第27讲 卫星（天体）追及相遇模型（解析版）

第27讲 卫星（天体）追及相遇模型

（全国高考）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是

A．各地外行星每年都会出现冲日现象

B．在2015年内一定会出现木星冲日

C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半

D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短

答案：BD

解析：考察角追及和万有引力定律。

由引力提供向心力可知

相邻两次冲日的时间间隔

其中表示的是地球的公转角速度，表示的是行星的公转角速度。将第一式中的结果代入到第二式中有

设行星的半径是地球半径的k倍，则上式可化为

上式中，也就是地球绕太阳公转的周期，即一年的时间。

对于火星k=1.5，

对于木星k=5.2，

至此可知，后面的行星冲日时间间隔大约都是1年，但又大于1年，因为只有时才恰恰为一年。

一.知识回顾

如果有两颗卫星在同一轨道平面内两个不同轨道上同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示，则当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。两卫星相距最远的条件是ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2,3…)，相距最近的条件是ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝0,1,2,3…)。

二.例题精析

例1．如图是在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是T1、T2（T1＜T2），且某时刻两卫星相距最近。问：

（1）两卫星再次相距最近的时间是多少？

（2）两卫星相距最远的时间是多少？

【解答】解：（1）依题意，T1＜T2，根据开普勒第三定律可知，k，周期大的轨道半径大，故在外层轨道的卫星运行一周所需的时间长。

设经过△t两卫星再次相距最近，则它们运行的角度之差△θ＝2π，

tt＝2π

解得t。

（2）两卫星相距最远时，它们运行的角度之差

△θ＝（2k+1）π （k＝0，1，2，…）

即tt＝（2k+1）π （k＝0，1，2，…）

解得t （k＝0，1，2…）。

答：（1）两卫星再次相距最近的时间是。

（2）两卫星相距最远的时间是 （k＝0，1，2…）。

（多选）例2．2020年6月23日，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空，中国终于有了自己的卫星导航系统，未来将向全世界开放，也会成为70多亿人生活的一部分。北斗卫星导航系统有55颗卫星，若其中在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星甲和乙，它们运行的周期分别是2小时、16小时，且某时刻两卫星相距最近。则下列说法中正确的是（　　）

A．两颗卫星再次相距最近的时间是小时 

B．两颗卫星相距最远的时间是（16k+4）（k＝0，1，2，…）小时 

C．乙卫星点火加速可以与甲卫星对接 

D．甲、乙两颗卫星的轨道半径之比为1：4

【解答】解：A、设两颗卫星运行的周期分别为T1、T2，设经过△t时间两卫星再次相距最近，则它们运行的角度之差△θ＝2π，即2π，解得△t小时，故A正确；

B、两卫星相距最远时，它们运行的角度之差△θ＝（2k+1）π （k＝0、1、2……），即（2k+1）π （k＝0、1、2……），解得△t （k＝0、1、2……）小时，故B错误；

C、乙卫星点火加速，v突然增大，，乙卫星将做离心运动，不可能与甲卫星对接，故C错误；

D、根据开普勒第三定律可知，，解得，故D正确。

故选：AD。

三.举一反三，巩固练习

1. （多选）如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星．设它们运行的周期分别是T1、T2，（T1＜T2），且某时刻两卫星相距最近．（　　）

A．两卫星再次相距最近的时间是 

B．两卫星相距最远的时间是 

C．两卫星再次相距最近的时间是 

D．两卫星相距最远的时间是（其中k＝0.1.2…）

【解答】解：AC、两卫星再次相距最近时，转动的角度相差2π，即：

tt＝2π

解得：t。故C错误，A正确。

BD、两卫星相距最远时，转动的角度相差（2k+1）π（其中k＝0.1.2…），即：

tt＝（2k+1）π，（k＝0.1.2…）

解得：（k＝0.1.2…）。故B错误，D正确。

故选：AD。

2. 如图所示，有A、B两颗卫星绕同颗质量未知，半径为R的行星做匀速圆周运动，旋转方向相同，其中A为近地轨道卫星，周期为T1，B为静止轨道卫星，周期为T2，在某一时刻两卫星相距最近，试用已知量求解下列问题：（引力常量G为已知）

（1）经过多长时间，两行星再次相距最近？

（2）同步卫星离地面的高度h＝？

（3）该行星的平均密度ρ＝？

【解答】解：（1）卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力有：

m

周期T＝2π，

某时刻两卫星相距最近，则可知经过时间t两卫星再次相距最近时，A卫星比B卫星多转过2π弧度，

即有：（）t＝2π

得t，

（2）卫星做匀速圆周运动万有引力提供向心力有：

m

A为近地轨道卫星，周期为T1，

所以行星质量M

同步卫星周期为T2，

rR+h

所以同步卫星离地面的高度hR。

（3）根据密度的定义得：

行星的平均密度ρ。

答：（1）经过，两行星再次相距最近。

（2）同步卫星离地面的高度hR。

（3）该行星的平均密度ρ。

3. A、B两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动。地球半径为R，A卫星离地面的高度为R，周期为T，B卫星离地面高度为3R，则：（结果可用根式表示）

（1）A、B两卫星周期之比是多少？

（2）若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过多长时间两卫星再次相距最近？

（3）若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过多长时间两卫星相距最远？

【解答】解：（1）地球半径为R，A卫星离地面的高度等于R，B卫星离地面高度为3R，

所以RA＝2R，RB＝4R

由开普勒第三定律可知，

解得：TA：TB＝1：2。

（2）设经过t时间，两卫星再次相距最近

此时A比B多转一圈，即（）t＝2π

解得：t

其中：TA＝T

则tT。

（3）设经过t'时间，两卫星相距最远

此时A比B多转（n+0.5）圈，n＝0、1、2……

（）t'＝（n+0.5）2π，n＝0、1、2……

解得：t'（2n+1）T，n＝0、1、2……。

答：（1）A、B两卫星周期之比是1：2。

（2）若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过T两卫星再次相距最近。

（3）若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则经过（2n+1）T，n＝0、1、2……，两卫星相距最远。

4. 如图所示，A、B是地球的两颗卫星，卫星A、B的圆形轨道位于赤道平面内，运行方向与地球自转方向相同。卫星A离地面高度为7R，卫星B离地面高度为R，R为地球半

径，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心。

（1）求卫星A、B的运行周期之比。

（2）若某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？

【解答】解：由万有引力提供向心力：Gm＝mω2r＝m（）2r   解得 T2πω

（1）由T2π 可知8

（2）由ω 又  gR2＝GM  则得ω

ωAωB

得它们再一次相距最近时，一定是B比A多转了一圈，有：

（ωB﹣ωA）t＝2π

由以上各式可得：t

答：（1）求卫星A、B的运行周期之比为8：1。

（2）若某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过，它们再一次相距最近。

5.  “嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道。随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道。如图所示，阴影部分表示月球，设想卫星在圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，在圆轨道Ⅰ上飞行n圈所用时间为t，到达A点时经过短暂的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ（轨道半径近似为月球半径），而后卫星在轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动，在圆轨道Ⅲ上飞行n圈所用时间为，不考虑其他星体对卫星的影响。

（1）求月球的平均密度。

（2）求卫星从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间。

（3）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两颗卫星，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两卫星相距最近（两卫星在月球球心的同侧，且两卫星与月球球心在同一直线上），则至少经过多长时间，它们又会相距最近？

【解答】解：（1）设月球的质量为M，半径为R，“嫦娥一号”的质量为m，

卫星在圆轨道Ⅲ上的运动周期为：

由万有引力提供向心力有：

又根据：

联立解得：

（2）设卫星在轨道Ⅰ上的运动周期为T1，在轨道Ⅰ上，由万有引力提供向心力有：

又

联立解得：r＝4R

设卫星在轨道Ⅱ上的运动周期为T2，而轨道Ⅱ的半长轴为：

根据开普勒第三定律得：

联立解得：

所以卫星从A到B的飞行时间为：

（3）设卫星在轨道Ⅰ上的角速度为ω1、在轨道Ⅲ上的角速度为ω3，有：

设卫星再经过t'时间相距最近，有：ω3t'﹣ω1t'＝2π

解得：

答：（1）月球的平均密度为；

（2）卫星从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间为；

（3）则至少经过，它们又会相距最近。

6. 2014年3月8日马航客机MH370失联，多国卫星在搜寻中发挥了重要作用．如图所示为某两颗搜寻卫星的运行示意图，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，已知地球半径为R，地球自转周期为T．地球表面的重力加速度为q，O为地球中心．

（1）求卫星B的运行角速度ω；

（2）若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？

【解答】解：（1）由万有引力定律和向心力公式得：

地球表面物体重力等于万有引力

，

联立解得

（2）由，又由题意得

联立解得：

答：（1）卫星B的运行角速度ω为；

（2）若卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过时间，它们再一次相距最近．