第15讲 多体平抛运动模型（解析版）

第15讲 多体平抛运动模型

1．（2021·江苏）如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（　　）

A．A比B先落入篮筐 

B．A、B运动的最大高度相同 

C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小 

D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同

【解答】解：AB、将A、B篮球的运动过程逆向看作是从篮筐沿同方向斜向上抛出的斜抛运动，落到同一高度上的两点，因A水平位移较大，可知A的抛射速度较大，竖直初速度较大，最大高度较大，运动时间较长，即B先落入篮筐中，故AB错误；

C、因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即在最高点的速度比B在最高点的速度大，故C错误；

D、由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，故D正确。

故选：D。

一.知识总结

1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．

2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．

3．研究方法：运动的合成与分解

(1)水平方向：匀速直线运动；

(2)竖直方向：自由落体运动．

4. 平抛运动基本规律

如图1，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向．

图1

(1)位移关系

(2)速度关系

（3）飞行时间

由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．

（4）水平射程

x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．

（5）落地速度

v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v0和下落高度h有关．

（6）速度改变量

因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图4所示．

图4

（7）两个重要推论

①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图5所示，即xB＝.

图5

推导：

→xB＝

②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.

推导：

→tan θ＝2tan α

5.多体平抛模型

（1）模型特点：涉及到两个或两个以上物体做平抛运动的模型

（2）模型运动规律

①若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。

②若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。

③若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。

④两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。

二.例题精讲

题型一：同位置不同速平抛

例1．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网。其原因是（　　）

A．速度较大的球在下降相同距离时通过的水平距离较大 

B．速度较小的球在竖直方向上的速度较大 

C．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 

D．速度较大的球通过相同的水平距离时下降的距离较大

【解答】解：发球机发出的球，速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网，原因是发球机到网的水平距离一定，速度大，则所用的时间较少，球下降的高度较小，容易越过球网，故A正确，BCD错误。

故选：A。

例2．如图所示，将一小球从水平面MN上方A点以初速度v1向右水平抛出，经过时间t1打在前方竖直墙壁上的P点，若将小球从与A点等高的B点以初速度v2向右水平抛出，经过时间t2落在竖直墙角的N点，不计空气阻力，下列选项中正确的是（　　）

A．v1＞v2 B．v1＜v2 C．t1＞t2 D．t1＝t2

【解答】解：由图可知，A下落高度小于B下落的高度；根据hgt2可得：

可知，t1＜t2；

由图可知，结合x1＞x2，同时有t1＜t2；根据可知v1＞v2，故A正确BCD错误。

故选：A。

题型三：不同高不同速平抛

例（多选）3．如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则（　　）

A．A和B的位移大小相等 B．A的运动时间是B的2倍 

C．A的初速度是B的 D．A的末速度比B的大

【解答】解：A、A和B的位移大小都为，故A正确；

B、根据h得：t，则A的运动时间为：tA，B的运动时间为：tB，故，故B错误；

C、水平初速度为：v0，则有：，故C错误；

D、根据动能定理得：mgh，化简消去m，则：代入得：

；2gl4gl，故A的末速度比B的大，故D正确；

故选：AD。

题型四：以不同的速度从同一点平抛（临界 问题）

例4．如图所示，水平屋顶高H＝5m，围墙高h＝3.2m，围墙到房子的水平距离L＝3m，围墙外空地宽s＝10m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10m/s2．求：

（1）小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；

（2）小球落在空地上的最小速度．

【解答】解：（1）若v太大，小球落在空地外边，因此，球落在空地上，v的最大值vmax为球落在空地最右侧时的平抛初速度，

如图所示，小球做平抛运动，设运动时间为t1．

则小球的水平位移：L+x＝vmaxt1，

小球的竖直位移：Hgt12

解以上两式得

vmax＝（L+x）（10+3）13m/s．

若v太小，小球被墙挡住，因此，

球不能落在空地上，v的最小值vmin

为球恰好越过围墙的最高点P落在空地上时的平抛初速度，设小球运动到P点所需时间为t2，

则此过程中小球的水平位移：L＝vmint2

小球的竖直方向位移：H﹣hgt22

 解以上两式得vmin＝L35m/s

因此v0的范围是vmin≤v0≤vmax，

即5m/s≤v0≤13m/s．

（2）根据机械能守恒定律得：mgH

解得小球落在空地上的最小速度：vmin′5m/s

答：

（1）小球离开屋顶时的速度v0的大小范围为5m/s≤v0≤13m/s；

（2）小球落在空地上的最小速度为5m/s．

三.举一反三，巩固练习

1. 如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，A球质量大于B球质量，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　）

A．B的加速度比A的大 

B．B的飞行时间比A的长 

C．B在最高点的速度可能等于A在最高点的速度 

D．B在落地时速度比A在落地时的大

【解答】解：A.斜抛运动的物体只受重力作用，根据牛顿第二定律F＝mg＝ma，则a＝g，A、B的加速度相同，故A错误。

B.设斜抛运动的时间为t，竖直方向，得，因h相同，所以A、B飞行的时间相同，故B错误。

C.A、B球在最高处都只具有水平速度，又射程x＝vxt，xA＜xB，得vxA＜vxB，B在最高点的速度不等于A在最高点的速度，故C错误。

D.竖直速度，因t相同，所以竖直速度vy相同，落地速度，；又因为vxA＜vxB，所以vA＜vB，故D正确。

故选：D。

2. 如图所示，甲，乙两猫从同一位置以相同速率同时跳出，速度方向与水平方向均成45°，一段时间后落至水平地面，不计空气阻力，则（　　）

A．两只猫落地时的动量方向不同 

B．两只猫在空中运动过程中相距越来越远 

C．起跳点越高，两猫落地点间距离越大 

D．只改变两猫起跳速度大小，两猫可能在空中相遇

【解答】解：甲乙两猫从同一位置以相同的速率同时跳出，速度方向与水平方向成45°夹角，所以水平方向速度相等，且甲乙两猫任意时刻水平位移相同。

A、由动能定理得mgh，因为下落高度和初速度相同，所以末速度相同，因为末速度在水平方向的分量大小相同，所以落地时速度方向相同，所以两只猫落地时的动量方向相同。故A错误。

B、因为乙落地前水平位移时刻相同，对甲乙两猫竖直方向上的受力进行分析，对甲猫分析：，对乙猫进行分析，所以高度差等于h乙﹣h甲＝（v乙sin45°+v甲sin45°）t。所以距离越来越远。故B正确。

C、因为乙落地前和甲的高度差固定，所以当乙落地时，甲水平方向的速度分量不变，由2gh甲′＝v甲′﹣v甲，所以当高度越大时，乙落地时甲在竖直方向的速度越快，落地时间越快，所以水平方向的位移越小，所以起跳点越高，两猫落地点间距离越小，故C错误。

D、因为速度方向固定，甲猫在竖直方向做匀减速后反向加速运动，乙做匀加速运动，加速度相等，所以在落地前，乙速度永远大于甲速度，故不可能相遇。故D错误。

故选B。

3. 如图所示，a、b两点在同一竖直线上，现同时分别在a、b两点抛出两个小球甲、乙，甲球的速度大小为v甲，方向水平向右，乙球的速度大小为v乙，方向与水平方向的夹角为60°斜向右上方，两球在c点（未画出）相碰。已知碰前瞬间乙球速度方向水平，则下列判断正确的是（　　）

A．a、c 两点竖直方向的距离大于b、c两点竖直方向的距离 

B．甲，乙两球相碰前瞬间甲球的速率与乙球速率相等 

C．甲、乙两球自抛出至相碰前瞬间速度变化不相等 

D．甲、乙两球抛出时的速度大小v甲与v乙之比为 1：2

【解答】解：A、设相遇时，运动的时间为t，则v乙sin60°＝gt，a、c 两点竖直方向的距离y甲，b、c两点竖直方向的距离y乙＝v乙sin60°•t，代入数据解得：y甲，y乙，故A错误；

B、两球在水平方向上均做匀速直线运动，同时抛出，在N点相遇，可知运动的时间相等，则甲的初速度与乙在水平方向上的分速度相等，即v乙cos60°＝v甲，甲，乙两球相碰前瞬间甲球的速率是水平速度和在竖直方向速度的合速度，故B错误；

C、甲、乙的加速度相等，均为g，两球自抛出至相碰前瞬间速度变化相等，故C错误；

D、根据v乙cos60°＝v甲，知甲、乙两球抛出时的速度大小v甲与v乙之比为 1：2，故D正确。

故选：D。

4. 某工厂为了落实有关节能减排政策，水平的排水管道满管径工作，减排前、后，水落点距出水口的水平距离分别为x0、x1，则减排前、后单位时间内的排水量之比（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：设排水口到落点的竖直高度为h，水下落得时间为t，减排前、后水排出时的速度分别为v0和v1，则竖直方向：h，可得：t；

水平方向：x0＝v0t，x1＝v1t

设排水管的横截面积为S，则减排前、后单位时间内的排水量分别为：V0＝Sv0t0，V1＝Sv1t0

则：，故A正确，BCD错误。

故选：A。

5. 某次军事演习中，在P、Q两处的炮兵向正前方同一目标O发射炮弹A、B，炮弹轨迹如图所示，已知炮口高度相同，忽略空气阻力，则（　　）

A．B的加速度比A的大 

B．B的飞行时间比A的短 

C．B在最高点的速度比A在最高点的小 

D．B打到目标时的速度比A打到目标时的大

【解答】解：A、炮弹在空中忽略空气阻力，都只受重力作用，加速度为g，故A错误；

B、做斜抛运动的物体，飞行时间只与竖直方向上的运动高度有关，根据运动轨迹可知，B炮弹的飞行高度更高，则时间更长，故B错误；

C、根据B选项的分析可知，B炮弹的飞行时间更长，而水平的位移更小，因为水平方向上炮弹做匀速直线运动，则B在最高点的速度更小，故C正确；

D、因为B炮弹的水平速度更小，而因为高度更高，这竖直速度更大，因此无法比较两者的末速度大小，故D错误；

故选：C。

6. 如图所示，两人各自用吸管吹黄豆，甲黄豆从吸管末端P点水平射出的同时乙黄豆从另一吸管末端M点斜向上射出，经过一段时间后两黄豆在N点相遇，曲线1和2分别为甲、乙黄豆的运动轨迹。若M点在P点正下方，M点与N点位于同一水平线上，且PM长度等于MN的长度，不计黄豆的空气阻力，可将黄豆看成质点，则（　　）

A．两黄豆相遇时，甲的速度与水平方向的夹角的正切值为乙的两倍 

B．甲黄豆在P点速度与乙黄豆在最高点的速度不相等 

C．两黄豆相遇时甲的速度大小为乙的两倍 

D．乙黄豆相对于M点上升的最大高度为PM长度一半

【解答】解：B、设甲黄豆做平抛运动的时间为t，那么乙黄豆做斜抛运动的时间也为t，根据斜抛运动的对称性可知：乙黄豆从M点运动至最高点的时间为，乙黄豆从M点运动至最高点的水平位移为MN的一半，设PM＝MN＝L，甲黄豆在P点的速度为v1，乙黄豆到达最高点的速度为v′，在水平方向上有运动学规律，对甲黄豆：L＝v1t，对乙黄豆从M点运动至最高点有：，联立解得：v1＝v′，故B错误；

ACD、对甲黄豆到达N点时，在竖直方向上：L，v1y＝gt，

在水平方向：v1；

甲黄豆到达N点时的速度为：v甲，

对乙黄豆在从M点运动至最高点的过程中，由逆向思维得上升的最大高度为：h，所以乙黄豆相对于M点上升的最大高度为PM长度的；

乙黄豆在M点的竖直方向分速度为：，则：，

由运动的合成与分解得乙黄豆在N点的速度为：，所以两黄豆相遇时甲的速度大小不是乙的两倍；

两黄豆相遇时甲的速度与水平方向的夹角正切值为：tanα2，

乙的速度与水平方向的夹角正切值为：tanβ，所以两黄豆相遇时甲的速度与水平方向的夹角不是乙的两倍，甲的速度与水平方向的夹角的正切值为乙的两倍；故A正确，CD错误。

故选：A。

7. 如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为2m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为（　　）

A．m B．m C．m D．m

【解答】解：小球做平抛运动，从A点抛出的小球运动的时间为：t1s

从D点抛出的小球运动的时间为：s

在水平方向上有：v0t1﹣v0t2

代入数据解得：v0m/s

落地点到C点的水平距离为：x＝v0t2m，故A正确，BCD错误。

故选：A。

8. 如图所示，质量相同的两小球a、b分别从斜面顶端A和斜面中点B沿水平方向抛出后，恰好都落在斜面底端，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．小球a、b在空中飞行的时间之比为4：1 

B．小球a、b抛出时的初速度大小之比为2：1 

C．小球a、b到达斜面底端时的速率之比为：1 

D．小球a、b到达斜面底端时速度方向与斜面的夹角之比为：1

【解答】解：A、因为a、b两球下落的高度之比为2：1，根据hgt2得，t，则飞行时间之比为：1，故A错误；

B、a、b两球的水平位移之比为2：1，时间之比为：1，根据v0知，初速度之比为：1，故B错误；

CD、小球落在斜面上时，速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，因为位移与水平方向的夹角相等，则速度与水平方向的夹角相等，到达斜面底端时速度方向与斜面的夹角也相等，设速度偏角为α，则v，末速率与初速率成正比，即小球a、b到达斜面底端时的速率之比为：1，故C正确，D错误。

故选：C。

9. 某次军事演习中，在P、Q两处的炮兵向正前方同一目标O发射炮弹A、B，要求同时击中目标，炮弹轨迹如图所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．A先发射 

B．A、B同时发射 

C．A在最高点的速度比B的大 

D．A、B在最高点的速度相同

【解答】解：AB.斜上抛运动在竖直方向为竖直上抛运动，水平方向为匀速直线运动，设上升的高度为H，运动的时间为t，根据竖直上抛运动的规律可知

解得：

由图可知，B上升的高度比A高，故B运动时间比A运动时间长，为了同时集中目标，则B先发射，故AB错误；

CD.由图可知，A的水平位移更大，A运动的时间更短，故A水平方向的速度更大，根据斜上抛运动的规律可知，在运动的最高点只有水平方向的速度，故A在最高点的速度比B的大，故C正确，D错误。

故选：C。

10. 如图所示，a、b两点位于同一条竖直线上，从a、b两点分别以速度v1、v2同时水平抛出两个相同的小球，它们都能通过在水平地面上方的P点。下列说法正确的是（　　）

A．两小球抛出时的初速度可能相等 

B．抛出时的水平速度与高度成反比 

C．两小球通过P点时机械能可能相等 

D．落地时b的速度一定大于a的速度

【解答】解：A、因为从抛出到P点的过程中，水平位移相等，a球的运动时间较长，则a球的初速度较小，即v1＜v2，故A错误。

B、平抛的速度与高度没有直接关系，故B错误。

C、a球速度小，动能小，但a球高度大，相同的小球质量相等，到P点重力做功多，所以两小球通过P点时机械能可能相等，故C正确；

D、a球下落高度大，落地竖直分速度大，但初速度小，所以落地速度落地时的速度为和速度，b的速度不一定大于a的速度，故D错误。

故选：C。

11. 一学生用两个颜色不同的篮球做斜抛运动游戏，如图所示，第一次出手时，红色篮球的初速度与竖直方向的夹角α＝60°；第二次出手时，橙色篮球的初速度与竖直方向的夹角为β＝30°；两次出手的位置在同一竖直线上，结果两篮球正好到达相同的最高点C，则红色篮球与橙色篮球运动的高度之比为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：因为C点是两个篮球斜抛运动的最高点，所以在C点两个篮球的速度都是水平方向，可用逆向思维，将该题看成从C点水平抛出红、橙两个篮球，当运动到虚线处时，速度方向与竖直方向的夹角分别为α、β

根据平抛运动的推论：做平抛运动的物体任意时刻速度的反向延长线过水平位移的中点。又因为红、橙篮球的水平位移相同，所以反向延长红、橙篮球的速度，会交于水平位移的中点，如下图：

设水平位移为x，红色篮球的竖直位移为h1，橙色篮球的竖直位移为h2，则有：，

解得：，

所以红色篮球与橙色篮球运动的高度之比为：，故ACD错误、B正确。

故选：B。