
【解析】 在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝mR火，得T＝，根据开普勒第三定律，有＝，代入数据解得l远≈6×107 m，C正确。
题型二 万有引力定律的理解
【解题指导】1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
2．星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。
类型1 万有引力定律的理解和简单计算
【例1】2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
【答案】 D
【解析】 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律F＝G，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.
【例2】(多选)在万有引力定律建立的过程中，“月—地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与地球对苹果的力是同一种力。完成“月—地检验”需要知道的物理量有( )
A．月球和地球的质量
B．引力常量G和月球公转周期
C. 地球半径和“月—地”中心距离
D．月球公转周期和地球表面重力加速度g
【答案】 CD
【解析】 地球表面物体的重力等于万有引力，有
mg＝G，即gR2＝Gm地
根据万有引力定律和牛顿运动第二定律，有
G＝ma
可算出月球在轨道处的引力加速度为
a＝G＝
根据月球绕地球公转的半径、月球的公转周期，由月球做匀速圆周运动可得
a＝
代入数值可求得两加速度吻合，故A、B错误，C、D正确。
类型2 不同天体表面引力的比较与计算
【例1】(2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
【答案】 B
【解析】 悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小等于它们所受的万有引力，则＝＝··＝9×2×＝，故B正确。
【例2】 (2020·全国Ⅰ卷，15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
【答案】 B
【解析】 由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝G，在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝G，二者的比值＝＝0.4，B正确，A、C、D错误。
类型3 重力和万有引力的关系
【例1】(多选)如表格中列出一些地点的重力加速度，表中数据的规律可表述为：随着地面上地点纬度的增大，该处的重力加速度增大．已知地面不是标准球面，纬度越大的地点半径越小，是形成表格所示规律的原因，以下说法正确的有( )
地点
纬度
重力加速度
赤道海平面
0°
9.780 m/s2
马尼拉
14°35′
9.784 m/s2
广州
23°06′
9.788 m/s2
上海
31°12′
9.794 m/s2
东京
35°43′
9.798 m/s2
北京
39°56′
9.801 m/s2
莫斯科
55°45′
9.816 m/s2
北极
90°
9.832 m/s2
A.地面物体的重力等于所受地球引力的大小与随地球自转所需向心力大小之差
B．地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大
C．地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而增大
D．地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大
【答案】 BD
【解析】 地面物体的重力等于所受地球引力的大小与随地球自转所需向心力矢量之差，故A错误；由题可知，地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大，故B正确；由F向＝mω2r可得地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而减小，故C错误；如图所示，
可得出地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大，故D正确．
【例2】(多选)如图，某次发射火箭的过程中，当火箭距地面的高度恰好为地球半径的3倍时，火箭的加速度为a，方向竖直向上，火箭内有一电子台秤，物体在该台秤上显示的示数为发射前在地面上静止时示数的一半．已知地球的第一宇宙速度为v，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．距地面高度恰好为地球半径的3倍处的重力加速度为地球表面重力加速度的
B．地球表面的重力加速度约为16a
C．地球的半径为R＝
D．地球的质量为M＝
【答案】 AC
【解析】 设地球表面的重力加速度为g，距地面高度恰好为地球半径的3倍处的重力加速度为g1，由G＝mg，得＝，解得g1＝，A项正确；设台秤上物体的质量为m，火箭在地面上时台秤显示的示数FN1＝mg，距地面3R时台称显示的示数FN2＝FN1＝ma＋mg1，解得a＝g，同时得到g＝，B错误；在地球表面，设近地卫星质量为m0，有m0g＝m0，解得R＝，C项正确；由G＝m0g，解得M＝，D项错误．
【例3】．某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 在“极点”处：mg2＝；在其表面“赤道”处：－mg1＝m()2R；解得：R＝，故选C.
类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算
【例1】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－ B．1＋
C.2 D.2
【答案】 A
解析 如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重
力近似等于万有引力，故mg＝G，又M＝ρ·πR3，故g＝πρGR；设矿井底部的重力加速度为g′，图中阴影部分所示球体的半径r＝R－d，则g′＝πρG(R－d)，联立解得＝1－，A正确．
【例2】(2022·河南洛阳名校联考)若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小相等，有g＝G.由于地球的质量为M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝＝＝πGρR.质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝.根据万有引力提供向心力有G＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误．
题型三 天体质量和密度的计算
类型
方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质
量
的
计
算
利用运
行天体
r、T
G＝mr
m中＝
只能得到中心天体的质量
r、v
G＝m
m中＝
v、T
G＝m，G＝mr
m中＝
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝
m中＝
—
密
度
的
计
算
利用运
行天体
r、T、R
G＝mr
m中＝ρ·πR3
ρ＝
当r＝R时，ρ＝
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝，m中＝ρ·πR3
ρ＝
—
类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度
【例1】2020年7月23日，我国首个独立火星探测器“天问一号”在文昌航天发射场成功升空并进入预定轨道，已于今年5月15日成功着陆火星表面，对我国持续推进深空探测、提升国家软实力和国际影响力具有重要意义．已知火星半径为R且质量分布均匀，火星两极表面的重力加速度大小为g，火星赤道表面重力加速度大小为ng(n<1)，引力常量为G.则下列说法正确的是( )
A．在火星赤道上质量为m的探测器，它对火星表面的压力大小为mg
B．火星的平均密度为
C．探测器在近火轨道上的绕行速度为
D．火星的自转周期为2π
【答案】 B
【解析】 在火星赤道上，探测器对火星表面的压力大小为nmg，A错误；对火星两极表面的物体有G＝mg，火星的平均密度为ρ＝＝＝，B正确；由G＝mg，得GM＝gR2，根据G＝m，得近火轨道上的绕行速度为v＝，C错误；对在火星赤道上的物体有G＝mng＋m2R，对火星两极表面的物体有G＝mg，解得T＝2π，D错误．
【例2】嫦娥四号是我国探月工程二期发射的月球探测器，也是人类第一个着陆月球背面的探测器．嫦娥四号于2018年12月12日完成近月制动被月球捕获．若探测器近月环绕周期为T，探测器降落到月球表面后，从距月球表面高度为h处由静止释放一物体，测出物体落到月球表面的时间为t，已知月球半径为R，引力常量为G，将月球视为质量均匀分布的球体，通过以上物理量可求得月球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 探测器近月环绕运动，根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得M＝，根据密度公式ρ＝和体积公式V＝πR3，解得ρ＝，选项C错误；物体落到月球表面过程有h＝g月t2，在月球表面有G＝mg月，联立密度公式ρ＝和体积公式V＝πR3，解得ρ＝，选项D正确，A、B错误．
类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度
【例1】(2021·5月贵阳模拟)2021年2月10日19时52分，“天问一号”探测器成功进入环绕火星的轨道，开启了我国首次火星探测之旅。假定探测器贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动，经时间t，探测器运动的弧长为s，探测器与火星中心连线扫过的圆心角为θ，已知引力常量为G，t小于探测器绕火星运行的周期，不考虑火星自转的影响，根据以上数据可计算出( )
A．探测器的环绕周期为
B．火星的质量为
C．火星表面的重力加速度大小为
D．火星的第一宇宙速度大小为
【答案】 C
【解析】 探测器的环绕周期为T＝＝，选项A错误；设火星的半径为R，质量为m火，探测器质量为m，根据G＝m得Gm火＝Rv2，其中R＝，v＝，联立解得m火＝，选项B错误；由G＝mg得g＝＝·＝，选项C正确；由题意可知探测器的速度即为火星的第一宇宙速度，大小为，选项D错误。
【例2】中国绕月卫星“龙江二号”是全球首个独立完成地月转移、近月制动、环月飞行的微卫星，2019年2月4日，“龙江二号”成功拍下月球背面和地球的完整合照。已知“龙江二号”距离月球表面h处环月做圆周运动的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，据此不可求的物理量是( )
A．“龙江二号”的质量
B．“龙江二号”的线速度大小
C．月球的质量
D．月球表面的重力加速度大小
【答案】 A
【解析】 根据万有引力提供向心力可知G＝m()2(R＋h)，“龙江二号”的质量不可求出，但月球质量可求出，故A错误，C正确；根据T＝可求出其运动的线速度，故B正确；根据G＝m0g且m月也为已知量，可求出月球表面的重力加速度，故D正确。
【例3】(多选)(2021·湖南衡阳市联考)2020年11月24日，长征五号运载火箭搭载“嫦娥五号”探测器成功发射升空并将其送入预定轨道，11月28日，“嫦娥五号”进入环月轨道飞行，12月17日凌晨，“嫦娥五号”返回器携带月壤着陆地球。假设“嫦娥五号”环绕月球飞行时，在距月球表面高度为h处，绕月球做匀速圆周运动(不计周围其他天体的影响)，测出飞行周期T，已知万有引力常量G和月球半径R。则下列说法正确的是( )
A．“嫦娥五号”绕月球飞行的线速度为
B．月球的质量为
C．月球的第一宇宙速度为
D．月球表面的重力加速度为
【答案】 AC
【解析】 “嫦娥五号”绕月球飞行的轨道半径为(R＋h)，所以飞行的线速度为v＝，故A正确；“嫦娥五号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G＝m()2(R＋h)，解得月球的质量为m月＝，故B错误；月球第一宇宙速度为绕月球表面运行的卫星的速度，由牛顿第二定律得G＝m，解得月球的第一宇宙速度为v＝，故C正确；在月球表面，重力等于万有引力mg＝G，月球表面的重力加速度为g月＝，故D错误。
类型3 利用椭圆轨道求质量与密度
【例1】(2021·全国乙卷，18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
【答案】 B
【解析】 由万有引力提供向心力有＝mR，整理得＝，可知只与中心天体的质量有关，则＝，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正确。
【例2】(多选)(2022·山东济南市模拟)2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，探测器顺利进入近火点高度约400千米，周期约10个地球日的环火椭圆轨道，轨道如图所示，“天问一号”成为我国第一颗人造火星卫星。已知火星的直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的10%，自转周期约为一个地球日，关于火星和天问一号，下列说法正确的是( )
A．天问一号在近火点的速度比远火点速度大
B．天问一号在远火点的速度比火星的第一宇宙速度大
C．火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度
D．根据以上信息可以估算出火星的密度
【答案】 AC
【解析】 由开普勒第二定律可知，天问一号在近火点的速度比远火点的速度大，A正确；所有卫星的运行速度不可能大于火星的第一宇宙速度，可知天问一号在远火点的速度比火星的第一宇宙速度小，B错误；因为火星的直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的10%，由公式＝mg可知，g火＝g地，火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，C正确；由于不知道火星的半径大小，故不能估算出火星的密度，D错误。
【例3】（2022·安徽高三开学考试）2020年1月24目4时30分，在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送人预定轨道，11月29日20时23分，嫦娥五号从椭圆环月轨道变轨到近月圆轨道。如图所示、两点分别为椭圆环月轨道Ⅰ的远月点和近月点，近月圆轨道Ⅱ与椭圆环月轨道Ⅰ在B点相切。若只考虑嫦蛾五号和月球之间的相互作用，则关于嫦娥五号的运行情况，下列说法正确的是（ ）
A．在轨道Ⅰ上运行经过A点时的速率大于B点时的速率
B．在轨道Ⅰ上运行到B点的速度小于在轨道Ⅱ上运动到B点的速度
C．在轨道Ⅰ上运行到B点时的加速度大于在轨道Ⅱ上运行到B点时的加速度
D．若已知引力常量G和卫星在轨道Ⅱ上运动的周期T，则可以推知月球的平均密度
【答案】D
【详解】
A．根据开普勒第二定律知，卫星在轨道I上运行时，从B点向A点运动时，速度逐渐减小，经过B点时的速率大于经过A点时的速率，故A错误；
B．卫星从轨道I到轨道Ⅱ要在B点点火减速，则在轨道I上B点的速度大于轨道Ⅱ上B点的速度，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力
可得
则飞船在轨道I、Ⅱ上的B点时加速度相等，故C错误；
D．卫星贴近月球表面飞行时，如果知道周期T，可以计算出平均密度，即由
解得
故D正确。
故选D。
题型四 卫星运行参量的分析
类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系
1．天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．物理量随轨道半径变化的规律
G＝
即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢)
3．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
4．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关．
【例1】(2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
【答案】 C
【解析】 轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝m，得v＝，得＝＝，故B错误；由万有引力提供向心力有＝mω2r，得ω＝，得＝＝，故C正确；由＝ma，得a＝，得＝＝，故D错误．
【例2】(多选)(2020·江苏卷·7改编)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．下列应用公式进行的推论正确的有( )
A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍
【答案】 CD
【解析】 人造卫星绕地球做圆周运动时有G＝m，即v＝，因此甲的速度是乙的倍，故A错误；由G＝ma得a＝，故甲的向心加速度是乙的，故B错误；由F＝G知甲的向心力是乙的，故C正确；由开普勒第三定律＝k，绕同一天体运动，k值不变，可知甲的周期是乙的2倍，故D正确．
【例3】2021年6月17日我国神舟十二号载人飞船入轨后，按照预定程序，与在同一轨道上运行的“天和”核心舱交会对接，航天员将进驻“天和”核心舱．交会对接后神舟十二号飞船与“天和”核心舱的组合体轨道不变，将对接前飞船与对接后的组合体对比，下面说法正确的是( )
A．组合体的环绕速度大于神舟十二号飞船的环绕速度
B．组合体的环绕周期大于神舟十二号飞船的环绕周期
C．组合体的向心加速度大于神舟十二号飞船的向心加速度
D．组合体所需的向心力大于神舟十二号飞船所需的向心力
【答案】 D
【解析】 由G＝m＝mr，可得v＝，T＝2π，可见v、T与质量m无关，二者的环绕速度与周期相同，故A、B错误；由＝ma可得a＝，可知向心加速度与质量m无关，二者的向心加速度相同，故C错误；向心力为F＝，组合体的质量大于神舟十二号飞船的质量，则组合体所需的向心力大于神舟十二号飞船所需的向心力，故D正确．
类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3.
比较项目
近地卫星
(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球自转的物体
(r3、ω3、v3、a3)
向心力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2>r1＝r3
角速度
ω1>ω2＝ω3
线速度
v1>v2>v3
向心加速度
a1>a2>a3
【例1】如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，a和b的轨道半径相同，且均为c的k倍，已知地球自转周期为T。则( )
A．卫星b也是地球同步卫星
B．卫星a的向心加速度是卫星c的向心加速度的k2倍
C．卫星c的周期为T
D．a、b、c三颗卫星的运行速度大小关系为
va＝vb＝vc
【答案】 C
【解析】 卫星b相对地球不能保持静止，故不是地球同步卫星，A错误；根据G＝ma可得a＝，即＝＝，B错误；根据开普勒第三定律＝可得Tc＝＝Ta＝T，C正确；根据公式G＝m可得v＝，故va＝vb＜，D错误。
【例2】(2022·山东枣庄八中月考)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有( )
A．c在4个小时内转过的圆心角是
B．a的向心加速度等于重力加速度g
C．线速度大小关系为va>vb>vc>vd
D．d的运动周期有可能是20小时
【答案】 A
【解析】 c是同步卫星，运动周期为24 h，因此在4 h内转过的圆心角θ＝×4＝，A正确；由于卫星a还未发射，与同步卫星具有相同角速度，根据an＝rω2可知，a的向心加速度小于同步卫星的向心加速度，卫星c是地球同步卫星，有G＝mac，卫星b是近地轨道卫星，因此有G＝mg＝mab，由以上计算分析可知，卫星b的向心加速度大于卫星c的向心加速度，也大于卫星a的向心加速度，因此卫星a的向心加速度小于重力加速度g，故B错误；由于a、c的角速度相等，根据v＝ωr可知va
A. 倾斜地球同步轨道卫星和静止轨道卫星线速度相同
B. 地球赤道上的随地球一起自转的石块线速度比中地球轨道卫星线速度要大
C. 中地球轨道卫星的运行周期小于地球自转周期
D. 静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星的发射速度一定要超过7.9km/s，中地球轨道卫星的发射速度可以小于7.9km/s
【答案】C
【解析】A．倾斜地球同步轨道卫星和静止轨道卫星线速度大小相同，方向不同，故A错误；
B．地球赤道上的随地球一起自转的石块线速度比中轨道卫星线速度小，故B错误；
C．由可知，中轨道卫星周期小于地球同步卫星周期，而同步卫星周期等于地球自转周期，故C正确；
D．地球的第一宇宙速度7.9km/s是卫星发射的最小速度，所以各卫星发射速度均大于7.9km/s，故D错误。
故选C。
类型3 宇宙速度
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝m得
v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min.
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
【例1】地球的近地卫星线速度大小约为8 km/s，已知月球质量约为地球质量的，地球半径约为月球半径的4倍，下列说法正确的是( )
A．在月球上发射卫星的最小速度约为8 km/s
B．月球卫星的环绕速度可能达到4 km/s
C．月球的第一宇宙速度约为1.8 km/s
D．“近月卫星”的线速度比“近地卫星”的线速度大
【答案】 C
【解析】 根据第一宇宙速度v＝，月球与地球的第一宇宙速度之比为＝＝＝，月球的第一宇宙速度约为v2＝v1＝×8 km/s≈1.8 km/s，在月球上发射卫星的最小速度约为1.8 km/s，月球卫星的环绕速度小于或等于1.8 km/s，“近月卫星”的速度为1.8 km/s，小于“近地卫星”的速度，故C正确．
【例2】我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
【答案】 A
【解析】 火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正确，B错误；由G＝m得，v火＝＝＝v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；由＝mg得，
g火＝G＝G＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误．
【例3】宇航员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R.求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能Ep＝－G.(G为引力常量)
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)由题意可知星球表面重力加速度为
g＝
由万有引力定律知mg＝m
解得v1＝＝.
(2)由星球表面万有引力等于物体重力知
＝mg
又Ep＝－G
解得Ep＝－
由机械能守恒定律有mv22－＝0解得v2＝.
题型五 卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1
【例1】嫦娥五号完美完成中国航天史上最复杂任务后于2020年12月17日成功返回，最终收获1731克样本．图中椭圆轨道Ⅰ、100公里环月轨道Ⅱ及月地转移轨道Ⅲ分别为嫦娥五号从月球返回地面过程中所经过的三个轨道示意图，下列关于嫦娥五号从月球返回过程中有关说法正确的是( )
A．在轨道Ⅱ上运行时的周期小于在轨道Ⅰ上运行时的周期
B．在轨道Ⅰ上运行时的加速度大小始终大于在轨道Ⅱ上时的加速度大小
C．在N点时嫦娥五号经过点火加速才能从Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道返回
D．在月地转移轨道上飞行的过程中可能存在不受万有引力的瞬间
【答案】 C
【解析】 轨道Ⅱ的半径大于椭圆轨道Ⅰ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅱ上运行时的周期大于在轨道Ⅰ上运行时的周期，故A错误；在轨道Ⅰ上的N点和轨道Ⅱ上的N受到的万有引力相同，所以在两个轨道上经过N点时的加速度相等，故B错误；从轨道Ⅱ到月地转移轨道Ⅲ做离心运动，在N点时嫦娥五号需要经过点火加速才能从Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道返回，故C正确；在月地转移轨道上飞行的过程中，始终在地球的引力范围内，不存在不受万有引力的瞬间，故D错误．
【例2】(多选)载着登陆舱的探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹如图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆，探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．已知火星的半径为R，OQ＝4R，探测器在轨道Ⅱ上经过O点的速度为v，下列说法正确的有( )
A．在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积相等
B．探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点的速度小于v
C．探测器在轨道Ⅱ运动时，经过O点的加速度等于
D．在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与在轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是3∶4
【答案】 CD
【解析】 根据开普勒第二定律，在同一轨道上探测器与火星中心的连线在相等时间内扫过相等的面积，在两个不同的轨道上，不具备上述关系，即在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积不相等，故A错误；探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点减速变轨到轨道Ⅱ，则在轨道Ⅰ运动时经过O点的速度大于v，故B错误；轨道Ⅱ是圆轨道，半径为3R，经过O点的速度为v，根据圆周运动的规律可知，探测器经过O点的加速度a＝，故C正确；轨道Ⅲ的半长轴为2R，根据开普勒第三定律可知()3＝()2，解得＝，则在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与在轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是3∶4，故D正确．
【例3】(多选) (2022·八省联考湖北卷)“嫦娥五号”取壤返回地球，完成了中国航天史上的一次壮举。如图2所示为“嫦娥五号”着陆地球前部分轨道的简化示意图，其中Ⅰ是月地转移轨道，在P点由轨道Ⅰ变为绕地椭圆轨道Ⅱ，在近地点Q再变为绕地椭圆轨道Ⅲ。下列说法正确的是( )
A．在轨道Ⅱ运行时，“嫦娥五号”在Q点的机械能比在P点的机械能大
B．“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上运行的周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长
C．“嫦娥五号”分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的向心加速度大小相等
D．“嫦娥五号”分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的速度大小相等
【答案】 BC
【解析】 在同一轨道上运动时，“嫦娥五号”的机械能守恒，A错误；由开普勒第三定律＝k可知，半长轴越大，周期越长，故“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上运行周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长，B正确；由牛顿第二定律＝ma可知a＝，从不同轨道经过同一点时，加速度相同，C正确；由Ⅱ轨道在Q点减速才能变轨到Ⅲ轨道，可见vⅡQ>vⅢQ，D错误。
【例4】2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站．对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接．则神舟十二号飞船( )
A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小相同
B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，速度不断增大
C．沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1
D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
【答案】 C
【解析】 飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速，所以沿两轨道经过A点时速度大小不相同，故A错误；沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，万有引力做负功，速度不断减小，故B错误；根据开普勒第三定律，有＝，解得T2＝T1，故C正确；飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝mr，解得T＝，所以沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故D错误．
类型2 卫星的对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.
【例1】我国2021年4月29日在海南文昌用长征五号B遥二运载火箭成功将空间站“天和”核心舱送入离地高约450 km的预定圆轨道，中国空间站在轨组装建造全面展开．关于火箭发射以及空间站的组合、对接，下列说法正确的是( )
A．火箭发射升空过程中，发动机喷出的燃气推动空气，空气推动火箭上升
B．空间站在轨运行的速率可能大于7.9 km/s
C．飞船要和在轨的核心舱对接，通常是将飞船发射到较低的轨道上，然后使飞船加速实现对接
D．未来在空间站中工作的航天员因为不受地球引力作用，所以处于完全失重状态
【答案】 C
【解析】 火箭发射升空的过程中，火箭给喷出的燃气作用力，燃气给火箭反作用力，推动火箭上升，A错误；第一宇宙速度为7.9 km/s，是飞行器绕地球运行时的最大速度，因此空间站在轨运行速度一定小于7.9 km/s，B错误；根据卫星对接原理可知，飞船先发射到较低轨道，然后追及空间站，在适当位置加速做离心运动，实现与核心舱对接，C正确；在空间站中工作的航天员受到地球引力作用，处于完全失重状态，D错误．
【例2】宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动。若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是( )
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
【答案】 B
【解析】 飞船在轨道上正常运行时，有G＝m。当飞船直接加速时，所需向心力m增大，则G＜m，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B正确，D错误；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速故而追不上空间站，C错误。
题型六 天体的“追及”问题
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：
1．角度关系
ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)
2．圈数关系
－＝n(n＝1、2、3…)
解得t＝(n＝1、2、3…)
同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或－＝(n＝1、2、3…)
【例1】．2021年7月9日，我国成功将“钟子号卫星星座02组卫星”(用卫星A表示)送入预定轨道．地球半径为R，卫星B距地面的高度为3R，运行周期为T，如图某时刻两颗卫星相距最近，经时间t两颗卫星再次相距最近．则“钟子号卫星星座02组卫星”的轨道半径为( )
A．3R B．4R
C．4R D．4R
【答案】 B
【解析】 设“钟子号卫星星座02组卫星”的运行周期为T0，由题意可得t＝2π，解得T0＝，由开普勒第三定律得＝，又h＝3R，解得r＝4R，故选B.
【例2】．中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021年2月10日成功环绕火星运行．若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做圆周运动，运行过程中火星与地球最近时相距R0、最远时相距5R0，则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为(地球公转周期为
365天)( )
A．365天 B．400天
C．670天 D．800天
【答案】 B
【解析】 设火星轨道半径为R1，公转周期为T1，地球轨道半径为R2，公转周期为T2，依题意有R1－R2＝R0，R1＋R2＝5R0，解得R1＝3R0，R2＝2R0，根据开普勒第三定律，有＝，解得T1＝年，设从相距最近到相距最远需经过的最短时间为t，有ω2t－ω1t＝π，ω＝，带入数据，可得t≈400天．故选B.
【例3】．据报道：由于火星和地球的位置关系，每隔一段时间，火星就会有一个离地球最近的时候，而这正是我们所称的发射窗口期，在此窗口期发射火星探测器，探测器到达火星的时间最短，飞行消耗的燃料也最少.2020年，火星发射窗口期出现在7～8月份，我国于2020年7月23日成功发射了“天问一号”火星探测器，已知：火星的轨道半径r1＝2.25×1011 m，地球的轨道半径r2＝1.5×1011 m(注：≈1.2)，那么下一个火星发射窗口期出现在( )
A．2020年9月 B．2021年9月
C．2022年9月 D．2023年9月
【答案】 C
【解析】 设火星的公转周期为T1，地球的公转周期为T2＝1年，由开普勒第三定律得＝，解得T1≈1.8年．设两个发射窗口期之间的时间差为t，则火星和地球转动的角度相差2π，有t＝2π，联立并带入数据解得t＝年，下一个火星发射窗口期出现在2022年9月，故选C.
【例4】当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( )
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
【答案】 B
【解析】 设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a.对行星由牛顿第二定律可得G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误；地球
公转周期T1＝1年，由T＝2π可知，木星公转周期T2＝T1≈11.2年．设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2023年，故A错误，B正确．
题型七 星球稳定自转的临界问题
当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是＝mR.
【例1】一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 对近地卫星，有 G＝m()2R，M＝ρ1·πR3，联立解得ρ1＝，以地球赤道处一质量为m0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于或等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有G＝m0()2R，M＝ρ2·πR3，联立解得ρ2＝，所以＝，故选D.
【例2】2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
【答案】 C
【解析】 脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，又知M＝ρ·πr3，整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.
【例3】．(2020·全国卷Ⅱ·15)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 根据卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力可得G＝m()2R，球形星体质量可表示为：M＝ρ·πR3，由以上两式可得：T＝，A正确．
题型八 双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2.
②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m1＋m2＝.
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)常见的三星模型
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)常见的四星模型
①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
类型1 双星问题
【例1】.(2022·江苏省如东高级中学高三月考)如图所示，两恒星A、B构成双星体，在万有引力的作用下绕连线上的O点做匀速圆周运动，在观测站上观察该双星的运动，测得该双星的运动周期为T，已知两颗恒星A、B间距为d，引力常量为G，则可推算出双星的总质量为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 双星系统，角速度相同，两颗恒星A、B间的万有引力为彼此的向心力，因此对A：G＝mA；对B：G＝mB，其中rA＋rB＝d，m总＝mA＋mB，联立解得m总＝，故选B.
【例2】．地球刚诞生时自转周期约为8小时，因为受到月球潮汐的影响，地球自转在持续减速，现在地球自转周期是24小时．与此同时，地月间的距离不断增加．若将地球和月球视为一个孤立的双星系统，两者绕其连线上的某一点O做匀速圆周运动，地球和月球的质量与大小均保持不变，则在地球自转减速的过程中( )
A．地球的第一宇宙速度不断减小
B．地球赤道处的重力加速度不断增大
C．地球、月球匀速圆周运动的周期不断减小
D．地球的轨道半径与月球的轨道半径之比不断增大
【答案】 B
【解析】 根据G＝m，解得地球的第一宇宙速度为v＝，地球的质量和半径不变，则第一宇宙速度不变，A错误；在赤道处，根据G－mg＝m2R地，则随着地球自转周期的变大，地球赤道处的重力加速度g不断增大，B正确；根据地月系统G＝M地r1＝M月r2，解得G(M地＋M月)＝，＝，因为地球和月球的质量保持不变，地月间的距离L不断增大，可知地球、月球匀速圆周运动的周期不断增大，地球的轨道半径与月球的轨道半径之比不变，C、D错误．
【例3】．2017年8月28日，中科院南极天文中心的巡天望远镜观测到一个由双中子星构成的孤立双星系统产生的引力波．该双星系统以引力波的形式向外辐射能量，使得圆周运动的周期T极其缓慢地减小，双中子星的质量m1与m2均不变，则下列关于该双星系统变化的说法正确的是( )
A．双星间的距离逐渐增大
B．双星间的万有引力逐渐增大
C．双星的线速度逐渐减小
D．双星系统的引力势能逐渐增大
【答案】 B
【解析】 根据万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得F＝＝m12r1＝m22r2＝m1＝m2，其中L＝r1＋r2，解得周期T＝，由于周期极其缓慢地减小，则双星间的距离L减小，万有引力逐渐增大，故A错误，B正确；在双星间的距离减小的过程中，万有引力对双星做正功，则双星系统的引力势能逐渐减小，故D错误；由上式解得v1＝，v2＝，可知双星间的距离L减小，双星各自的线速度增大，故C错误．
类型2 三星问题
【例1】由三个星体构成的系统，叫作三星系统．有这样一种简单的三星系统，质量刚好都相同的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动．若三个星体的质量均为m，三角形的边长为a，万有引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．三个星体做圆周运动的半径均为a
B．三个星体做圆周运动的周期均为2πa
C．三个星体做圆周运动的线速度大小均为
D．三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为
【答案】 B
【解析】 质量相等的三星系统的位置关系构成一等边三角形，其中心O即为它们的共同圆心，
由几何关系可知三个星体做圆周运动的半径r＝a，故选项A错误；每个星体受到的另外两星体的万有引力的合力提供向心力，其大小F＝·，则＝mr，得T＝2πa，故选项B正确；由线速度公式v＝得v＝ ，故选项C错误；向心加速度a＝＝，故选项D错误．
【例2】．在某科学报告中指出，在距离我们大约1 600光年的范围内，存在一个四星系统．假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动．设每颗星体的质量均为m，引力常量为G，则( )
A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与m无关
B．三星的总动能为Ek＝
C．若四颗星体的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍
D．若距离L不变，四颗星体的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍
【答案】 B
【解析】 位于等边三角形三个顶点上的每颗星体的轨道半径为r＝，另外三颗星体对它万有引力的合力F＝G＋2Gcos 30°＝，由＝ma，解得a＝，向心加速度大小与质量有关，选项A错误；由＝m，得Ek1＝mv2＝，解得总动能Ek＝，选项B正确；由＝m··2，解得T＝2π，若距离L变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍；若每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的，即角速度变为原来的，选项C、D错误．
【例3】(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M，并且两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为
【答案】 BC
【解析】 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项A错误；直线三星系统中，对甲星有G＋G＝MR，解得T＝4πR，选项B正确；对三角形三星系统中任一颗星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2Gcos 30°＝M·，又由题知两种系统的运动周期相同，即T＝4πR，联立解得L＝R，选项C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝＝＝··，选项D错误．
类型4 四星问题
【例1】(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统．若某个四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，忽略其他星体对它们的引力作用，忽略星体自转，则可能存在如下运动形式：四颗星分别位于边长为L的正方形的四个顶点上(L远大于R)，在相互之间的万有引力作用下，绕某一共同的圆心做角速度相同的圆周运动．已知引力常量为G，则关于此四星系统，下列说法正确的是( )
A．四颗星做圆周运动的轨道半径均为
B．四颗星表面的重力加速度均为G
C．四颗星做圆周运动的向心力大小为(2＋1)
D．四颗星做圆周运动的角速度均为
【答案】 BD
【解析】 任一颗星体在其他三颗星体的万有引力的作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径均为r＝L，故A错误；星体表面的物体受到的万有引力等于它受到的重力，即G＝m′g，解得g＝，故B正确；由万有引力定律可得四颗星做圆周运动的向心力大小为Fn＝G＋2Gcos 45°＝(＋)，选项C错误；由牛顿第二定律得Fn＝(＋)＝mω2(L)，解得ω＝，故D正确．
【例2】(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
【答案】 BD
【解析】 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由G＋G＝(＋)G＝mω2·L，可知ω＝，故B正确；由(＋)G＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由(＋)G＝m可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．
目录
题型一 开普勒定律的应用 1
题型二 万有引力定律的理解 3
类型1 万有引力定律的理解和简单计算 3
类型2 不同天体表面引力的比较与计算 4
类型3 重力和万有引力的关系 5
类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算 7
题型三 天体质量和密度的计算 8
类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度 8
类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度 9
类型3 利用椭圆轨道求质量与密度 11
题型四 卫星运行参量的分析 13
类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系 13
类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 15
类型3 宇宙速度 17
题型五 卫星的变轨和对接问题 19
类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较 19
类型2 卫星的对接问题 22
题型六 天体的“追及”问题 23
题型七 星球稳定自转的临界问题 25
题型八 双星或多星模型 26
类型1 双星问题 27
类型2 三星问题 29
类型4 四星问题 31
题型一 开普勒定律的应用
【解题指导】1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
【例1】(2022·山东潍坊市模拟)中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021年2月10日成功环绕火星运动。若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做圆周运动，运行过程中火星与地球最近时相距R0、最远时相距5R0，则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为( )
A．365天 B．400天
C．670天 D．800天
【答案】 B
【解析】 设火星轨道半径为R1，公转周期为T1，地球轨道半径为R2，公转周期为T2，依题意有R1－R2＝R0，R1＋R2＝5R0，解得R1＝3R0，R2＝2R0，根据开普勒第三定律有＝，解得T1＝年，设从相距最近到相距最远需经过的最短时间为t，有ω2t－ω1t＝π，ω＝，代入数据可得t＝405天，故选项B正确。
【例2】(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【答案】 CD
【解析】 由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。
【例3】(2021·全国甲卷，18)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
【答案】 C
【解析】 在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝mR火，得T＝，根据开普勒第三定律，有＝，代入数据解得l远≈6×107 m，C正确。
题型二 万有引力定律的理解
【解题指导】1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
2．星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度g′，mg′＝，得g′＝，所以＝。
类型1 万有引力定律的理解和简单计算
【例1】2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是( )
【答案】 D
【解析】 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律F＝G，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D.
【例2】(多选)在万有引力定律建立的过程中，“月—地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与地球对苹果的力是同一种力。完成“月—地检验”需要知道的物理量有( )
A．月球和地球的质量
B．引力常量G和月球公转周期
C. 地球半径和“月—地”中心距离
D．月球公转周期和地球表面重力加速度g
【答案】 CD
【解析】 地球表面物体的重力等于万有引力，有
mg＝G，即gR2＝Gm地
根据万有引力定律和牛顿运动第二定律，有
G＝ma
可算出月球在轨道处的引力加速度为
a＝G＝
根据月球绕地球公转的半径、月球的公转周期，由月球做匀速圆周运动可得
a＝
代入数值可求得两加速度吻合，故A、B错误，C、D正确。
类型2 不同天体表面引力的比较与计算
【例1】(2021·山东卷)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
【答案】 B
【解析】 悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小等于它们所受的万有引力，则＝＝··＝9×2×＝，故B正确。
【例2】 (2020·全国Ⅰ卷，15)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
【答案】 B
【解析】 由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝G，在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝G，二者的比值＝＝0.4，B正确，A、C、D错误。
类型3 重力和万有引力的关系
【例1】(多选)如表格中列出一些地点的重力加速度，表中数据的规律可表述为：随着地面上地点纬度的增大，该处的重力加速度增大．已知地面不是标准球面，纬度越大的地点半径越小，是形成表格所示规律的原因，以下说法正确的有( )
地点
纬度
重力加速度
赤道海平面
0°
9.780 m/s2
马尼拉
14°35′
9.784 m/s2
广州
23°06′
9.788 m/s2
上海
31°12′
9.794 m/s2
东京
35°43′
9.798 m/s2
北京
39°56′
9.801 m/s2
莫斯科
55°45′
9.816 m/s2
北极
90°
9.832 m/s2
A.地面物体的重力等于所受地球引力的大小与随地球自转所需向心力大小之差
B．地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大
C．地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而增大
D．地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大
【答案】 BD
【解析】 地面物体的重力等于所受地球引力的大小与随地球自转所需向心力矢量之差，故A错误；由题可知，地面物体受到地球引力的大小随所在地纬度的增大而增大，故B正确；由F向＝mω2r可得地面物体随地球自转所需向心力随所在地纬度的增大而减小，故C错误；如图所示，
可得出地面物体受地球引力的方向与随地球自转所需向心力的方向的夹角随所在地纬度的增大而增大，故D正确．
【例2】(多选)如图，某次发射火箭的过程中，当火箭距地面的高度恰好为地球半径的3倍时，火箭的加速度为a，方向竖直向上，火箭内有一电子台秤，物体在该台秤上显示的示数为发射前在地面上静止时示数的一半．已知地球的第一宇宙速度为v，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．距地面高度恰好为地球半径的3倍处的重力加速度为地球表面重力加速度的
B．地球表面的重力加速度约为16a
C．地球的半径为R＝
D．地球的质量为M＝
【答案】 AC
【解析】 设地球表面的重力加速度为g，距地面高度恰好为地球半径的3倍处的重力加速度为g1，由G＝mg，得＝，解得g1＝，A项正确；设台秤上物体的质量为m，火箭在地面上时台秤显示的示数FN1＝mg，距地面3R时台称显示的示数FN2＝FN1＝ma＋mg1，解得a＝g，同时得到g＝，B错误；在地球表面，设近地卫星质量为m0，有m0g＝m0，解得R＝，C项正确；由G＝m0g，解得M＝，D项错误．
【例3】．某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 在“极点”处：mg2＝；在其表面“赤道”处：－mg1＝m()2R；解得：R＝，故选C.
类型4 地球表面与地表下某处重力加速度的比较与计算
【例1】假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－ B．1＋
C.2 D.2
【答案】 A
解析 如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重
力近似等于万有引力，故mg＝G，又M＝ρ·πR3，故g＝πρGR；设矿井底部的重力加速度为g′，图中阴影部分所示球体的半径r＝R－d，则g′＝πρG(R－d)，联立解得＝1－，A正确．
【例2】(2022·河南洛阳名校联考)若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为(质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零)( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小相等，有g＝G.由于地球的质量为M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成g＝＝＝πGρR.质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝.根据万有引力提供向心力有G＝ma，“天宫一号”所在处的重力加速度为a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误．
题型三 天体质量和密度的计算
类型
方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质
量
的
计
算
利用运
行天体
r、T
G＝mr
m中＝
只能得到中心天体的质量
r、v
G＝m
m中＝
v、T
G＝m，G＝mr
m中＝
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝
m中＝
—
密
度
的
计
算
利用运
行天体
r、T、R
G＝mr
m中＝ρ·πR3
ρ＝
当r＝R时，ρ＝
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝，m中＝ρ·πR3
ρ＝
—
类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度
【例1】2020年7月23日，我国首个独立火星探测器“天问一号”在文昌航天发射场成功升空并进入预定轨道，已于今年5月15日成功着陆火星表面，对我国持续推进深空探测、提升国家软实力和国际影响力具有重要意义．已知火星半径为R且质量分布均匀，火星两极表面的重力加速度大小为g，火星赤道表面重力加速度大小为ng(n<1)，引力常量为G.则下列说法正确的是( )
A．在火星赤道上质量为m的探测器，它对火星表面的压力大小为mg
B．火星的平均密度为
C．探测器在近火轨道上的绕行速度为
D．火星的自转周期为2π
【答案】 B
【解析】 在火星赤道上，探测器对火星表面的压力大小为nmg，A错误；对火星两极表面的物体有G＝mg，火星的平均密度为ρ＝＝＝，B正确；由G＝mg，得GM＝gR2，根据G＝m，得近火轨道上的绕行速度为v＝，C错误；对在火星赤道上的物体有G＝mng＋m2R，对火星两极表面的物体有G＝mg，解得T＝2π，D错误．
【例2】嫦娥四号是我国探月工程二期发射的月球探测器，也是人类第一个着陆月球背面的探测器．嫦娥四号于2018年12月12日完成近月制动被月球捕获．若探测器近月环绕周期为T，探测器降落到月球表面后，从距月球表面高度为h处由静止释放一物体，测出物体落到月球表面的时间为t，已知月球半径为R，引力常量为G，将月球视为质量均匀分布的球体，通过以上物理量可求得月球的平均密度为( )
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 探测器近月环绕运动，根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得M＝，根据密度公式ρ＝和体积公式V＝πR3，解得ρ＝，选项C错误；物体落到月球表面过程有h＝g月t2，在月球表面有G＝mg月，联立密度公式ρ＝和体积公式V＝πR3，解得ρ＝，选项D正确，A、B错误．
类型2 利用“环绕法”计算天体质量和密度
【例1】(2021·5月贵阳模拟)2021年2月10日19时52分，“天问一号”探测器成功进入环绕火星的轨道，开启了我国首次火星探测之旅。假定探测器贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动，经时间t，探测器运动的弧长为s，探测器与火星中心连线扫过的圆心角为θ，已知引力常量为G，t小于探测器绕火星运行的周期，不考虑火星自转的影响，根据以上数据可计算出( )
A．探测器的环绕周期为
B．火星的质量为
C．火星表面的重力加速度大小为
D．火星的第一宇宙速度大小为
【答案】 C
【解析】 探测器的环绕周期为T＝＝，选项A错误；设火星的半径为R，质量为m火，探测器质量为m，根据G＝m得Gm火＝Rv2，其中R＝，v＝，联立解得m火＝，选项B错误；由G＝mg得g＝＝·＝，选项C正确；由题意可知探测器的速度即为火星的第一宇宙速度，大小为，选项D错误。
【例2】中国绕月卫星“龙江二号”是全球首个独立完成地月转移、近月制动、环月飞行的微卫星，2019年2月4日，“龙江二号”成功拍下月球背面和地球的完整合照。已知“龙江二号”距离月球表面h处环月做圆周运动的周期为T，月球半径为R，万有引力常量为G，据此不可求的物理量是( )
A．“龙江二号”的质量
B．“龙江二号”的线速度大小
C．月球的质量
D．月球表面的重力加速度大小
【答案】 A
【解析】 根据万有引力提供向心力可知G＝m()2(R＋h)，“龙江二号”的质量不可求出，但月球质量可求出，故A错误，C正确；根据T＝可求出其运动的线速度，故B正确；根据G＝m0g且m月也为已知量，可求出月球表面的重力加速度，故D正确。
【例3】(多选)(2021·湖南衡阳市联考)2020年11月24日，长征五号运载火箭搭载“嫦娥五号”探测器成功发射升空并将其送入预定轨道，11月28日，“嫦娥五号”进入环月轨道飞行，12月17日凌晨，“嫦娥五号”返回器携带月壤着陆地球。假设“嫦娥五号”环绕月球飞行时，在距月球表面高度为h处，绕月球做匀速圆周运动(不计周围其他天体的影响)，测出飞行周期T，已知万有引力常量G和月球半径R。则下列说法正确的是( )
A．“嫦娥五号”绕月球飞行的线速度为
B．月球的质量为
C．月球的第一宇宙速度为
D．月球表面的重力加速度为
【答案】 AC
【解析】 “嫦娥五号”绕月球飞行的轨道半径为(R＋h)，所以飞行的线速度为v＝，故A正确；“嫦娥五号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G＝m()2(R＋h)，解得月球的质量为m月＝，故B错误；月球第一宇宙速度为绕月球表面运行的卫星的速度，由牛顿第二定律得G＝m，解得月球的第一宇宙速度为v＝，故C正确；在月球表面，重力等于万有引力mg＝G，月球表面的重力加速度为g月＝，故D错误。
类型3 利用椭圆轨道求质量与密度
【例1】(2021·全国乙卷，18)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
【答案】 B
【解析】 由万有引力提供向心力有＝mR，整理得＝，可知只与中心天体的质量有关，则＝，已知T地＝1年，由题图可知恒星S2绕银河系运动的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正确。
【例2】(多选)(2022·山东济南市模拟)2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，探测器顺利进入近火点高度约400千米，周期约10个地球日的环火椭圆轨道，轨道如图所示，“天问一号”成为我国第一颗人造火星卫星。已知火星的直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的10%，自转周期约为一个地球日，关于火星和天问一号，下列说法正确的是( )
A．天问一号在近火点的速度比远火点速度大
B．天问一号在远火点的速度比火星的第一宇宙速度大
C．火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度
D．根据以上信息可以估算出火星的密度
【答案】 AC
【解析】 由开普勒第二定律可知，天问一号在近火点的速度比远火点的速度大，A正确；所有卫星的运行速度不可能大于火星的第一宇宙速度，可知天问一号在远火点的速度比火星的第一宇宙速度小，B错误；因为火星的直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的10%，由公式＝mg可知，g火＝g地，火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，C正确；由于不知道火星的半径大小，故不能估算出火星的密度，D错误。
【例3】（2022·安徽高三开学考试）2020年1月24目4时30分，在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送人预定轨道，11月29日20时23分，嫦娥五号从椭圆环月轨道变轨到近月圆轨道。如图所示、两点分别为椭圆环月轨道Ⅰ的远月点和近月点，近月圆轨道Ⅱ与椭圆环月轨道Ⅰ在B点相切。若只考虑嫦蛾五号和月球之间的相互作用，则关于嫦娥五号的运行情况，下列说法正确的是（ ）
A．在轨道Ⅰ上运行经过A点时的速率大于B点时的速率
B．在轨道Ⅰ上运行到B点的速度小于在轨道Ⅱ上运动到B点的速度
C．在轨道Ⅰ上运行到B点时的加速度大于在轨道Ⅱ上运行到B点时的加速度
D．若已知引力常量G和卫星在轨道Ⅱ上运动的周期T，则可以推知月球的平均密度
【答案】D
【详解】
A．根据开普勒第二定律知，卫星在轨道I上运行时，从B点向A点运动时，速度逐渐减小，经过B点时的速率大于经过A点时的速率，故A错误；
B．卫星从轨道I到轨道Ⅱ要在B点点火减速，则在轨道I上B点的速度大于轨道Ⅱ上B点的速度，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力
可得
则飞船在轨道I、Ⅱ上的B点时加速度相等，故C错误；
D．卫星贴近月球表面飞行时，如果知道周期T，可以计算出平均密度，即由
解得
故D正确。
故选D。
题型四 卫星运行参量的分析
类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系
1．天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．物理量随轨道半径变化的规律
G＝
即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢)
3．公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
4．同一中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量只与r有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T等物理量与中心天体质量M和r有关．
【例1】(2020·浙江7月选考·7)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的( )
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
【答案】 C
【解析】 轨道周长C＝2πr，与半径成正比，故轨道周长之比为3∶2，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝m，得v＝，得＝＝，故B错误；由万有引力提供向心力有＝mω2r，得ω＝，得＝＝，故C正确；由＝ma，得a＝，得＝＝，故D错误．
【例2】(多选)(2020·江苏卷·7改编)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．下列应用公式进行的推论正确的有( )
A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍
【答案】 CD
【解析】 人造卫星绕地球做圆周运动时有G＝m，即v＝，因此甲的速度是乙的倍，故A错误；由G＝ma得a＝，故甲的向心加速度是乙的，故B错误；由F＝G知甲的向心力是乙的，故C正确；由开普勒第三定律＝k，绕同一天体运动，k值不变，可知甲的周期是乙的2倍，故D正确．
【例3】2021年6月17日我国神舟十二号载人飞船入轨后，按照预定程序，与在同一轨道上运行的“天和”核心舱交会对接，航天员将进驻“天和”核心舱．交会对接后神舟十二号飞船与“天和”核心舱的组合体轨道不变，将对接前飞船与对接后的组合体对比，下面说法正确的是( )
A．组合体的环绕速度大于神舟十二号飞船的环绕速度
B．组合体的环绕周期大于神舟十二号飞船的环绕周期
C．组合体的向心加速度大于神舟十二号飞船的向心加速度
D．组合体所需的向心力大于神舟十二号飞船所需的向心力
【答案】 D
【解析】 由G＝m＝mr，可得v＝，T＝2π，可见v、T与质量m无关，二者的环绕速度与周期相同，故A、B错误；由＝ma可得a＝，可知向心加速度与质量m无关，二者的向心加速度相同，故C错误；向心力为F＝，组合体的质量大于神舟十二号飞船的质量，则组合体所需的向心力大于神舟十二号飞船所需的向心力，故D正确．
类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3.
比较项目
近地卫星
(r1、ω1、v1、a1)
同步卫星
(r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球自转的物体
(r3、ω3、v3、a3)
向心力
万有引力
万有引力
万有引力的一个分力
轨道半径
r2>r1＝r3
角速度
ω1>ω2＝ω3
线速度
v1>v2>v3
向心加速度
a1>a2>a3
【例1】如图所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，a和b的轨道半径相同，且均为c的k倍，已知地球自转周期为T。则( )
A．卫星b也是地球同步卫星
B．卫星a的向心加速度是卫星c的向心加速度的k2倍
C．卫星c的周期为T
D．a、b、c三颗卫星的运行速度大小关系为
va＝vb＝vc
【答案】 C
【解析】 卫星b相对地球不能保持静止，故不是地球同步卫星，A错误；根据G＝ma可得a＝，即＝＝，B错误；根据开普勒第三定律＝可得Tc＝＝Ta＝T，C正确；根据公式G＝m可得v＝，故va＝vb＜，D错误。
【例2】(2022·山东枣庄八中月考)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有( )
A．c在4个小时内转过的圆心角是
B．a的向心加速度等于重力加速度g
C．线速度大小关系为va>vb>vc>vd
D．d的运动周期有可能是20小时
【答案】 A
【解析】 c是同步卫星，运动周期为24 h，因此在4 h内转过的圆心角θ＝×4＝，A正确；由于卫星a还未发射，与同步卫星具有相同角速度，根据an＝rω2可知，a的向心加速度小于同步卫星的向心加速度，卫星c是地球同步卫星，有G＝mac，卫星b是近地轨道卫星，因此有G＝mg＝mab，由以上计算分析可知，卫星b的向心加速度大于卫星c的向心加速度，也大于卫星a的向心加速度，因此卫星a的向心加速度小于重力加速度g，故B错误；由于a、c的角速度相等，根据v＝ωr可知va
A. 倾斜地球同步轨道卫星和静止轨道卫星线速度相同
B. 地球赤道上的随地球一起自转的石块线速度比中地球轨道卫星线速度要大
C. 中地球轨道卫星的运行周期小于地球自转周期
D. 静止轨道卫星、倾斜地球同步轨道卫星的发射速度一定要超过7.9km/s，中地球轨道卫星的发射速度可以小于7.9km/s
【答案】C
【解析】A．倾斜地球同步轨道卫星和静止轨道卫星线速度大小相同，方向不同，故A错误；
B．地球赤道上的随地球一起自转的石块线速度比中轨道卫星线速度小，故B错误；
C．由可知，中轨道卫星周期小于地球同步卫星周期，而同步卫星周期等于地球自转周期，故C正确；
D．地球的第一宇宙速度7.9km/s是卫星发射的最小速度，所以各卫星发射速度均大于7.9km/s，故D错误。
故选C。
类型3 宇宙速度
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝m得
v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min.
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
【例1】地球的近地卫星线速度大小约为8 km/s，已知月球质量约为地球质量的，地球半径约为月球半径的4倍，下列说法正确的是( )
A．在月球上发射卫星的最小速度约为8 km/s
B．月球卫星的环绕速度可能达到4 km/s
C．月球的第一宇宙速度约为1.8 km/s
D．“近月卫星”的线速度比“近地卫星”的线速度大
【答案】 C
【解析】 根据第一宇宙速度v＝，月球与地球的第一宇宙速度之比为＝＝＝，月球的第一宇宙速度约为v2＝v1＝×8 km/s≈1.8 km/s，在月球上发射卫星的最小速度约为1.8 km/s，月球卫星的环绕速度小于或等于1.8 km/s，“近月卫星”的速度为1.8 km/s，小于“近地卫星”的速度，故C正确．
【例2】我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( )
A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间
C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度
D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度
【答案】 A
【解析】 火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正确，B错误；由G＝m得，v火＝＝＝v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；由＝mg得，
g火＝G＝G＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误．
【例3】宇航员在一行星上以速度v0竖直上抛一质量为m的物体，不计空气阻力，经2t后落回手中，已知该星球半径为R.求：
(1)该星球的第一宇宙速度的大小；
(2)该星球的第二宇宙速度的大小．已知取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为r时的引力势能Ep＝－G.(G为引力常量)
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)由题意可知星球表面重力加速度为
g＝
由万有引力定律知mg＝m
解得v1＝＝.
(2)由星球表面万有引力等于物体重力知
＝mg
又Ep＝－G
解得Ep＝－
由机械能守恒定律有mv22－＝0解得v2＝.
题型五 卫星的变轨和对接问题
1．变轨原理
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1
【例1】嫦娥五号完美完成中国航天史上最复杂任务后于2020年12月17日成功返回，最终收获1731克样本．图中椭圆轨道Ⅰ、100公里环月轨道Ⅱ及月地转移轨道Ⅲ分别为嫦娥五号从月球返回地面过程中所经过的三个轨道示意图，下列关于嫦娥五号从月球返回过程中有关说法正确的是( )
A．在轨道Ⅱ上运行时的周期小于在轨道Ⅰ上运行时的周期
B．在轨道Ⅰ上运行时的加速度大小始终大于在轨道Ⅱ上时的加速度大小
C．在N点时嫦娥五号经过点火加速才能从Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道返回
D．在月地转移轨道上飞行的过程中可能存在不受万有引力的瞬间
【答案】 C
【解析】 轨道Ⅱ的半径大于椭圆轨道Ⅰ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅱ上运行时的周期大于在轨道Ⅰ上运行时的周期，故A错误；在轨道Ⅰ上的N点和轨道Ⅱ上的N受到的万有引力相同，所以在两个轨道上经过N点时的加速度相等，故B错误；从轨道Ⅱ到月地转移轨道Ⅲ做离心运动，在N点时嫦娥五号需要经过点火加速才能从Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道返回，故C正确；在月地转移轨道上飞行的过程中，始终在地球的引力范围内，不存在不受万有引力的瞬间，故D错误．
【例2】(多选)载着登陆舱的探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹如图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆，探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．已知火星的半径为R，OQ＝4R，探测器在轨道Ⅱ上经过O点的速度为v，下列说法正确的有( )
A．在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积相等
B．探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点的速度小于v
C．探测器在轨道Ⅱ运动时，经过O点的加速度等于
D．在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与在轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是3∶4
【答案】 CD
【解析】 根据开普勒第二定律，在同一轨道上探测器与火星中心的连线在相等时间内扫过相等的面积，在两个不同的轨道上，不具备上述关系，即在相等时间内，轨道Ⅰ上探测器与火星中心的连线扫过的面积与轨道Ⅱ上探测器与火星中心的连线扫过的面积不相等，故A错误；探测器在轨道Ⅰ运动时，经过O点减速变轨到轨道Ⅱ，则在轨道Ⅰ运动时经过O点的速度大于v，故B错误；轨道Ⅱ是圆轨道，半径为3R，经过O点的速度为v，根据圆周运动的规律可知，探测器经过O点的加速度a＝，故C正确；轨道Ⅲ的半长轴为2R，根据开普勒第三定律可知()3＝()2，解得＝，则在轨道Ⅱ上第一次由O点到P点与在轨道Ⅲ上第一次由O点到Q点的时间之比是3∶4，故D正确．
【例3】(多选) (2022·八省联考湖北卷)“嫦娥五号”取壤返回地球，完成了中国航天史上的一次壮举。如图2所示为“嫦娥五号”着陆地球前部分轨道的简化示意图，其中Ⅰ是月地转移轨道，在P点由轨道Ⅰ变为绕地椭圆轨道Ⅱ，在近地点Q再变为绕地椭圆轨道Ⅲ。下列说法正确的是( )
A．在轨道Ⅱ运行时，“嫦娥五号”在Q点的机械能比在P点的机械能大
B．“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上运行的周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长
C．“嫦娥五号”分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的向心加速度大小相等
D．“嫦娥五号”分别沿轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运行时，经过Q点的速度大小相等
【答案】 BC
【解析】 在同一轨道上运动时，“嫦娥五号”的机械能守恒，A错误；由开普勒第三定律＝k可知，半长轴越大，周期越长，故“嫦娥五号”在轨道Ⅱ上运行周期比在轨道Ⅲ上运行的周期长，B正确；由牛顿第二定律＝ma可知a＝，从不同轨道经过同一点时，加速度相同，C正确；由Ⅱ轨道在Q点减速才能变轨到Ⅲ轨道，可见vⅡQ>vⅢQ，D错误。
【例4】2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱完成对接，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波进入天和核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站．对接过程的示意图如图所示，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与天和核心舱对接．则神舟十二号飞船( )
A．在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动经过A点时速度大小相同
B．沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，速度不断增大
C．沿轨道Ⅱ运行的周期为T2＝T1
D．沿轨道Ⅰ运行的周期大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期
【答案】 C
【解析】 飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速，所以沿两轨道经过A点时速度大小不相同，故A错误；沿轨道Ⅱ从A运动到对接点B过程中，万有引力做负功，速度不断减小，故B错误；根据开普勒第三定律，有＝，解得T2＝T1，故C正确；飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝mr，解得T＝，所以沿轨道Ⅰ运行的周期小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的周期，故D错误．
类型2 卫星的对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接.
(2)同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度.
【例1】我国2021年4月29日在海南文昌用长征五号B遥二运载火箭成功将空间站“天和”核心舱送入离地高约450 km的预定圆轨道，中国空间站在轨组装建造全面展开．关于火箭发射以及空间站的组合、对接，下列说法正确的是( )
A．火箭发射升空过程中，发动机喷出的燃气推动空气，空气推动火箭上升
B．空间站在轨运行的速率可能大于7.9 km/s
C．飞船要和在轨的核心舱对接，通常是将飞船发射到较低的轨道上，然后使飞船加速实现对接
D．未来在空间站中工作的航天员因为不受地球引力作用，所以处于完全失重状态
【答案】 C
【解析】 火箭发射升空的过程中，火箭给喷出的燃气作用力，燃气给火箭反作用力，推动火箭上升，A错误；第一宇宙速度为7.9 km/s，是飞行器绕地球运行时的最大速度，因此空间站在轨运行速度一定小于7.9 km/s，B错误；根据卫星对接原理可知，飞船先发射到较低轨道，然后追及空间站，在适当位置加速做离心运动，实现与核心舱对接，C正确；在空间站中工作的航天员受到地球引力作用，处于完全失重状态，D错误．
【例2】宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动。若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是( )
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
【答案】 B
【解析】 飞船在轨道上正常运行时，有G＝m。当飞船直接加速时，所需向心力m增大，则G＜m，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B正确，D错误；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速故而追不上空间站，C错误。
题型六 天体的“追及”问题
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据＝mω2r可知，地球公转的速度较快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：
1．角度关系
ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)
2．圈数关系
－＝n(n＝1、2、3…)
解得t＝(n＝1、2、3…)
同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、2、3…)或－＝(n＝1、2、3…)
【例1】．2021年7月9日，我国成功将“钟子号卫星星座02组卫星”(用卫星A表示)送入预定轨道．地球半径为R，卫星B距地面的高度为3R，运行周期为T，如图某时刻两颗卫星相距最近，经时间t两颗卫星再次相距最近．则“钟子号卫星星座02组卫星”的轨道半径为( )
A．3R B．4R
C．4R D．4R
【答案】 B
【解析】 设“钟子号卫星星座02组卫星”的运行周期为T0，由题意可得t＝2π，解得T0＝，由开普勒第三定律得＝，又h＝3R，解得r＝4R，故选B.
【例2】．中国首个火星探测器“天问一号”，已于2021年2月10日成功环绕火星运行．若火星和地球可认为在同一平面内绕太阳同方向做圆周运动，运行过程中火星与地球最近时相距R0、最远时相距5R0，则两者从相距最近到相距最远需经过的最短时间约为(地球公转周期为
365天)( )
A．365天 B．400天
C．670天 D．800天
【答案】 B
【解析】 设火星轨道半径为R1，公转周期为T1，地球轨道半径为R2，公转周期为T2，依题意有R1－R2＝R0，R1＋R2＝5R0，解得R1＝3R0，R2＝2R0，根据开普勒第三定律，有＝，解得T1＝年，设从相距最近到相距最远需经过的最短时间为t，有ω2t－ω1t＝π，ω＝，带入数据，可得t≈400天．故选B.
【例3】．据报道：由于火星和地球的位置关系，每隔一段时间，火星就会有一个离地球最近的时候，而这正是我们所称的发射窗口期，在此窗口期发射火星探测器，探测器到达火星的时间最短，飞行消耗的燃料也最少.2020年，火星发射窗口期出现在7～8月份，我国于2020年7月23日成功发射了“天问一号”火星探测器，已知：火星的轨道半径r1＝2.25×1011 m，地球的轨道半径r2＝1.5×1011 m(注：≈1.2)，那么下一个火星发射窗口期出现在( )
A．2020年9月 B．2021年9月
C．2022年9月 D．2023年9月
【答案】 C
【解析】 设火星的公转周期为T1，地球的公转周期为T2＝1年，由开普勒第三定律得＝，解得T1≈1.8年．设两个发射窗口期之间的时间差为t，则火星和地球转动的角度相差2π，有t＝2π，联立并带入数据解得t＝年，下一个火星发射窗口期出现在2022年9月，故选C.
【例4】当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称之为“木星冲日”，若2022年9月26日出现一次“木星冲日”．已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍．则下列说法正确的是( )
A．下一次的“木星冲日”时间肯定在2024年
B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年
C．木星运行的加速度比地球的大
D．木星运行的周期比地球的小
【答案】 B
【解析】 设太阳质量为M，行星质量为m，轨道半径为r，周期为T，加速度为a.对行星由牛顿第二定律可得G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍，因此，木星运行的加速度比地球的小，木星运行的周期比地球的大，故C、D错误；地球
公转周期T1＝1年，由T＝2π可知，木星公转周期T2＝T1≈11.2年．设经时间t，再次出现“木星冲日”，则有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2＝，解得t≈1.1年，因此下一次“木星冲日”发生在2023年，故A错误，B正确．
题型七 星球稳定自转的临界问题
当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是＝mR.
【例1】一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 对近地卫星，有 G＝m()2R，M＝ρ1·πR3，联立解得ρ1＝，以地球赤道处一质量为m0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于或等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有G＝m0()2R，M＝ρ2·πR3，联立解得ρ2＝，所以＝，故选D.
【例2】2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
【答案】 C
【解析】 脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，又知M＝ρ·πr3，整理得密度ρ＝＝ kg/m3≈5.2×1015 kg/m3.
【例3】．(2020·全国卷Ⅱ·15)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 根据卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力可得G＝m()2R，球形星体质量可表示为：M＝ρ·πR3，由以上两式可得：T＝，A正确．
题型八 双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2.
②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m1＋m2＝.
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)常见的三星模型
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)常见的四星模型
①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
类型1 双星问题
【例1】.(2022·江苏省如东高级中学高三月考)如图所示，两恒星A、B构成双星体，在万有引力的作用下绕连线上的O点做匀速圆周运动，在观测站上观察该双星的运动，测得该双星的运动周期为T，已知两颗恒星A、B间距为d，引力常量为G，则可推算出双星的总质量为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 双星系统，角速度相同，两颗恒星A、B间的万有引力为彼此的向心力，因此对A：G＝mA；对B：G＝mB，其中rA＋rB＝d，m总＝mA＋mB，联立解得m总＝，故选B.
【例2】．地球刚诞生时自转周期约为8小时，因为受到月球潮汐的影响，地球自转在持续减速，现在地球自转周期是24小时．与此同时，地月间的距离不断增加．若将地球和月球视为一个孤立的双星系统，两者绕其连线上的某一点O做匀速圆周运动，地球和月球的质量与大小均保持不变，则在地球自转减速的过程中( )
A．地球的第一宇宙速度不断减小
B．地球赤道处的重力加速度不断增大
C．地球、月球匀速圆周运动的周期不断减小
D．地球的轨道半径与月球的轨道半径之比不断增大
【答案】 B
【解析】 根据G＝m，解得地球的第一宇宙速度为v＝，地球的质量和半径不变，则第一宇宙速度不变，A错误；在赤道处，根据G－mg＝m2R地，则随着地球自转周期的变大，地球赤道处的重力加速度g不断增大，B正确；根据地月系统G＝M地r1＝M月r2，解得G(M地＋M月)＝，＝，因为地球和月球的质量保持不变，地月间的距离L不断增大，可知地球、月球匀速圆周运动的周期不断增大，地球的轨道半径与月球的轨道半径之比不变，C、D错误．
【例3】．2017年8月28日，中科院南极天文中心的巡天望远镜观测到一个由双中子星构成的孤立双星系统产生的引力波．该双星系统以引力波的形式向外辐射能量，使得圆周运动的周期T极其缓慢地减小，双中子星的质量m1与m2均不变，则下列关于该双星系统变化的说法正确的是( )
A．双星间的距离逐渐增大
B．双星间的万有引力逐渐增大
C．双星的线速度逐渐减小
D．双星系统的引力势能逐渐增大
【答案】 B
【解析】 根据万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得F＝＝m12r1＝m22r2＝m1＝m2，其中L＝r1＋r2，解得周期T＝，由于周期极其缓慢地减小，则双星间的距离L减小，万有引力逐渐增大，故A错误，B正确；在双星间的距离减小的过程中，万有引力对双星做正功，则双星系统的引力势能逐渐减小，故D错误；由上式解得v1＝，v2＝，可知双星间的距离L减小，双星各自的线速度增大，故C错误．
类型2 三星问题
【例1】由三个星体构成的系统，叫作三星系统．有这样一种简单的三星系统，质量刚好都相同的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动．若三个星体的质量均为m，三角形的边长为a，万有引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A．三个星体做圆周运动的半径均为a
B．三个星体做圆周运动的周期均为2πa
C．三个星体做圆周运动的线速度大小均为
D．三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为
【答案】 B
【解析】 质量相等的三星系统的位置关系构成一等边三角形，其中心O即为它们的共同圆心，
由几何关系可知三个星体做圆周运动的半径r＝a，故选项A错误；每个星体受到的另外两星体的万有引力的合力提供向心力，其大小F＝·，则＝mr，得T＝2πa，故选项B正确；由线速度公式v＝得v＝ ，故选项C错误；向心加速度a＝＝，故选项D错误．
【例2】．在某科学报告中指出，在距离我们大约1 600光年的范围内，存在一个四星系统．假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动．设每颗星体的质量均为m，引力常量为G，则( )
A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与m无关
B．三星的总动能为Ek＝
C．若四颗星体的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍
D．若距离L不变，四颗星体的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍
【答案】 B
【解析】 位于等边三角形三个顶点上的每颗星体的轨道半径为r＝，另外三颗星体对它万有引力的合力F＝G＋2Gcos 30°＝，由＝ma，解得a＝，向心加速度大小与质量有关，选项A错误；由＝m，得Ek1＝mv2＝，解得总动能Ek＝，选项B正确；由＝m··2，解得T＝2π，若距离L变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍；若每颗星体的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的，即角速度变为原来的，选项C、D错误．
【例3】(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设这三颗星的质量均为M，并且两种系统的运动周期相同，则( )
A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为
【答案】 BC
【解析】 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项A错误；直线三星系统中，对甲星有G＋G＝MR，解得T＝4πR，选项B正确；对三角形三星系统中任一颗星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得2Gcos 30°＝M·，又由题知两种系统的运动周期相同，即T＝4πR，联立解得L＝R，选项C正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝＝＝··，选项D错误．
类型4 四星问题
【例1】(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统．若某个四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，忽略其他星体对它们的引力作用，忽略星体自转，则可能存在如下运动形式：四颗星分别位于边长为L的正方形的四个顶点上(L远大于R)，在相互之间的万有引力作用下，绕某一共同的圆心做角速度相同的圆周运动．已知引力常量为G，则关于此四星系统，下列说法正确的是( )
A．四颗星做圆周运动的轨道半径均为
B．四颗星表面的重力加速度均为G
C．四颗星做圆周运动的向心力大小为(2＋1)
D．四颗星做圆周运动的角速度均为
【答案】 BD
【解析】 任一颗星体在其他三颗星体的万有引力的作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径均为r＝L，故A错误；星体表面的物体受到的万有引力等于它受到的重力，即G＝m′g，解得g＝，故B正确；由万有引力定律可得四颗星做圆周运动的向心力大小为Fn＝G＋2Gcos 45°＝(＋)，选项C错误；由牛顿第二定律得Fn＝(＋)＝mω2(L)，解得ω＝，故D正确．
【例2】(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
【答案】 BD
【解析】 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由G＋G＝(＋)G＝mω2·L，可知ω＝，故B正确；由(＋)G＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由(＋)G＝m可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确．
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