2023年广东省东莞市粤华中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省东莞市粤华中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，下列运算中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在中国古代钱币特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  孙子算经中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：亿万万，兆万万亿．则兆等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，平行四边形的周长为，对角线，交于点，若点是的中点，连接则线段的值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  运动员小何在某次射击训练中，共射靶次，分别是环次，环次，环次，环次，则小何本次射击的中位数和平均成绩分别是环．(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  如图，在水平地面上放一个平面镜，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜与地面所成的锐角为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位得点，再将向上平移个单位得点，若点落在第三象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 或

9.  在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴相交于点，将该二次函数图象向右平移个单位长度后，也经过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，的半径为，弦长为，过的中点有一动弦点只在上运动，且不与、重合，设，，下列能够表示与之间函数关系的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  的系数是______．

12.  已知实数，满足方程组，则______．

13.  的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则的周长为______．

14.  中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线交两对边于、，则的长为______．
 

15.  如图，半径为的扇形中，，，，若则图中阴影部分的面积为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：其中，实数的相反数是它本身．

18.  本小题分
如图，矩形中，．
用尺规作的角平分线交于点不写作法，保留作图痕迹；
若，求的长．

19.  本小题分
为解决群众“健身去哪儿”问题，某区年新建、改建个市民益智健身苑点，图是某益智健身苑点中的“侧摆器”锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．

如图是侧摆器的抽象图，已知摆臂的长度为厘米，在侧摆运动过程中，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．精确到厘米，，
小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了大卡，结果比原计划提早分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？

20.  本小题分
学期末，某班对部分同学在舞蹈、美术、绘画、轮滑、棋类五项活动中的喜好情况进行调查，调查结束后，把结果制成不完整的条形统计图与扇形统计图，如图所示．

请补充完整条形统计图，“喜欢项”所在扇形的圆心角是______；
请计算被调查同学平均喜欢的项数：
已知“喜欢项”的同学中有两名是女同学，若从“喜欢项”中任意抽取两名同学，求恰好抽到均为女同学的概率．

21.  本小题分
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．
求，两点的坐标；
将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．

22.  本小题分
如图，四边形内接于，，连接，．
求证：；
如图，是直径．
已知，，求的半径；
如图，连接，若，与相交于点，求的值．

23.  本小题分
如图，已知抛物线交轴于、两点，交轴于，且．
求点、、的坐标及二次函数解析式；
假设在直线上方的抛物线上有动点，作轴交轴于点，交于点，作于点若点的横坐标为，求线段的最大值；
在抛物线的对称轴上是否存在点使得为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，的倒数是，
的倒数是．
故选：．
根据绝对值和倒数的定义作答．
一个负数的绝对值是它的相反数．若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，不能进行合并，选项错误，不符合题意；
B.，选项正确，符合题意；
C.，选项错误，不符合题意；
D.，选项错误，不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、幂的乘方运算依次计算判断即可．
本题主要考查同底数幂的乘除法、幂的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：亿
，
兆

，
故选：．
根据同底数幂的乘法先求出亿，再求兆即可．掌握是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：平行四边形的周长为，
．
四边形为平行四边形，且与交点为，
为的中点，
又是的中点，
为的中位线，，
．
．
故选：．
由平行四边形的周长为，即可得出，再根据平行四边形的性质即可得出为的中点，结合是的中点，即可得出为的中位线，根据中位线定理即可得出，则可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，解题的关键是找出为的中位线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟记平行四边形的性质是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据射击成绩知极差是环，故A错误；
中位数是环；
平均数为环．
故选：．
根据中位数和加权平均数的定义计算可得．
本题主要考查中位数和加权平均数，掌握中位数和加权平均数的定义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：延长交于点，如图，

由题意得：，
，
，
，，
，，
，，
，
即，
解得：．
故选：．
延长交于点，由题意可知，由对顶角相等得，从而得，再由平行线的性质得，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：点先向左平移个单位得点，再将向上平移个单位得点，
点位于第三象限，
，
解得：，
故选：．
根据点的平移规律可得，再根据第三象限内点的坐标符号可得．
此题主要考查了坐标与图形变化平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，令得，
，
将二次函数图象向右平移个单位长度后所得抛物线解析式为，
把代入得：，
解得舍去或，
故选：．
先求出的坐标，再将其代入平移后抛物线的解析式得到关于的方程，解方程即可得答案．
本题考查抛物线的平移，解题的关键是掌握“左加右减”，用含的式子表示平移后抛物线的解析式．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据相交弦定理可知：，即．
故选C．
要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
本题主要考查相交弦定理，要注意掌握．
 

11.【答案】 

【解析】解：的系数是，
故答案为：．
根据系数的定义：单项式中的数字因数直接写出答案即可．
本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的定义是解决本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
原式．
故答案为：．
原式利用平方差公式分解后，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了二元一次方程组的解，平方差公式，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：
，
所以，，
因为，
所以三角形第三边长为，
所以的周长为．
故答案为．
先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了三角形三边的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
故EF的长为，
故答案为：．
根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，

，，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，，
≌，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
连接，易证得四边形是矩形，则≌，得到，图中阴影部分的面积扇形的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
本题考查阴影部分的面积，矩形的判定定理，全等三角形的判定及性质，扇形面积公式，解题的关键是证明≌，得到图中阴影部分的面积扇形的面积．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解：


，
实数的相反数是它本身，
，
当时，原式． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，实数的性质，相反数，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示，为所求．

四边形为矩形，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
在中，，，
，
． 

【解析】根据角平分线的作法作图即可．
由四边形为矩形，可得，进而可得，由为的平分线，可得，则，在中，，，则，即可得出答案．
本题考查作图基本作图、角平分线的定义、含角的直角三角形，熟练掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：过点作垂足为，

由题意得：
，
在中，，
，
，
踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为厘米；
设小杰原计划小时完成锻炼，
由题意得：，
解得：，，
经检验：，都是原方程的根，但不符合题意，舍去，
答：小杰原计划锻炼小时完成． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作垂足为，由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答；
先设小杰原计划小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗原计划每小时的能量消耗，列出方程进行计算即可解答．
 

20.【答案】 

【解析】解：被调查的学生人数为：人，
“喜欢项”的学生人数为：人，“喜欢项”的学生人数为：人，
补全条形统计图如下：

“喜欢项”所在扇形的圆心角为：，
故答案为：；
被调查同学平均喜欢的项数为项；
“喜欢项”的同学共有名，有两名是女同学，则有名男同学，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到均为女同学的结果有种，
恰好抽到均为女同学的概率为．
求出被调查的学生人数，即可解决问题；
由加权平均数列式计算即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到均为女同学的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
，
解得负值舍去，
，；
直线向下平移个单位长度，
直线解析式为：，
当时，，
点的坐标为，
如图，过点作轴于点，
，
，
，
，

点在直线上，
，
，
点的坐标是．
点在反比例函数的图象上，
，
解得负值舍去，
． 

【解析】根据正比例函数与反比例函数，即可求出两交点坐标；
根据直线向下平移个单位长度，可得直线解析式为：，所以点的坐标为，过点作轴于点，根据，可得，所以，可得点的坐标是然后利用反比例函数即可解决问题．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：过点作于点，

是直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
的半径为；
延长交于，作于，

，，是直径，
是等腰直角三角形，
即，，是等腰直角三角形，
，
设，
，，
，
． 

【解析】由“圆内接四边形对角互补”及，得出，进而得出，即可得证；
过点作于点，由是直径得出，得出是等腰直角三角形，由得出，得出，进而得出的长度，即可求出的长度，从而得出的半径；
延长交于，作于，根据线段关系得出面积比例关系即可．
本题主要考查圆的综合知识，熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识是解题的关键．
 

23.【答案】解：对于抛物线，令，得到，解得或，
，，
，
，
，
把代入中得：，
，
二次函数解析式为；
设直线的解析式为：，
把，代入得：，解得，
直线的解析式为：，
由题意可设，，
则，；
在中，根据勾股定理，得，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值是；
，，
，，
由对称得：抛物线的对称轴是：，
，
设抛物线的对称轴与轴相交于点，当为直角三角形时，存在以下三种情况：
如图，当时，点在的下方，
，
，
，
∽，
，即，
，
；
如图，当时，点在的上方，过作轴于，
同理得：∽，
，即，
，
，
；
综上所述，点的坐标为或 

【解析】利用待定系数法求出、、的坐标即可解决问题；
易用表示线段的长度，再求得和的长度关系，根据等角三角函数或三角形相似即可解题；
为直角三角形时，分别以点或点为直角顶点讨论：根据三角形相似和勾股定理列方程解决问题．
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的性质、三角形相似的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用学过的知识解决问题，学会构建二次函数，利用配方法确定线段的最值，与方程相结合，并利用分类讨论的思想，属于中考压轴题．