2021-2022学年江苏省南京师大附中高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南京师大附中高二（下）期中数学试卷，文件包含2021-2022学年江苏省南京师大附中高二下期中数学试卷docx、2021-2022学年江苏省南京师大附中高二下期中数学试卷pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京师大附中高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（5分）的二项展开式中的常数项为（　　）
A．1 B．6 C．15 D．20
2．（5分）随机变量X的分布列如下：
X
﹣1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）已知随机变量η满足E（1﹣η）＝5，D（1﹣η）＝5，则下列说法正确的是（　　）
A．E（η）＝﹣5，D（η）＝5 B．E（η）＝﹣4，D（η）＝﹣4
C．E（η）＝﹣5，D（η）＝﹣5 D．E（η）＝﹣4，D（η）＝5
4．（5分）已知某年的FRM（金融风险管理）一级测试成绩X服从正态分布N（45，32），则54分以上的成绩所占的百分比约为（　　）
（附：P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈95.4%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈99.7%．）
A．2.38% B．1.35% C．0.26% D．0.15%
5．（5分）已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（　　）
A．0.63 B．0.24 C．0.87 D．0.21
6．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AB＝BC，AC＝，AA1＝，点E为A1C1的中点，点F在BC的延长线上且＝，则异面直线BE与C1F所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
7．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为（　　）

A． B． C． D．
8．（5分）西部某县教委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有（　　）
A．36种 B．68种 C．104种 D．110种
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（多选）9．（5分）2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
售价x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
根据表中数据得到y关于x的回归直线方程ŷ＝﹣3.2x+，则下列说法正确的有（　　）
A．＝40
B．回归直线过点（10，8）
C．当x＝8.5时，y的估计值为12.8
D．点（10.5，6）处的随机误差为0.4
（多选）10．（5分）若（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则下列结论中正确的是（　　）
A．a0＝1 B．a1+a2+a3+a4+a5＝2
C．a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝35 D．a0﹣|a1|+a2﹣|a3|+a4﹣|a5|＝﹣1
（多选）11．（5分）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是（　　）
A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率为
B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为
C．从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到的是红球条件下，第二次再次取到红球的概率为
D．从中不放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有一次取到红球的概率为
（多选）12．（5分）已知图1中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把△ABF，△BCG，△CDH，△DAE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则（　　）


A．△AEF是正三角形
B．平面AEF⊥平面CGH
C．直线CG与平面AEF所成角的正切值为
D．当AB＝2时，多面体ABCD﹣EFGH的体积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）﹣2+22﹣23+24﹣25+26﹣27＝　 　．
14．（5分）如图，P﹣ABCD是正四棱锥，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则B1到平面PAD的距离为 　 　．

15．（5分）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有　 　种．（用数字作答）

16．（5分）将字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母互不相同的概率为 　 　；若共有k行字母相同，则得k分，则所得分数ξ的均值为 　 　．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（10分）为了调查某校高二学生是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样的方法从该校高二年级调查了55名学生，结果如表：

男
女
需要
20
10
不需要
10
15
（1）估计该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例（用分数表示）；
（2）能否有95%把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关？
18．（12分）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
（3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒．
19．（12分）已知E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC和CD的中点．
（1）求A1D与EF所成角的大小；
（2）求A1E与平面B1FB所成角的余弦值．

20．（12分）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，南京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高二年级的两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：h），将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）已知该校高二年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高二年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；
（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为X，求X的分布列和均值．

21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1是菱形，平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，G是棱CC1上一点，且＝2．
（1）证明：EF∥平面ABB1A1；
（2）从①三棱锥C1﹣ABC的体积为1；②CC1与底面ABC所成的角为60°；③异面直线BB与AE所成的角为30°，这三个条件中选择一个作为已知，求二面角A﹣EG﹣F的余弦值．

22．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾量
X
[12.5，15.5）
[15.5，18.5）
[18.5，21.5）
[21.5，24.5）
[24.5，27.5）
[27.5，30.5）
[30.5，33.5]
频数
5
6
9
12
8
6
4
（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值（精确到0.1）；
（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为（1）中的样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s＝5.2．请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数．
（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望．
（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）

2021-2022学年江苏省南京师大附中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（5分）的二项展开式中的常数项为（　　）
A．1 B．6 C．15 D．20
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1＝•x6﹣r•x﹣r＝•x6﹣2r，
令6﹣2r＝0，解得 r＝3，
故常数项为：＝20，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
2．（5分）随机变量X的分布列如下：
X
﹣1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由随机变量X的分布列的性质得a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．由a，b，c成等差数列，得2b＝a+c，从而能求出P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）的值．
【解答】解：∵随机变量X的分布列如下：
X
﹣1
0
1
P
a
b
c
∴a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．①
∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a+c，②
联立①②，得b＝，a+c＝，
∴P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）＝a+c＝．
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意随机变量的分布列和等差数列的性质的合理运用．
3．（5分）已知随机变量η满足E（1﹣η）＝5，D（1﹣η）＝5，则下列说法正确的是（　　）
A．E（η）＝﹣5，D（η）＝5 B．E（η）＝﹣4，D（η）＝﹣4
C．E（η）＝﹣5，D（η）＝﹣5 D．E（η）＝﹣4，D（η）＝5
【分析】随机变量η满足E（1﹣η）＝5，D（1﹣η）＝5，可得1﹣Eη＝5，Dη＝5，解出即可得出．
【解答】解：∵随机变量η满足E（1﹣η）＝5，D（1﹣η）＝5，
∴1﹣Eη＝5，Dη＝5，
解得Eη＝﹣4，Dη＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了期望与方差的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．（5分）已知某年的FRM（金融风险管理）一级测试成绩X服从正态分布N（45，32），则54分以上的成绩所占的百分比约为（　　）
（附：P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈95.4%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈99.7%．）
A．2.38% B．1.35% C．0.26% D．0.15%
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：∵测试成绩X服从正态分布N（45，32），
∴P（36＜X＜54）＝99.7%，
∴P（X＞54）＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5．（5分）已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（　　）
A．0.63 B．0.24 C．0.87 D．0.21
【分析】先阅读题意，再结合条件概率及独立事件求解即可．
【解答】解：由甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，
则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是0.7×0.9+0.3×0.8＝0.87，
故选：C．
【点评】本题考查了条件概率及独立事件，属基础题．
6．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AB＝BC，AC＝，AA1＝，点E为A1C1的中点，点F在BC的延长线上且＝，则异面直线BE与C1F所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先作平行线，作出异面直线BE与C1F所成角的平面角为∠DC1F（或其补角），再利用余弦定理求解即可．
【解答】
解：过点B作BD∥EC1，且BD＝EC1，
连接DC1，DF，则DC1∥BE，
则异面直线BE与C1F所成角的平面角为∠DC1F（或其补角），
又在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AB＝BC，AC＝，AA1＝，点E为A1C1的中点，点F在BC的延长线上且＝，
则C1D＝2，，DF＝，
在△DFC1中，由余弦定理可得，
故选：D．

【点评】本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线平面角的作法，属基础题．
7．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为（　　）

A． B． C． D．
【分析】用表示出，计算，开方得出AO的长度．
【解答】解：∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴＝＝（）
∴＝+＝++＝++，
∵∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，
∴＝＝4，＝9，＝0，＝＝3×2×cos60°＝3，
∴＝（）2＝（+++2+2+2）＝，
∴||＝，即AO＝．
故选：A．

【点评】本题考查了空间向量在求空间距离中的应用，属于中档题．
8．（5分）西部某县教委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有（　　）
A．36种 B．68种 C．104种 D．110种
【分析】由题意，分组的方案有3、4和2、5两类，计算不同的选派方案，即可得出结论．
【解答】解：分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有（C73﹣1）A22＝68种；
第二类有（C72﹣C32）A22＝36种，
所以共有N＝68+36＝104种不同的方案．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（多选）9．（5分）2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
售价x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
根据表中数据得到y关于x的回归直线方程ŷ＝﹣3.2x+，则下列说法正确的有（　　）
A．＝40
B．回归直线过点（10，8）
C．当x＝8.5时，y的估计值为12.8
D．点（10.5，6）处的随机误差为0.4
【分析】根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回归方程，即可依次求解．
【解答】解：由表中数据可得，，，
故回归直线过点（10，8），故B正确，
∵y关于x的回归直线方程ŷ＝﹣3.2x+，
∴，解得，故A正确，
，
当x＝8.5时，，故C正确，
当x＝10.5时，，6﹣6.4＝﹣0.4，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
（多选）10．（5分）若（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则下列结论中正确的是（　　）
A．a0＝1 B．a1+a2+a3+a4+a5＝2
C．a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝35 D．a0﹣|a1|+a2﹣|a3|+a4﹣|a5|＝﹣1
【分析】利用赋值法解决问题．
【解答】解：令x＝0，有1＝a0，故A选项正确；
令x＝1，有（1﹣2）5＝a0+a1+a2+a3+a4+a5＝﹣1，∴a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2，故B选项错误；
令x＝﹣1，有（1+2）5＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝35，故C选项正确；
又a0﹣|a1|+a2﹣|a3|+a4﹣|a5|＝a0+a2+a4+a1+a3+a5＝﹣1，故D选项正确；
故选：ACD．
【点评】本题主要考查二项式定理中的赋值法求系数的应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是（　　）
A．从中任取3个球，恰有1个白球的概率为
B．从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为
C．从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到的是红球条件下，第二次再次取到红球的概率为
D．从中不放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有一次取到红球的概率为
【分析】由条件概率及独立事件同时发生的概率公式逐一求解判断即可．
【解答】解：对于选项A，从中任取3个球，恰有1个白球的概率为，即选项A正确；
对于选项B，从中有放回地取球6次，每次任取1个球，
恰好有2个白球的概率为＝，即选项B错误；
对于选项C，从中不放回地取球2次，每次任取1个球，
则在第一次取到的是红球条件下，第二次再次取到红球的概率为＝，即选项C正确；
对于选项D，从中不放回地取球3次，每次任取1个球，
则至少有一次取到红球为必然事件，其概率为1，即选项D错误，
故选：AC．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查古典概型、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式、必然事件的概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）12．（5分）已知图1中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把△ABF，△BCG，△CDH，△DAE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则（　　）


A．△AEF是正三角形
B．平面AEF⊥平面CGH
C．直线CG与平面AEF所成角的正切值为
D．当AB＝2时，多面体ABCD﹣EFGH的体积为
【分析】利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理，确定出了三条两两垂直的直线，再结合平面几何知识确定线段的长度，从而建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，将A，B，C中的立体几何问题转化为空间向量之间的关系进行求解，即可判断选项A，B，C，对于选项D，将多面体补成一个长方体，利用多面体和长方体体积之间的关系进行求解，即可判断选项D．
【解答】解：取CD，AB的中点O，M，连结OH，OM，
在图1中，因为A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，
则，
因为O为CD的中点，
所以OH⊥CD，因为平面CDH⊥平面ABCD，平面CDH∩平面ABCD＝CD，
所以OH⊂平面CDH，
所以OH⊥平面ABCD，
在图1中，设正方形EFGH的边长为，可得四边形ABCD的边长为2a，
在图1中，△ADE和△ABF均为等腰直角三角形，可得∠BAF＝∠DAE＝45°，
所以∠BAD＝90°，故四边形ABCD是边长为2a的正方形，
因为O，M分别为CD，AB的中点，
则OC∥BM且OC＝BM，∠OCB＝90°，
所以四边形为矩形，所以OM⊥CD，
以O为坐标原点，OM，OC，OH所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（2a，﹣a，0），B（2a，a，0），C（0，a，0），D（0，﹣a，0），
E（a，﹣a，a），F（2a，0，a），G（a，a，a），H（0，0，a），
对于选项A，由空间中两点间的距离公式可得AE＝AF＝EF＝，
所以△AEF是正三角形，
故选项A正确；
对于选项B，，
设平面AEF的法向量为，
则由，
取z＝1，则，
，
设平面CGH的法向量为，
则有，
取z1＝﹣1，则，
所以，
所以平面AEF与平面CGH不垂直，
故选项B错误；
对于选项C，＝，
设直线CG与平面AEF所成的角为θ，则，
所以，
故，
故选项C正确；
对于选项D，以ABCD为底面，以OH为高将几何体ABCD﹣EFGH补成长方体ABCD﹣A1B1C1D1，
则E，F，G，H分别为A1D1，A1B1，B1C1，C1D1的中点，
因为AB＝2，即a＝1，则OH＝1，
长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V＝22×1＝4，
＝，
因此多面体ABCD﹣EFGH的体积为，
故选项D错误．
故选：AC．

【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的运用，涉及了面面垂直的判定、线面角的求解、多面体体积的求解，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，将立体几何问题转化为空间向量问题来研究，在求解多面体体积的时候经常使用“割补法”，属于难题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）﹣2+22﹣23+24﹣25+26﹣27＝　﹣2　．
【分析】直接根据组合数的性质以及二项式定理即可求解结论．
【解答】解：∵（1﹣2）7＝﹣2+22﹣23+24﹣25+26﹣27＝﹣1，
∴﹣2+22﹣23+24﹣25+26﹣27＝﹣1﹣1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了二项式定理的应用，是基础题目．
14．（5分）如图，P﹣ABCD是正四棱锥，ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，PA＝，则B1到平面PAD的距离为 　　．

【分析】以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论．
【解答】解：以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，
设平面PAD的法向量是，则
∵＝（0，2，0），＝（1，1，2）
∴由，可得
取z＝1得，
∵＝（﹣2，0，2），
∴B1到平面PAD的距离．

【点评】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
15．（5分）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有　96　种．（用数字作答）

【分析】根据题意，假设正五角星的区域依次为A、B、C、D、E、F，依次分析6个区域的涂色方案数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，假设正五角星的区域依次为A、B、C、D、E、F，
区域A，可以涂红、黄、蓝三种颜色，有3种选择，
剩下的5个区域都与A相邻，都有2种选择，
则有3×2×2×2×2×2＝96种涂色方法，
故答案为：96．

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
16．（5分）将字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母互不相同的概率为 　　；若共有k行字母相同，则得k分，则所得分数ξ的均值为 　　．
【分析】运用排列中的倍缩法求出6个字母的排列数，当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，分三列依次讨论6个字母的排列情况，进而求出概率；分数可能取值为0，1，3，进而求出分数为1和3的概率，然后通过分布列的性质求出分数为0的概率，最后求出均值．
【解答】解：当每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同时，第一列a，b，c三个字母全排列，有A种方法，第二列剩下的a，b，c三个字母的排列方法有种，
所以共有AA＝12种排列方法，
六个字母在3×2的表格中进行排列，共有种排列方法，
所以所求概率为；
由题意知，分数的可能取值为，，
所以所得分数的均值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了古典概型，离散型随机变量的期望，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（10分）为了调查某校高二学生是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样的方法从该校高二年级调查了55名学生，结果如表：

男
女
需要
20
10
不需要
10
15
（1）估计该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例（用分数表示）；
（2）能否有95%把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关？
【分析】（1）根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．
（2）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
【解答】解：（1）该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例的估计值为．
（2）∵≈3.911＞3.841，
∴有95%把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关．
【点评】本题主要考查独立性检验公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
18．（12分）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
（2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
（3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒．
【分析】（1）甲、乙两人必须跑中间两棒，甲和乙两个人本身有一个排列，余下的两个位置需要在6个人中选个排列
（2）甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，需要从甲和乙两个人中选出一个有C21种结果，需要在第一和第四棒中选一棒，有C21种结果，另外6个人要选三个在三个位置排列．
（3）首先甲和乙两个人在相邻的位置本身有A22种结果，其余6名同学选两人三个元素在三个位置排列共有C62A33种结果，根据计数原理得到结果．
【解答】解：（1）甲、乙两人必须跑中间两棒，甲和乙两个人本身有一个排列，
余下的两个位置需要在6个人中选2个排列
根据分步计数原理知道共有A22A62＝60
（2）甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，
需要从甲和乙两个人中选出一个有C21种结果，
需要在第一和第四棒中选一棒，有C21种结果，
另外6个人要选三个在三个位置排列，根据计数原理共有C21C21A63＝480
（3）∵甲、乙两名同学必须入选，而且必须跑相邻两棒
∴首先甲和乙两个人在相邻的位置本身有A22种结果，
其余6名同学选两人三个元素在三个位置排列共有C62A33种结果，
根据分步计数原理得到共有A22C62A33＝180，
【点评】本题考查的是排列、组合的实际应用问题，解题的关键认真分析题意，把实际问题转化为数学问题，进而进行分步、分类分析讨论，结合排列、组合公式进行计算．
19．（12分）已知E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC和CD的中点．
（1）求A1D与EF所成角的大小；
（2）求A1E与平面B1FB所成角的余弦值．

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果．
【解答】解：（1）以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2a，则A1（0，0，2a），D（0，2a，0），E（2a，a，0），F（a，2a，0），
所以，设A1D与EF所成角的大小为α，
则，
因为异面直线成角的范围是（0°，90°]，所以A1D与EF所成角的大小为60°．
（2）设平面B1FB的法向量为与平面B1FB所成角为．
因为B（2a，0，0），B1（2a，0，2a），所以，
所以，令x0＝2，得＝（2，1，0）为平面B1FB的一个法向量，又因为，
所以，
所以．

【点评】本题考查线面角及空间空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（12分）在全民抗击新冠肺炎疫情期间，南京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高二年级的两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：h），将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）已知该校高二年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高二年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；
（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为X，求X的分布列和均值．

【分析】（1）由频率分布直方图直接计算即可．
（2）甲班每天学习时间不足4小时的学生人数为2，设为A，B，乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为4，设为a，b，c，d，利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得．
【解答】解：（1）根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为600×（0.500+0.250+0.050）＝480．
（2）甲班每天学习时间不足4小时的学生人数为40×0.050＝2人，乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为40×0.100＝4人，
则X的所有可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝＝＝，
P（X＝1）＝＝＝，
P（X＝2）＝＝＝，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P



∴EX＝0×＝1．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查了离散型随机变量的分布列和方差，属于基础题．
21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1是菱形，平面ACC1A1⊥平面ABC，E，F分别是棱A1C1，BC的中点，G是棱CC1上一点，且＝2．
（1）证明：EF∥平面ABB1A1；
（2）从①三棱锥C1﹣ABC的体积为1；②CC1与底面ABC所成的角为60°；③异面直线BB与AE所成的角为30°，这三个条件中选择一个作为已知，求二面角A﹣EG﹣F的余弦值．

【分析】（1）取A1B1的中点M，连接ME，MB，易证四边形MEFB为平行四边形，从而有EF∥MB，故而得证；
（2）过点C1作C1O⊥AC于O，连接OB，由平面ACC1A1⊥平面ABC，推出C1O⊥平面ABC．选择条件①：先求得OC＝1，可证OB⊥AC，故以O为原点，OB、OC、OC1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，依次得平面ACC1A1和平面EFG的法向量与，再由，得解；选择条件②：易知∠C1CO＝60°，从而得OC＝1，接下来同①；选择条件③：易知∠A1AE＝30°，从而有∠C1CO＝60°，接下来同②中．
【解答】（1）证明：取A1B1的中点M，连接ME，MB，因为E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则ME∥B1C1∥BF，，
∴四边形MEFB为平行四边形，
∴EF∥MB，
∵EF⊄平面ABB1A1，MB⊂平面ABB1A1，
∴EF∥平面ABB1A1．

（2）解：在平面ACC1中过点C1作C1O⊥AC于O，连接OB，
∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1⋂平面ABC＝AC，
∴C1O⊥平面ABC，
选择条件①：
三棱锥C1﹣ABC的体积，∴，
在Rt△C1OC中，，
∴点O为AC的中点，∴OB⊥AC，
故以O为原点，OB、OC、OC1分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
∵OB⊥AC，平面ABC⋂平面ACC1A1＝AC，OB⊂平面ABC，
∴OB⊥平面ACC1A1，
∴平面ACC1A1即平面AEG的一个法向量为，
设平面EFG的法向量为，则，
令y＝1，则，，∴，
∴，
显然二面角A﹣EG﹣F为锐二面角，故二面角A﹣EG﹣F的余弦值为．
选择条件②：
∵C1C与底面所成的角为60°，∴∠C1CO＝60°，∴OC＝1，
∴点O为AC的中点，∴OB⊥AC，
故以O为原点，OB、OC、OC1分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
∵OB⊥AC，平面ABC⋂平面ACC1A1＝AC，OB⊂平面ABC，
∴OB⊥平面ACC1A1，
∴平面ACC1A1即平面AEG的一个法向量为，
设平面EFG的法向量为，则，
令y＝1，则，，∴，
∴，
显然二面角A﹣EG﹣F为锐二面角，故二面角A﹣EG﹣F的余弦值为．
选择条件③：
∵BB1∥AA1，
∴∠A1AE即为异面直线BB1与AE所成的角，即∠A1AE＝30°，
∵AA1＝2，A1E＝1，
∴∠AA1E＝60°，即∠C1CO＝60°，∴OC＝1，
故以O为原点，OB、OC、OC1分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
∵OB⊥AC，平面ABC⋂平面ACC1A1＝AC，OB⊂平面ABC，
∴OB⊥平面ACC1A1，
∴平面ACC1A1即平面AEG的一个法向量为，
设平面EFG的法向量为，则，
令y＝1，则，，∴，
∴，
显然二面角A﹣EG﹣F为锐二面角，故二面角A﹣EG﹣F的余弦值为．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，空间向量及其应用，二面角的计算等知识，属于中等题．
22．（12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%．武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：
垃圾量
X
[12.5，15.5）
[15.5，18.5）
[18.5，21.5）
[21.5，24.5）
[24.5，27.5）
[27.5，30.5）
[30.5，33.5]
频数
5
6
9
12
8
6
4
（1）通过频数分布表估算出这50个社区这一天垃圾量的平均值（精确到0.1）；
（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为（1）中的样本平均值，σ2近似为样本方差s2，经计算得s＝5.2．请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数．
（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设Y为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求Y的分布列与数学期望．
（参考数据：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9974）
【分析】（1）利用图表中的数据算平均数的方法可以直接计算出来；
（2）根据正态分布的规律，计算公式可以直接计算出结果；
（3）由题意可知Y可以取值1，2，3，4，再由超几何分布概率的计算方法分别计算出对应的概率，即可计算出结果．
【解答】解：（1）由频数分布表得：＝＝22.76≈22.8．
所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨．
（2）由（1）知μ＝22.8，∵s＝5.2，σ＝s＝5.2，
∴P（X＞28）＝P（X＞μ+σ）＝＝0.15865，
∵320×0.15865＝50.768≈51，
所以这320个社区中“超标”社区的个数为51．
（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，
所以Y的可能取值为1，2，3，4，
P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝＝，P（Y＝3）＝＝，P（Y＝4）＝＝，
所以Y的分布列为：
Y
1
2
3
4
P




∴E（Y）＝1×＝．
【点评】本题考查了平均数，正态分布的概率计算方法，数学期望，属于基础题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/8 13:04:05；用户：一；邮箱：orFmNt4wY2woThCHSPWeWvTp-oRM@weixin.jyeoo.com；学号：25716926