2023年广东省佛山市顺德区拔萃实验学校中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省佛山市顺德区拔萃实验学校中考数学一模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省佛山市顺德区拔萃实验学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的相反数的倒数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列四个数中，比小的数是(    )A.  B.  C.  D. 3.  可燃冰，学名叫“天然气水合物”，是一种高效清洁、储量巨大的新能源．据报道，仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了亿吨油当量．将亿用科学记数法可表示为(    )A.  B.  C.  D. 4.  我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  在我市中小学生开展的红色经典故事演讲比赛中，某参赛小组名同学的成绩单位：分分别为：，，，，，关于这组数据，下列说法错误的是(    )A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是7.  如图，，点、、在同一条直线上，，，则点和点之间的距离是(    )
A.  B.  C.  D. 8.  如图，，分别与相切于，两点，，则的度数为(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：；；若、是抛物线上的两点，则有；若，为方程的两个根，且；以上说法正确的有(    )
 
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.  分解因式：          ．12.  方程组的解为______．13.  如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度，其中一名小组成员站在距离树米的点处，测得树顶的仰角为，已知测角仪的架高米，则这棵树的高度为          米．
 
 14.  如图，在扇形中，，点为的中点，交弧于点，连接交于点，若，则阴影部分的面积为______．
 15.  如图，正方形是边长为，点是边上一动点不与点，重合，过点作交正方形外角的平分线于点，交于点，连接有下列结论：；；；面积的最大值为其中正确的是______把正确结论的序号都填上
 三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）16.  计算：．四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．18.  本小题分
如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点．
求出一次函数与反比例函数的解析式；
若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若：：时，求的面积．
19.  本小题分
猕猴媒戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：类别
价格款玩偶款玩偶进货价元个销售价元个第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？20.  本小题分
二次函数，先向上平移个单位，再向右平移个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．的值为______；
在坐标系中画出平移后的图象，并写出与的交点坐标；
点，在新的函数图象上，且，两点均在对称轴同一侧，若，则______填不等号21.  本小题分
网络直播教学是特殊时期常见的教学方式，顺德区为了解九年级教师使用线上授课软件情况，在月份某天随机抽查了若干名老师进行调查，其中表示“抖音直播”，表示“腾讯会议”，表示“腾讯课堂”，表示“群课堂”，表示“钉钉直播”，现将调查结果绘制成两种不完整的统计图表：组别使用人数人占调查人数的百分率请根据图表中的信息解答下列问题：
       ，并将频数分布直方图补充完整；
已知该区共有九年级老师人，请你估计该区使用“群课堂”有多少人？
该区计划在组随机抽取两人了解使用情况，已知组有理科老师人，文科老师人，请用列表法或树状图法求出抽取两名老师都是理科的概率．
22.  本小题分
如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点连接并延长交于点．
求证：直线是的切线；
求证：；
若，，求的长．
23.  本小题分
发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：≌；
探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
拓展：如图，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点，求的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】根据的相反数是，的倒数为，即可解答．
本题考查了相反数和倒数，解决本题的关键是熟记相反数，倒数的定义．
【解答】解：的相反数是，
的倒数是，
故选：．  2.【答案】 【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
先根据有理数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
本题考查了有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 3.【答案】 【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数，据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．  5.【答案】 【解析】解：、与不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、整式的除法法则即可求出答案．
本题考查合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
 6.【答案】 【解析】解：将数据重新排列为，，，，，，
A.数据的平均数为，故选项A不合题意；
B.数据的中位数为，故选项B不合题意；
C.数据的众数为，故选项C不合题意；
D.所以方差为，故选项D符合题意；
故选：．
根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．
本题考查的是算术平均数，方差，中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 7.【答案】 【解析】解：连接，过作于，过作于，

，
，，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
故点和点之间的距离是，
故选：．
连接，过作于，过作于，根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理得到的长，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：连接、，

、是的切线，
，
在四边形中，，
，
，
故选：．
根据切线的性质得出，利用四边形的内角和以及圆周角的性质即可得出答案．
本题考查切线的性质，四边形的内角和以及圆周角定理，求出的度数是解决问题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：设圆弧的圆心为，过作于，交于，连接，如图所示：

则，，
，
，
即这些钢索中最长的一根为，
故选：．
设圆弧的圆心为，过作于，交于，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可．
本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点坐标．
利用抛物线的开口方向、对称轴的位置、抛物线与轴交点的位置即可判断，，的符号；根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点坐标可算出另一个交点的坐标为，则当时，根据函数图象即可判断；利用二次函数的性质即可判断，的大小关系；把，看作二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图象即可判断，的取值范围．
【解答】
解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴正半轴，
，
，故错误；
抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，
，故正确；
抛物线开口向下，
离对称轴越近的点，函数值越大，
，
，故正确；
，为方程的两个根，
把，看作二次函数与直线的交点的横坐标，
，故正确．
说法正确的有．
故选：．  11.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了提公因式法与平方差的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式．
故答案为：．  12.【答案】 【解析】解：，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以原方程组的解是，
故答案为：．
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，注意：解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
 13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是通过添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
过点作于，则四边形是矩形，证是等腰直角三角形，得，即可得出答案．
【解答】
解：如图，过点作于，
则四边形是矩形，
，，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
．
即树的高度为．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：如图，连接，

点为的中点，，，
，
，
，
，
扇形的面积为：，



，
，
阴影部分的面积为：．
故答案为：．
连接，根据点为的中点可得，再求出，继而求出扇形的面积，最后用扇形的面积减去的面积和的面积，即可求出阴影部分的面积．
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求出的度数是解答此题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：在上取点，使，连接，

，，
，
又，
，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；
，
，
，故正确；
，
，
又，
，
，
，
，
，
而不一定等于，
不一定等于，故错误；
≌，
，
设，则，
当时，取最大值为，
面积的最大值为，故错误，
故答案为．
在上取点，使，连接，然后证明和全等，再利用全等三角形的性质即可得出答案．
本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，关键是要能作出辅助线，构造出全等的三角形，要牢记全等三角形的性质．
 16.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 17.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
 18.【答案】解：一次函数的图象与坐标轴相交于点，
，解得，
一次函数为：，
一次函数的图象经过点．
，
点坐标为，
反比例函数经过点，
，
反比例函数为：；

作于，于，

，
∽，
，
：：，点坐标为，
：：，，
，
，
点的纵坐标为，
把代入求得，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
． 【解析】用待定系数法即可求解；
证明∽，则，而：：，点坐标为，利用，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
 19.【答案】解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意，得，
解得：．
个．
答：款玩偶购进个，款玩偶购进个．
设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，
由题意，得．
款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．
，
，
．
，
随的增大而增大．
时，元．
款玩偶为：个．
答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元． 【解析】设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由用元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可；
设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润．
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
 20.【答案】解：；
平移后的函数图象如图：

联立方程组，
解得
与的交点坐标为，；
或． 【解析】【分析】
本题考查二次函数的图象性质，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
根据平移的性质分析对应点的坐标；
利用描点法画函数图象，联立方程组求得两函数的交点坐标；
结合二次函数图象的性质分析求解．
【解答】
解：将先向上平移个单位，再向右平移个单位后对应点的坐标为，
，
故答案为：；
见答案；
点，在新的函数图象上，且，两点均在对称轴同一侧，
当，两点同在对称轴左侧时，若，则，
当，两点同在对称轴右侧时，若，则，
故答案为：或．  21.【答案】；
完成频数分布直方图如下：
人，
答：估计该区使用“群课堂”有人；
把理科老师记为，文科老师记为，
画树状图如图：

由树状图知共有种等可能的结果，其中抽取两名老师都是理科的结果有种，
抽取两名老师都是理科的概率为． 【解析】解：本次调查的人数为人，
，，
故答案为：，
完成频数分布直方图见答案．
见答案．
由的人数除以所占百分比得出本次调查的人数，即可解决问题；
由该区九年级老师总人数乘以使用“群课堂”的九年级老师所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取两名老师都是理科的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及统计表和频数分布直方图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 22.【答案】证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
证明：线段是的直径，
，
，
，，
，
，
．
解：，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
． 【解析】连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；
由线段是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则；
由，证明，则是等边三角形，所以，则，所以，再证明，得．
此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 23.【答案】证明：将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，，
，，
在和中

≌；
解：延长，交于，如图：

设，
在中，，
，解得，
，
，，
∽，
，即，
，，
，，
∽，∽，
，即，
，
设，则，
，
∽，
，即，解得，
的长为；
解：Ⅰ当时，延长交于，过作于，如图：

设，，则，
，
∽，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即，
，
，，，
在中，，
，
联立可解得，
；
Ⅱ当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：


设，，则，，
，
∽，
，
，
同理，，即，
，

，，，
由，，
联立，解得，
，
综上所述：的长为或． 【解析】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证≌；
延长，交于，设，在中，有，得，，由∽，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；
分两种情况：Ⅰ当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有，在中，，可解得，；
Ⅱ当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．