2021-2022学年湖南省长沙一中高一（下）期中数学试卷

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2021-2022学年湖南省长沙一中高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x≥2}，则A∩（∁RB）＝（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]
2．（5分）复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）不等式log2（3x+1）＜1成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． B．x＜0 C． D．
4．（5分）如图所示，正方形O′A′B′C′的边长2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（　　）

A．16cm B．8cm C．（2+3）cm D．（2+2）cm
5．（5分）已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，，则＝（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，∠ACB＝π，∠BAC＝，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（　　）米

A． B． C． D．
7．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣1）＝f（x+1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，若函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）（a＞1）在区间（﹣1，3）恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，3） B．（3，5） C．（3，5] D．（1，5]
8．（5分）设函数有5个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（　　）
A．[，） B．（，） C．（，] D．[，]
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理不正确的是（　　）
A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α，且b∥β
C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
（多选）10．（5分）已知下列四个命题为真命题的是（　　）
A．已知非零向量，，，若，，则
B．若四边形ABCD中有，则四边形ABCD为平行四边形
C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
（多选）11．（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（　　）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC为钝角三角形
C．若a＝5，b＝10，，则符合条件的三角形不存在
D．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形
（多选）12．（5分）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO＝OC＝2，则下列结论正确的是（　　）

A．圆锥SO的侧面积为8
B．三棱锥S﹣ABC体积的最大值为
C．∠SAB的取值范围是（）
D．若AB＝BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2（+1）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设向量，，若∥，则tanθ＝　 　．
14．（5分）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是 　 　．

15．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为 　 　．
16．（5分）如图，△ABC中点，D，E是线段BC上两个动点，且+＝x+y，则的最小值为 　 　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知，，O为坐标原点．
（1）若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围；
（2）当t∈[﹣1，1]时，求的取值范围．
18．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形，E，F分别是BB1，B1C1上的点，且C1F＝2B1F，BE＝2B1E．
（1）证明：点F在平面AD1E内；
（2）若AA1＝2AB＝4，求三棱锥D﹣AD1E的体积．

19．（12分）（1）在复数范围内，求方程2x2+3x+4＝0的解；
（2）若复数z1，z2满足z1•z2+2iz1﹣2iz2+1＝0，若z1，z2满足，求出z1，z2．
20．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且．

（Ⅰ）求证：PQ∥平面A1D1DA；
（Ⅱ）若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．
21．（12分）在①2a﹣b＝2ccosB，②S＝（a2+b2﹣c2），③sin（A+B）＝1+2sin2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．
22．（12分）已知函数f（x）＝（2x﹣m）（x+2）（m∈R）．
（Ⅰ）对任意的实数α，恒有f（sinα﹣1）≤0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数m取最小值时，讨论函数F（x）＝f（2cosx）+a﹣15在x∈[0，2π）时的零点个数．

2021-2022学年湖南省长沙一中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x≥2}，则A∩（∁RB）＝（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]
【分析】进行交集、补集的即可．
【解答】解：∁RB＝{x|x＜2}；
∴A∩（∁RB）＝（﹣2，2）．
故选：C．
【点评】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．
2．（5分）复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】运用复数的除法运算法则，化简复数z，再由复数的几何意义，即可得到所求象限．
【解答】解：复数z＝＝＝，
可得复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点为（﹣，），
位于第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查复数的除法运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．
3．（5分）不等式log2（3x+1）＜1成立的一个充分不必要条件是（　　）
A． B．x＜0 C． D．
【分析】先求出log2（3x+1）＜1⇔﹣＜x＜，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：∵log2（3x+1）＜1，
∴0＜3x+1＜2，∴﹣＜x＜，
∵（0，）⫋（﹣，），
∴不等式log2（3x+1）＜1成立的一个充分不必要条件是0，
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，对数不等式的解法，属于中档题．
4．（5分）如图所示，正方形O′A′B′C′的边长2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（　　）

A．16cm B．8cm C．（2+3）cm D．（2+2）cm
【分析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行性不变，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．
【解答】解：∵直观图正方形O′A′B′C′的边长2cm，∴O′B′＝2，
原图形为平行四边形OABC，其中OA＝2，高OB＝4．
∴AB＝CO＝＝6．
∴原图形的周长L＝2×6+2×2＝16（cm）．
故选：A．

【点评】本题考查了画平面图形直观图的斜二测画法，熟练掌握斜二测画法的特征是解题的关键．
5．（5分）已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】将问题转化为两基向量，即可快速求解．
【解答】解：＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查向量数量积，属基础题．
6．（5分）设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，∠ACB＝π，∠BAC＝，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离，距离为（　　）米

A． B． C． D．
【分析】利用三角形内角和定理、正弦定理即可求得AB的值．
【解答】解：△ABC中，AC＝80米，∠ACB＝π，∠BAC＝，
所以∠ABC＝π﹣﹣＝，
利用正弦定理得＝，
解得AB＝＝40（1+），
所以计算出A，B两点间的距离为40（1+）米．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、正弦定理的应用问题，是基础题．
7．（5分）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣1）＝f（x+1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，若函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）（a＞1）在区间（﹣1，3）恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，3） B．（3，5） C．（3，5] D．（1，5]
【分析】本题先要根据分析出函数在[﹣1，0]上的表达式，以及f（x）是以2为周期的周期函数．然后画出函数f（x）在区间（﹣1，3）上的大致图象，再根据图象得出两个临界的对数函数曲线，分别计算出a的值，即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：由题意，令x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，
f（﹣x）＝2﹣x﹣1＝（）x﹣1＝f（x）．
∴f（x）＝．
∵对任意x∈R，都有f（x﹣1）＝f（x+1），
令t＝x﹣1，则x＝t+1，f（t）＝f（t+2），
∴f（x）是以2为周期的周期函数．
故函数f（x）在区间（﹣1，3）上的大致图象如下：

∵函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）（a＞1）在区间（﹣1，3）恰有3个不同的零点，
∴y＝f（x）的图象与y＝loga（x+2）（a＞1）在区间（﹣1，3）恰有3个不同的交点．
根据图，当y＝loga（x+2）经过点（1，1）时，有两个交点，
此时loga（1+2）＝f（1）＝1，解得a＝3．
当y＝loga（x+2）经过点（3，1）时，有4个交点，
此时loga（3+2）＝f（3）＝1，解得a＝5．
∴当3＜a≤5时，恰有3个不同的交点，
即函数g（x）＝f（x）﹣loga（x+2）（a＞1）在区间（﹣1，3）恰有3个不同的零点．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的性质及应用，对数函数的性质，以及数形结合思想的应用，对数的基本计算能力．本题属中档题．
8．（5分）设函数有5个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（　　）
A．[，） B．（，） C．（，] D．[，]
【分析】分段函数分段处理，显然x＞0有1个零点，所以﹣π≤x≤0有4个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证﹣π≤x≤0之间有4个零点即可．
【解答】解：由题可得，当x＞0时，f（x）＝x+lnx，显然单调递增，且f（）＝﹣ln10＜0，f（2）＝2+ln2＞0，
所有此时f（x）有且只有一个零点，所有当﹣π≤x≤0时，f（x）＝sin（ωx+）有4个零点，
令f（x）＝0，即ωx+＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
由题可得﹣π≤x≤0区间内的4个零点分别是k＝0，﹣1，﹣2，﹣3，
所以﹣π即在k＝﹣3与k＝﹣4之间，
即，解得≤ω．
故选：A．
【点评】本题考查了分段函数的零点，也考查了三角函数的性质，属于中档题．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理不正确的是（　　）
A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α，且b∥β
C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
【分析】对于A，a与b相交或平行；对于B，b∥α或b⊂α，且b∥β或b⊂β；对于C，α与β相交或平行；对于D，由面面平行的性质得a∥b．
【解答】解：a，b表示直线，α，β，γ表示平面，
对于A，α∩β＝a，b⊂α⇒a与b相交或平行，故A错误；
对于B，α∩β＝a，a∥b⇒b∥α或b⊂α，且b∥β或b⊂β，故B错误；
对于C，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α与β相交或平行，故C错误；
对于D，由面面平行的性质得α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b，故D正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间想象能力，是中档题．
（多选）10．（5分）已知下列四个命题为真命题的是（　　）
A．已知非零向量，，，若，，则
B．若四边形ABCD中有，则四边形ABCD为平行四边形
C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底
D．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
【分析】由平面向量基本定理结合投影向量的运算逐一判断即可．
【解答】解：对于选项A，对于非零向量，，，由，，且为非零向量，可知，即选项A正确；
对于选项B，四边形ABCD中有，由平行四边形判定定理可得，
四边形ABCD为平行四边形，即选项B正确；
对于选项C，，，则，即，
则，不能作为平面向量的一组基底，即选项C错误；
对于选项D，则向量在向量上的投影向量为＝，即选项D正确，
故选：ABD．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，重点考查了投影向量的运算，属基础题．
（多选）11．（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（　　）
A．若A＞B，则sinA＞sinB
B．若a＝4，b＝5，c＝6，则△ABC为钝角三角形
C．若a＝5，b＝10，，则符合条件的三角形不存在
D．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形
【分析】利用正弦定理和余弦定理结合各选项的条件分别判断即可．
【解答】解：对于A：若a＞b，则2RsinA＞2RsinB，整理得sinA＞sinB，故A正确；
对于B：根据a＝4，b＝5，c＝6，可得cosC＝＝＞0，
所以最大角C为锐角，故△ABC为锐角三角形，故B错误；
对于C：若a＝5，b＝10，，则sinB＝＝＝＞1，
这样符合条件的三角形内角B不存在，故C正确；
对于D：若acosA＝bcosB，则sinAcosA＝sinBcosB，可得sin2A＝sin2B，
所以2A＝2B或2A+2B＝π，所以△ABC是等腰或直角三角形，故D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）12．（5分）如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，SO＝OC＝2，则下列结论正确的是（　　）

A．圆锥SO的侧面积为8
B．三棱锥S﹣ABC体积的最大值为
C．∠SAB的取值范围是（）
D．若AB＝BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2（+1）
【分析】由已知求出圆锥侧面积判断A；求出三棱锥S﹣ABC体积的最大值判断B；由极限观点求解∠SAB的取值范围判断C；利用剪展问题求得SE+CE的最小值判断D．
【解答】解：在Rt△SOC中，∵SO＝OC＝2，∴，
则圆锥 SO的侧面积为S＝，故A错误；
当B位于中点时，△ABC面积取最大值，为，
此时三棱锥S﹣ABC体积的最大值为，故B正确；
当B与C趋于重合时，∠SAB趋于，当B与A趋于重合时，∠ASB趋于0，∠SAB趋于，
∴∠SAB的取值范围是（，），故C错误；
若AB＝BC，以AB为轴把平面SAB旋转至与平面ABC重合，连接SC，交AB于E，
则∠SBC＝150°，在△SBC中，SB＝BC＝，
由余弦定理可得，SC＝
＝，即SE+CE的最小值为2（+1），故D正确．
故选：BD．

【点评】本题考查旋转体及其特征，考查剪展问题中最值的求法，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力及思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设向量，，若∥，则tanθ＝　　．
【分析】利用向量平行的性质和同角三角函数关系式能求出结果．
【解答】解：∵，，∥，
∴＝，
∴tanθ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正切函数的求法，考查向量平行的性质和同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
14．（5分）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是 　　．

【分析】图2中水所占部分为四棱柱，求出其底面积和高，根据棱柱的体积公式求出四棱柱的体积，同理在图1中，求同三棱柱的体积，能求出图1中容器内水面的高度．
【解答】解：在图2中，水中部分是四棱柱，
四棱柱底面积为S＝﹣＝，高为2，
∴四棱柱的体积为V＝2a×＝，
设图1中容器内水面高度为h，
则V＝＝，解得h＝．
∴图1中容器内水面的高度是．
故答案为：．
【点评】本题考查正三棱柱的体积的运算，考查三棱柱的性质、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为 　　．
【分析】根据给定条件把直三棱柱补形成长方体，利用它们有相同的外接球，求出长方体的体对角线长即可得解．
【解答】解：依题意，不妨令∠BAC＝90°，于是得直三棱柱ABC﹣A1B1C1共点于A的三条棱AB，AC，AA1两两垂直，，
则以AB，AC，AA1为相邻三条棱可作长方体，该长方体与直三棱柱ABC﹣A1B1C1有相同的外接球，
外接球的直径2R即为长方体体对角线长，即R＝2，
此球的体积为，
故答案为：．
【点评】本题考查球的体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
16．（5分）如图，△ABC中点，D，E是线段BC上两个动点，且+＝x+y，则的最小值为 　8　．

【分析】设，由四点共线，得到x+y＝2，然后利用基本不等式的结论求解最值即可．
【解答】解：设，
因为B，D，E，C四共线，
则m+n＝1，λ+μ＝1，
因为+＝x+y，
则x+y＝2，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理的应用，利用基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知，，O为坐标原点．
（1）若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围；
（2）当t∈[﹣1，1]时，求的取值范围．
【分析】（1）根据题意，求出与的坐标，由向量数量积的运算性质可得关于m的不等式，然后求出m的范围；
（2）根据题意，求出﹣t的坐标，得到|﹣t|的表达式，结合二次函数的性质，求出取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，，，
则＝（3m+2，﹣2m+1），＝（﹣1，﹣4），
若与的夹角为钝角，
则有（）•（）＝﹣3m﹣2+8m﹣4＝5m﹣6＜0，且4（3m+2）≠﹣（﹣2m+1），
解得m＜且m≠﹣，即m的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）；
（2）根据题意，﹣t＝（3﹣2t，﹣2﹣t），
则2＝（3﹣2t）2+（﹣2﹣t）2＝5t2﹣8t+13，
所以|﹣t|＝，
又﹣1≤t≤1，则≤|﹣t|≤，
即的取值范围是[，]．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
18．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是正方形，E，F分别是BB1，B1C1上的点，且C1F＝2B1F，BE＝2B1E．
（1）证明：点F在平面AD1E内；
（2）若AA1＝2AB＝4，求三棱锥D﹣AD1E的体积．

【分析】（1）利用长方体的性质得到AD1∥BC1，利用对应线段成比例和相似三角形得到EF∥BC1，再利用基本事实4得到AD1∥EF，即证明四点共面；
（2）利用等体积法和三棱锥的体积公式进行求解．
【解答】证明：（1）如图，连接BC1，EF，

在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，C1D1∥AB，且C1D1＝AB，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1∥BC1，
因为C1F＝2B1F，BE＝2B1E，所以，
所以△B1EF∽△B1BC，所以EF∥BC1，
所以AD1∥EF，所以A，D1，E，F四点共面，
即点F在平面AD1E内；
解：（2）在长方体中，点E到平面ADD1的距离即为点B到平面ADD1的距离，即为BA，
所以．
【点评】本题考查了四点共面的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．
19．（12分）（1）在复数范围内，求方程2x2+3x+4＝0的解；
（2）若复数z1，z2满足z1•z2+2iz1﹣2iz2+1＝0，若z1，z2满足，求出z1，z2．
【分析】（1）利用配方法和i2＝﹣1进行求解；
（2）先利用进行消元，再设出z1＝a+bi，利用模长公式、复数的相等进行求解．
【解答】解：（1）因为2x2+3x+4＝0，
所以，
所以，
所以即，
（2）将代入z1⋅z2+2iz1﹣2iz2+1＝0，
得，
即，
设z1＝a+bi，所以a2+b2﹣2b﹣3﹣2ai＝0，
所以，
解得或，
所以z1＝3i，z2＝﹣5i或z1＝﹣i，z2＝﹣i．
【点评】本题考查了复数的运算，属于中档题．
20．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别为对角线BD、CD1上的点，且．

（Ⅰ）求证：PQ∥平面A1D1DA；
（Ⅱ）若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．
【分析】（Ⅰ）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，证明BC∥AD，PQ∥MD1，又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，证明PQ∥平面A1D1DA；
（Ⅱ）R是AB上的点，当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA，通过证明PR∥平面A1D1DA，又PQ∩PR＝P，PQ∥平面A1D1DA．然后证明即可．
【解答】（Ⅰ）证明：连结CP并延长与DA的延长线交于M点，
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，

故△PBC∽△PDM，所以，
又因为，所以，所以PQ∥MD1．
又MD1⊂平面A1D1DA，PQ⊄平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA． …（6分）
（Ⅱ）当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA．
证明：因为，即有，故，所以PR∥DA．
又DA⊂平面A1D1DA，PR⊄平面A1D1DA，
所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∩PR＝P，PQ∥平面A1D1DA．
所以平面PQR∥平面A1D1DA．…（12分）
【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．
21．（12分）在①2a﹣b＝2ccosB，②S＝（a2+b2﹣c2），③sin（A+B）＝1+2sin2三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设△ABC的面积为S，已知______．
（1）求角C的值；
（2）若b＝4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，△CDB的面积为，求边长a的值．
【分析】（1）选①由余弦定理化简已知等式可得cosC＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
选②利用三角形的面积公式，余弦定理化简已知等式可得tanC＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
选③利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C+）＝1，结合范围C+∈（，），即可求解C的值．
（2）由题意S△ABC＝S△ACD+S△BCD，利用三角形的面积公式可得a×CD+CD＝，a×CD＝，联立即可解得a的值．
【解答】解：（1）选①2a﹣b＝2ccosB，
则由余弦定理可得：2a﹣b＝2c•，整理可得a2+b2﹣c2＝ab，
可得cosC＝＝，
因为C∈（0，π），
所以C＝．
选②S＝（a2+b2﹣c2），
可得absinC＝，即sinC＝＝cosC，
所以tanC＝，
因为C∈（0，π），
可得C＝．
选③sin（A+B）＝1+2sin2，
可得：sinC＝2﹣cosC，可得2sin（C+）＝2，
可得：sin（C+）＝1，
因为C∈（0，π），C+∈（，），
所以C+＝，可得C＝．
（2）在△ABC中，S△ABC＝S△ACD+S△BCD，
可得BC•CD•sin∠BCD+CA•CD•sin∠ACD＝CA•CB•sin∠ACB，可得a×CD+CD＝，①
又S△CDB＝a×CD＝，②
由①②可得：＝，解得a＝2，或a＝﹣（舍去），
所以边长a的值为2．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝（2x﹣m）（x+2）（m∈R）．
（Ⅰ）对任意的实数α，恒有f（sinα﹣1）≤0成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数m取最小值时，讨论函数F（x）＝f（2cosx）+a﹣15在x∈[0，2π）时的零点个数．
【分析】（Ⅰ）可设t＝sinα﹣1，可得t∈[﹣2，0]，由二次函数的图象可得f（0）≤0，f（﹣2）≤0，解不等式组可得所求范围；
（Ⅱ）求得f（x）的解析式，以及F（x）的解析式，可令F（x）＝0，运用参数分离和换元法、余弦函数的单调性和二次函数的单调性，结合图象可得所求零点个数．
【解答】解：（Ⅰ）任意的实数α，可设t＝sinα﹣1，可得t∈[﹣2，0]，
由题意可得f（t）≤0恒成立，结合函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，
可得即，解得m≥0，即m的取值范围是[0，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得m＝0，即f（x）＝2x（x+2），
F（x）＝f（2cosx）+a﹣15＝4cosx（2cosx+2）+a﹣15，
令F（x）＝0，可得＝cosx（cosx+1），x∈[0，2π），
可令u＝cosx，f（u）＝u2+u＝（u+）2﹣，﹣1≤u≤1，
当0＜x＜时，u＝cosx递减，y＝f（u）在﹣＜u＜1递增，即有y＝cosx（cosx+1）在0＜x＜时递减，此时﹣＜y＜2；
当＜x＜π时，u＝cosx递减，y＝f（u）在﹣1＜u＜﹣递减，即有y＝cosx（cosx+1）在＜x＜π时递增，此时﹣＜y＜0；
当π＜x＜时，u＝cosx递增，y＝f（u）在﹣1＜u＜﹣递减，即有y＝cosx（cosx+1）在π＜x＜时递减，此时﹣＜y＜0；
当＜x＜2π时，u＝cosx递增，y＝f（u）在﹣＜u＜1递增，即有y＝cosx（cosx+1）在＜x＜2π时递增，此时﹣＜y＜2；
作出y＝cosx（cosx+1），x∈[0，2π）的大致图象如右：
由图象可得当＝2，即a＝﹣1时，函数F（x）的零点个数为1；
当＝﹣或0＜＜2，即a＝17或﹣1＜a＜15时，函数F（x）的零点个数为2；
当＝0，即a＝15时，函数F（x）的零点个数为3；
当﹣＜＜0，即15＜a＜17时，函数F（x）的零点个数为4；
当a＜﹣1或a＞17时，函数F（x）的零点个数为0．

【点评】本题考查二次函数的图象和性质，考查不等式恒成立问题解法，以及函数的零点个数问题，注意运用换元法和分类讨论思想、数形结合思想，考查运算能力，属于难题．
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