2021-2022学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷，文件包含2021-2022学年湖南师大附中高二下期中数学试卷docx、2021-2022学年湖南师大附中高二下期中数学试卷pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（5分）若集合A＝{x∈Z|ln（x﹣2）≤1}，则集合A的子集个数为（　　）
A．3 B．4 C．7 D．8
2．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝2i，则复数z在复平面内对应点所在象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）把函数y＝sin3x的图象向左平移，可以得到的函数为（　　）
A． B．
C．y＝cos3x D．y＝cos（3x+）
4．（5分）已知，则f（f（126））等于（　　）
A．log52 B． C．e D．1
5．（5分）已知向量，向量，则与的夹角大小为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝2AA'＝2AD，M、N分别是A'B'、D'C'的中点．则直线CN与DM是（　　）

A．相互垂直的相交直线 B．相互垂直的异面直线
C．相互不垂直的异面直线 D．夹角为60°的异面直线
7．（5分）已知，求＝（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）已知a，b为正实数，直线y＝x﹣2a与曲线y＝ln（x+b）相切，则的最小值是（　　）
A．8 B． C．6 D．
二、选择题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．若事件A与B互相独立，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则P（A|B）＝P（A）
B．在回归分析中，对一组给定的样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好
C．若随机变量ξ服从二项分布B（4，），则E（2ξ+3）＝5
D．设随机变量X服从正态分布N（0，1），则
（多选）10．（5分）以下四个命题错误的是（　　）
A．直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣3（m∈R）恒过定点（﹣5，﹣2）
B．圆x2+y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x﹣y+1＝0的距离都等于
C．若曲线C1：x2+y2+2x＝0与C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有四条公切线，则实数m的取值范围为m＞4
D．已知圆C：x2+y2＝2，P为直线上一动点，过点P向圆C引条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为
（多选）11．（5分）下列命题正确的是（　　）
A．“a＞1”是“”的充分不必要条件
B．命题“∃x∈[0，1]，x+a≤0”是假命题的实数a的取值范围为{a|a＞0}
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D．“关于x的不等式mx2+x+m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是
（多选）12．（5分）如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则以下结论正确的是（　　）

A．CP的最小值为
B．PD+PF的最小值为
C．当P在直线AE上运动时，三棱锥D﹣BPF的体积不变
D．三棱锥A﹣DCE的外接球表面积为3π
三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）已知函数为奇函数，则实数a＝　 　．
14．（5分）已知抛物线C：4x2+my＝0恰好经过圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为 　 　．
15．（5分）若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为 　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝|xex+1|，若关于x方程f2（x）﹣2tf（x）+2＝0（t∈R）有两个不同的零点，则实数t的取值范围为 　 　．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣11，a2＝﹣9，且Sn+1+Sn﹣1﹣2Sn＝2（n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．
18．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知bcos＝asinB．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＝6，△ABC的面积S＝2，D为BC的中点，求AD的长．
19．（12分）我国政府加大了对全民阅读的重视程度，推行全民阅读工作，全民阅读活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二800名学生（其中男生480名）按性别采用分层随机抽样的方法抽取200名学生进行调查，了解他们每天的阅读情况如表：

每天阅读时间低于1h
每天阅读时间不低于1h
总计
男生

60

女生
20


总计


200
（1）根据统计数据完成以上2×2列联表；
（2）依据（1）中的列联表，试根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校女生和男生在每天阅读时间方面存在差异？
（3）若从抽出的200名学生中按“每天阅读时间是否低于1h”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行读写测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天阅读时间不低于1h的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
附参考数据及公式：，其中n＝a+b+c+d．
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
20．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E，F分别为线段PB，BC上的动点．
（1）若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若BE＝BF，且平面AEF与平面PBC所成角的余弦值为，试确定点F的位置．

21．（12分）已知双曲线C1：，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），F为C2的焦点，过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2截得的弦长等于双曲线C1的实轴长．
（1）求抛物线C2的方程；
（2）过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．
22．（12分）设函数f（x）＝ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e＝2.718…为自然对数的底数）．

2021-2022学年湖南师大附中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（5分）若集合A＝{x∈Z|ln（x﹣2）≤1}，则集合A的子集个数为（　　）
A．3 B．4 C．7 D．8
【分析】求解对数不等式化简A，写出A的真子集，则答案可求．
【解答】解：由A＝{x∈Z|ln（x﹣2）≤1}＝{x∈Z|0＜x﹣2≤e}＝{x∈Z|2＜x≤e+2}＝{3，4}，
∴集合A的子集有∅，{3}，{4}，{3，4}，共4个．
故选：B．
【点评】本题考查子集与真子集，对数不等式的解法，是基础题．
2．（5分）已知复数z满足z（1+i）＝2i，则复数z在复平面内对应点所在象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵z（1+i）＝2i，
∴，
∴复数z在复平面内对应点（1，1）所在象限是第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（5分）把函数y＝sin3x的图象向左平移，可以得到的函数为（　　）
A． B．
C．y＝cos3x D．y＝cos（3x+）
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，得出结论．
【解答】解：把函数y＝sin3x的图象向左平移，可以得到的图象对应函数为y＝sin（3x+ ）＝cos3x，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．
4．（5分）已知，则f（f（126））等于（　　）
A．log52 B． C．e D．1
【分析】根据分段函数的解析式，先求出f（126）的值，再求f（f（126））的值．
【解答】解：∵，
∴f（126）＝log5（126﹣1）＝3，
∴f（f（126））＝f（3）＝e3﹣2＝e，
故选：C．
【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
5．（5分）已知向量，向量，则与的夹角大小为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】根据题意，设与的夹角为θ，由向量的坐标计算公式求出的坐标，进而求出||、||和•的值，由数量积的计算公式求出cosθ的值，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，
向量，，则＝﹣（﹣）＝（﹣1，﹣），
则||＝2，||＝2，•＝﹣2，
则cosθ＝＝﹣，
又由0°≤θ≤180°，则θ＝150°，
故选：D．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
6．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝2AA'＝2AD，M、N分别是A'B'、D'C'的中点．则直线CN与DM是（　　）

A．相互垂直的相交直线 B．相互垂直的异面直线
C．相互不垂直的异面直线 D．夹角为60°的异面直线
【分析】由线面垂直的判定定理证明CN⊥面MND，然后可得直线CN与DM为相互垂直的异面直线．
【解答】解：连接MN、ND，由AB＝2AA'＝2AD，M、N分别是A'B'、D'C'的中点，
可得CN⊥ND，又MN⊥面CND，
所以CN⊥MN，又MN∩ND＝N，所以CN⊥面MND，
因为DM⊂面MND，所以CN⊥DM，
即直线CN与DM为相互垂直的异面直线，
故选：B．

【点评】本题考查了空间直线的位置关系，重点考查了线面垂直的判定定理，属基础题．
7．（5分）已知，求＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】把已知条件根据诱导公式化简，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后代入即可求解．
【解答】解：sin（α+）＝sin[﹣（﹣α）]＝cos（﹣α）＝cos（α﹣）＝，
则cos（2α﹣）＝2cos2（α﹣）﹣1＝2×（）2﹣1＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
8．（5分）已知a，b为正实数，直线y＝x﹣2a与曲线y＝ln（x+b）相切，则的最小值是（　　）
A．8 B． C．6 D．
【分析】设切点为（m，n），求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，代入切点坐标，解方程可得n＝0，进而得到2a+b＝1，利用“乘1”法及基本不等式的应用即可得到所求最小值．
【解答】解：设切点为（m，n），
y＝ln（x+b）的导数为y′＝，
由题意可得＝1，
又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），
解得n＝0，m＝2a，
即有2a+b＝1，
则＝（）（2a+b）＝4++≥4+2＝8，
当且仅当＝，即b＝，a＝时等号成立，
所以的最小值为8．
故选：A．
【点评】本题主要考查最值的求法，注意基本不等式的应用，同时考查导数的运用：求切线的斜率，注意设出切点，考查运算能力，属于中档题．
二、选择题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
（多选）9．（5分）下列说法正确的是（　　）
A．若事件A与B互相独立，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，则P（A|B）＝P（A）
B．在回归分析中，对一组给定的样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好
C．若随机变量ξ服从二项分布B（4，），则E（2ξ+3）＝5
D．设随机变量X服从正态分布N（0，1），则
【分析】根据条件概率和事件的独立性即可判断选项A，残差定义可判断选项B，二项分布的数学期望的公式可判断选项C，正态分布可判断选项D．
【解答】解：若事件A与B互相独立，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，
可得P（AB）＝P（A）⋅P（B），则，故A正确；
在回归分析中，对一组给定的样本数据（x1，y1），（x2，y2），⋯，（xn，yn）而言，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；
反之，则模型的拟合效果越好，故B正确：
若随机变量服从二项分布，则E（ξ）＝1，
E（2ξ+3）＝2E（ξ）+3＝5，故C正确；
随机变量X服从正态分布N（0，1）．
可得μ＝0，σ2＝1，则，故D错误；
故选：ABC．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列于期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）以下四个命题错误的是（　　）
A．直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣3（m∈R）恒过定点（﹣5，﹣2）
B．圆x2+y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x﹣y+1＝0的距离都等于
C．若曲线C1：x2+y2+2x＝0与C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有四条公切线，则实数m的取值范围为m＞4
D．已知圆C：x2+y2＝2，P为直线上一动点，过点P向圆C引条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为
【分析】对于A，整理直线方程，可化为m（x+2y﹣1）+3﹣x﹣y＝0，当x+2y﹣1＝0且3﹣x﹣y＝0时，无论m取何值，方程恒成立，解方程组即可解得定点，即可判断正误；对于B，求出圆心（0，0）到直线l：x﹣y+1＝0的距离，结合圆的半径，得出到直线x﹣y+1＝0距离为的两条直线与圆的位置关系，即可得出结论；对于C，根据两圆有四条公切线，所以两圆相离，即圆心距大于半径之和，解出m的范围即可判断；对于D，当P为圆心到直线垂线与直线交点时，切线PA最短，根据勾股定理求出即可判断正误．
【解答】解：对于A，因为直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣3（m∈R），
即m（x+2y﹣1）﹣x﹣y+3＝0，
令，解得
即直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣3（m∈R）恒过定点（5，﹣2），故A错误；
对于B，因为圆x2+y2＝2的圆心是（0，0），半径为，
则圆心到直线l：x﹣y+1＝0的距离为，
故圆x2+y2＝2上有且仅有3个点到直线l：x﹣y+1＝0的距离都等于，故B正确；
∴圆心为（﹣1，0），半径为1，
曲线，即（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20﹣m，
∴圆心为（2，4），半径为，
若两圆恰有四条公切线，则两圆相离，则，
解得20＞m＝4，故C错误；
对于D，因为，
故当CP最小时，PA最小，
又CP最小值为圆心C到直线的距离，即，
故PA的最小值为2，故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题的真假判定，考查学生的推理运算能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）下列命题正确的是（　　）
A．“a＞1”是“”的充分不必要条件
B．命题“∃x∈[0，1]，x+a≤0”是假命题的实数a的取值范围为{a|a＞0}
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D．“关于x的不等式mx2+x+m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是
【分析】求得不等式的解集判断选项A；求得实数a的取值范围判断选项B；举反例否定选项C；求得使不等式mx2+x+m＞0在R上恒成立的m的取值范围判断选项D．
【解答】解：对于A，或a＞1，故A正确；
对于B，命题“∃x∈[0，1]，x+a≤0”是假命题⇔∀x∈[0，1]，x+a＞0垣成立⇔∀x∈[0，1]，a＞﹣x⇔a＞0，故B正确；
对于C，由“x≥2且y≥2”，可得“x2+y2≥4”成立．故C错；
对于D，当m＝0时，x＞0，与条件矛盾；
当m≠0时，则有⇒m＞，故D对．
故选：ABD．
【点评】本题考查命题的判定，考查学生的推理能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则以下结论正确的是（　　）

A．CP的最小值为
B．PD+PF的最小值为
C．当P在直线AE上运动时，三棱锥D﹣BPF的体积不变
D．三棱锥A﹣DCE的外接球表面积为3π
【分析】由题可知CP＝，可判断A；将△ADE翻折到与平面ABFE共面，即可判断B；根据条件可知△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，可判断C；由正方体的性质可判断D．
【解答】解：对于A，连接DP，CP，因为CD⊥DE，CD⊥AD，AD∩DE＝D，
所以CD⊥平面ADE，由DP⊂平面ADE，所以CD⊥DP，
DP的最小值为AE＝，
所以CP＝＝≥＝，故A错误；

对于B，如图，将△ADE翻折到与平面ABFE共面，
则当D、P、F三点共线时，PD+PF取得最小值，∠DEF＝135°，
此时PD+PF＝DF＝＝，故B错误；

对于C，P在直线AE上运动时，△PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，故三棱锥D﹣BPF的体积不变，故C正确；
对于D，将该几何体补成正方体，则外接球半径为，外接球表面积为4π（）2＝3π，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查立体几何中的最值问题，锥体体积的计算，锥体的外接球问题等知识，属于中档题．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）已知函数为奇函数，则实数a＝　12　．
【分析】利用奇函数的性质列方程去求实数a的值．
【解答】解：依题意知为奇函数，
∴g（﹣1）+g（1）＝0，
即，
∴a＝12，经检验符合题意，
故答案为：12．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的性质，属于基础题．
14．（5分）已知抛物线C：4x2+my＝0恰好经过圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为 　　．
【分析】求出圆的圆心坐标，代入抛物线方程，求出m，然后求解焦点坐标．
【解答】解：圆M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的圆心（1，2），
代入抛物线方程可得：4+2m＝0，解得m＝﹣2，
所以抛物线C：x2＝，焦点坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，圆的方程的应用，是中档题．
15．（5分）若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为 　　．
【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），设M（x，y），分别写出直线PA与直线QB的方程，结合P（x0，y0）在双曲线上，可得M的轨迹方程，进一步求得其离心率．
【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），
设M（x，y），又A（﹣2，0），B（2，0），
∴直线PA的方程为y＝，①
直线QB的方程为y＝，②
由①得，，由②得，，
两式相乘可得，
又P（x0，y0）在双曲线上，
∴，得，
∴，即，其离心率e＝．
故答案为：．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
16．（5分）已知函数f（x）＝|xex+1|，若关于x方程f2（x）﹣2tf（x）+2＝0（t∈R）有两个不同的零点，则实数t的取值范围为 　（，）　．
【分析】作出g（x）与f（x）的图像，f（﹣1）＝1，令k＝f（x）（k＞0），则方程f2（x）﹣2tf（x）+2＝0（t∈R）为2t＝＝k+，令g（k）＝k+，作出g（k）的图像，结合图形，即可得出答案．
【解答】解：令g（x）＝xex+1，
g′（x）＝ex+1+xex+1＝（1+x）ex+1，
所以在（﹣1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
在（﹣∞，﹣1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）min＝g（﹣1）＝﹣e﹣1+1＝﹣1，
又g（0）＝0，
所以作出g（x）与f（x）的图像如下：

f（﹣1）＝1，
令k＝f（x）（k＞0），则方程f2（x）﹣2tf（x）+2＝0（t∈R）为k2﹣2tk+2＝0（t∈R），
则2t＝＝k+，
令g（k）＝k+，作出g（k）的图像：

当0＜2t＜2，即0＜t＜时，y＝2t与g（k）＝k+没有交点，
所以方程2t＝k+无根，则k＝f（x）（k＞0）无解，不合题意．
当2t＝2，即t＝时，y＝2t与g（k）＝k+有1个交点，
所以方程2t＝k+有1个根为k＝，则k＝f（x）（k＞0）有1个解，不合题意．
当2t＞2，即t＞时，y＝2t与g（k）＝k+有2个交点，
所以方程2t＝k+有2个根为0＜k1＜，k2＞，
若k1＝1时，则k1＝f（x）（k＞0）有2个解，k2＝f（x）（k＞0）有1个解，
所以k＝f（x）有3个解，不合题意．
若0＜k1＜1时，则k1＝f（x）（k＞0）有3个解，k2＝f（x）（k＞0）有1个解，
所以k＝f（x）有4个解，不合题意．
若k1＞1时，则k1＝f（x）（k＞0）有1个解，k2＝f（x）（k＞0）有1个解，
所以k＝f（x）有2个解，合题意．
2t＜g（1）＝3，且2t＝g（）＝+＝2，
所以＜t＜，
综上所述，t的取值范围为（，）．
故答案为：（，）．
【点评】本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣11，a2＝﹣9，且Sn+1+Sn﹣1﹣2Sn＝2（n≥2）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．
【分析】（1）利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和，进一步利用不等式的应用求出n的最大值．
【解答】解：（1）由题意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，
解得an+1﹣an＝2（n≥2），
又a2﹣a1＝2，
所以{an}是公差为2的等差数列，
则an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；
（2）由题知，
则，
由Tn＞0得，
解得，
所以n的最大值为5．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18．（12分）△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知bcos＝asinB．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a＝6，△ABC的面积S＝2，D为BC的中点，求AD的长．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，二倍角公式化简已知等式，结合sinB≠0，cos≠0，可求sin＝，即可得解A的值．
（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公式可求bc＝8，由余弦定理可得b2+c2＝44，由题意可得2＝+，两边平方，利用平面向量数量积的运算即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理及条件得sinBcos＝sinAsinB，
因为B∈（0，π），sinB≠0，
所以cos＝sinA＝2sincos，
又A∈（0，π），cos≠0，
所以sin＝，
从而A＝．
（Ⅱ）因为A＝，a＝6，
所以由△ABC的面积S＝2＝bcsinA＝bc，可得bc＝8，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得：36＝b2+c2﹣bc＝b2+c2﹣8，可得b2+c2＝36+8＝44，
因为D为BC的中点，2＝+，两边平方，可得：
4||2＝||2+||2+2•＝c2+b2+2bccosA＝44+2×8×＝52，
解得||＝，即AD的长为．

【点评】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，三角形的面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（12分）我国政府加大了对全民阅读的重视程度，推行全民阅读工作，全民阅读活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二800名学生（其中男生480名）按性别采用分层随机抽样的方法抽取200名学生进行调查，了解他们每天的阅读情况如表：

每天阅读时间低于1h
每天阅读时间不低于1h
总计
男生

60

女生
20


总计


200
（1）根据统计数据完成以上2×2列联表；
（2）依据（1）中的列联表，试根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校女生和男生在每天阅读时间方面存在差异？
（3）若从抽出的200名学生中按“每天阅读时间是否低于1h”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行读写测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天阅读时间不低于1h的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．
附参考数据及公式：，其中n＝a+b+c+d．
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）根据高二有800名学生（其中男生480名），得到抽取200名学生中，男生数和女生数，结合原有数据完成2×2列联表；
（2）由（1）求得K2，与临界值表对照下结论；
（3）根据200名学生中“每天阅读时间是否低于1h”的人数为120人，得到抽取10名学生“每天阅读时间是否低于1h”的人数为6人，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求得其相应概率，列出分布列，再求期望．
【解答】解：（1）高二有800名学生（其中男生480名），则抽取200名学生中，男生有名，女生有80名，
2×2列联表如下：

每天阅读时间低于1h
每天阅读时间不低于1h
总计
男生
60
60
120
女生
20
60
80
总计
80
120
200
（2）由（1）知：，
所以能推断该校女生和男生在每天阅读时间方面存在差异；
（3）200名学生中“每天阅读时间是否低于1h”的人数为120人，因此抽取10名学生“每天阅读时间是否低于1h”的人数为6人，
而X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




数学期望．
【点评】本题考查了独立性检验和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
20．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E，F分别为线段PB，BC上的动点．
（1）若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若BE＝BF，且平面AEF与平面PBC所成角的余弦值为，试确定点F的位置．

【分析】（1）可证BC⊥平面PAB，从而BC⊥AE，AE⊥PB，AE⊥平面PBC，进而可证平面AEF⊥平面PBC；
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，＝λ，求平面AEF与平面PBC的法向量，利用向量法求λ的值，可知定点F的位置．
【解答】（1）证明：由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BC，又在正方形ABCD中，BC⊥AB，
且PA∩AB＝A，则BC⊥平面PAB，有BC⊥AE，
由PA＝AB，E为线段PB的中点，可得AE⊥PB，
又PB∩BC＝B，则AE⊥平面PBC，从而平面AEF⊥平面PBC；
（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB＝1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
由（1）可知＝（，0，）为平面PBC的法向量，
由BE＝BF，可知EF∥PC，设＝λ，＝λ，则＝λ（0，1，0），＝λ（﹣1，0，1），
可得＝+＝（1，λ，0），＝+＝（1﹣λ，0，λ），
设平面AEF的一个法向量为＝（x，y，z），
则，即，令y＝1，则x＝﹣λ，z＝1﹣λ，
∴平面AEF的一个法向量为＝（﹣λ，1，1﹣λ），
∴|cos＜，＞|＝＝＝，
解得λ＝或λ＝，即F为BC的三等分点处．
【点评】本题考查面面垂直的证明，以及利用面面角确定点的位置，属中档题．
21．（12分）已知双曲线C1：，抛物线C2：y2＝2px（p＞0），F为C2的焦点，过F垂直于x轴的直线l被抛物线C2截得的弦长等于双曲线C1的实轴长．
（1）求抛物线C2的方程；
（2）过焦点F作互相垂直的两条直线，与抛物线C2分别相交于点A、B和C、D，点P、Q分别为AB、CD的中点，求△FPQ面积的最小值．
【分析】（1）由题设有直线l为，联立抛物线求相交弦长有2p＝8，即可写出抛物线方程．
（2）由题意，可设直线AB为y＝k（x﹣2）且k≠0，联立抛物线应用韦达定理求P、Q坐标，再由两点距离公式求|QF|、|PF|进而得到S△FPQ关于k的表达式，结合基本不等式求最小值，注意等号成立条件．
【解答】解：（1）由题意，双曲线实轴长2a＝8，直线l方程为，
由，得y＝|p|，则过F垂直于x轴的直线被抛物线C2截得的弦长为2p，
所以2p＝8，故抛物线C2的方程为y2＝8x；
（2）因为F（2，0），若直线AB、CD分别与两坐标轴垂直，则其中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意；
所以，直线AB，CD的斜率均存在且不为0，
设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线AB的方程为y＝k（x﹣2），
联立，得ky2﹣8y﹣16k＝0，则Δ＝61+64k2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
设P（xP，yP），则，则，
即，
同理得Q（4k2+2，﹣4k），
故，
又PF⊥QF，
所以，
当且仅当，即k＝±1时等号成立，故△FPQ面积的最小值为16．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
22．（12分）设函数f（x）＝ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x在区间（1，+∞）内恒成立（e＝2.718…为自然对数的底数）．
【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；
（Ⅱ）令g（x）＝﹣e1﹣x，s（x）＝ex﹣1﹣x，根据条件可知，当f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立时，必有a＞0，然后分0＜a＜，和a≥两种情况求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，f′（x）＝2ax﹣＝，x＞0，
①当a≤0时，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．
②当a＞0时，f′（x）＝，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令g（x）＝﹣e1﹣x，s（x）＝ex﹣1﹣x，
则s′（x）＝ex﹣1﹣1，而当x＞1时，s′（x）＞0，所以s（x）在（1，+∞）内单调递增，
又由s（1）＝0，有s（x）＞0，从而当x＞1时，g（x）＞0，
当a≤0，x＞1时，f（x）＝a（x2﹣1）﹣lnx＜0，
故当f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立时，必有a＞0，
又由已知可得：a（x2﹣1）﹣lnx﹣+e1﹣x＞0，
记左侧为函数m（x），其导函数为m'（x）＝2ax﹣+﹣e1﹣x，
注意到m（1）＝0，于是可以分析端点x＝1处的导函数值m′（1）＝2a﹣1，得到分界点a＝，
在以下讨论中，默认x的范围是（1，+∞），
当0时，＞1，
由（Ⅰ）有f（）＜f（1）＝0，而g（）＞0，所以此时f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内不恒成立，
当a时，令h（x）＝f（x）﹣g（x），（x≥1），
当x＞1时，h′（x）＝2ax﹣+﹣e1﹣x＞x﹣+﹣＝＞＞0，
因此，h（x）在区间（1，+∞）内单调递增，
又因为h（1）＝0，所以当x＞1时，h（x）＝f（x）﹣g（x）＞0，即f（x）＞g（x）恒成立，
综上，a．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/4/8 13:03:55；用户：一；邮箱：orFmNt4wY2woThCHSPWeWvTp-oRM@weixin.jyeoo.com；学号：25716926