沪科版八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形15.3 等腰三角形教学课件ppt

教学目标

1.经历操作、思考、探究证明等腰三角形的有关定理的过程，进一步掌握证明的基本步骤和书写格式；

2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论；

3.能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题.

教学重难点

重点： 等腰三角形的性质定理及其证明.

难点：用文字证明几何命题及其辅助线的添加.

教学过程

知识回顾

1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

2.等腰三角形的相关概念

等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.

【师生活动】师生回顾等腰三角形的一些相关概念.

新课导入

【创设情境，课堂引入】

操作：画一个等腰三角形ABC，把边AB叠合到边AC上，这时点B与点C重合，得折痕AD，观察图形△ADB与△ADC有什么关系？图中哪些线段和角相等？AD与BC垂直吗？为什么？

思考：（1）△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

（2）△ADB 与△ADC 有什么关系？图中有哪些线段或角相等？AD与BC垂直吗？为什么？

新课讲解

1.等腰三角形的性质

【学生活动】根据折叠找出重合的线段，重合的角，填入表格.

【教师】通过对折，我们发现了这些重合的量，那么通过这个对折，我们能不能发现等腰三角形的性质呢？提出本节课要解决的问题.

【教师提问】等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴.

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.

等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴就是刚刚对折的折痕.

【教师】在对折中，我们发现，在等腰三角形中，两个底角是相等的，即∠B ＝∠C.这就是等腰三角形的性质之一：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.

【教师提问】顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

【教师】针对这个问题，同学们利用量角器，在纸板上画出顶角的角平分线吧.之后，沿着所画的角平分线对折纸板，你们发现了什么？

【学生活动】先动手操作，独立思考，再与同伴交流，发表自己的见解.

【师生归纳】我们沿着角平分线对折，等腰三角形能够完全重合，这说明，顶角平分线是等腰三角形的对称轴.

【教师提问】底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在直线呢？

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流

底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.底边上的高所在的直线是等腰三角形的对称轴.

【教师】将问题结合，我们就得到了等腰三角形的第二个性质：

等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边.(等腰三角形三线合一)

【教师提问】怎样证明这一条性质？

【教师活动】利用等腰三角形的模型引导学生说出证明思路，即要想证明∠B＝∠C，只需要证明两角所在的三角形全等，引导学生作辅助线.

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流，写出证明过程.

已知： 如图，在△ABC 中，AB＝AC.

求证：∠B＝ ∠C.

方法一：作底边上的中线

证明：取BC的中点D，连接AD，则BD＝CD.

在△BAD和△CAD中，

∴  △BAD≌△CAD （SSS）.

∴  ∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等).

方法二：作顶角的平分线

证明：作顶角的平分线AD，

则∠BAD＝∠CAD.

在△ABD和△ACD中,

∴  △BAD≌△CAD （SSS）.

∴  ∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等).

归纳

定理1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.

【教师提问】等腰三角形的性质有哪些？

想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B＝ ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？                                                                                                                                      

【学生活动】根据全等三角形的性质，得出相等的线段和相等的角，用数学语言表述所发现的规律，并进行证明.

解：∵ △BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD＝CD,∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD.

又∵  ∠ADB+∠ADC＝180°，

∴  ∠ADB＝∠ADC＝  90° ，

即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .                                                                                                                          

归纳：

定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高“三线合一”.

【学生总结】(学生总结，老师点评)

1.等腰三角形是轴对称图形.

2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.

3.等腰三角形的两个底角相等.

典型例题

例1　已知：如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,点D,E是底边上两点,且BD＝AD,CE＝AE.求∠DAE的度数.

解：∵ AB＝AC,(已知)

∴ ∠B＝∠C.(等边对等角)

∴ ∠B＝∠C＝ ×(180°-120°)＝30°.

又∵ BD＝AD,(已知)

∴ ∠BAD＝∠B＝30°.(等边对等角)

同理,∠CAE＝∠C＝30°，

∴ ∠DAE＝∠BAC-∠BAD-∠CAE＝120°-30°-30°＝60°.

【教师活动】分析例1，剖析推理方法及其依据，提出讨论问题，引导学生思考，巡视学生做题情况，及时纠正.

【学生活动】参考老师的分析，尝试解答，小组交流解题过程.

2.等边三角形的性质

【教师】在等腰三角形中，还有一类更特殊的三角形：等边三角形.

结合刚刚等腰三角形的性质的分析，我们来看一下等边三角形的性质.

【教师提问1】 等边三角形的三个内角之间有什么关系？

结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流，写出证明过程

已知：AB＝AC＝BC ，    

求证：∠A＝∠B＝∠C＝ 60°.

证明： ∵ AB＝AC.

∴ ∠B＝∠C .(等边对等角)

同理 ∠A＝∠C .

∴ ∠A＝∠B＝∠C.

∵  ∠A+∠B+∠C＝180°,

∴  ∠A＝ ∠B＝ ∠C＝60 °.

【教师提问】由于等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形肯定也是轴对称图形，那它的对称轴有几条呢？

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.

等边三角形有三条对称轴.

【教师提问】根据等腰三角形所具有的三线合一的性质，可以得到等边三角形的什么性质？

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流.

同样的，等腰三角形所具有的三线合一的性质，等边三角形也具有，并且对于三条边来说，都具有这一性质.同时，它的三个角都是相等的，为60°.

【教师活动】我们将等边三角形的性质总结如下：

等边三角形是轴对称图形,等边三角形共有三条对称轴.

等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.

等边三角形的各角都相等，都等于60°.

典型例题

例2　如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数.

解：∵ △ABC是等边三角形，

∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°.

∵ ∠ABE＝40°，

∴ ∠EBC＝∠ABC－∠ABE  ＝60°－40°＝20°.

∵ BE＝DE，

∴ ∠D＝∠EBC＝20°，

∴ ∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.

【教师活动】分析例2，剖析推理方法及其依据，提出讨论问题，引导学生思考，巡视学生做题情况，及时纠正.

【学生活动】参考老师的分析，尝试解答，小组交流解题过程.

典型例题

例3  已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.

(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；

(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.

证明：（1）如图①，过A作AG⊥BC于G.

∵ AB＝AC，AD＝AE，

∴ BG＝CG，DG＝EG，

∴ BG－DG＝CG－EG，

∴ BD＝CE.

（2）∵ BD＝CE，F为DE的中点，

∴ BD＋DF＝CE＋EF，

∴ BF＝CF.

∵ AB＝AC，∴ AF⊥BC.

【互动总结】(学生总结，老师点评)

在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.

课堂练习

1.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是(　 )

A.65°或50°B.80°或40°  C.65°或80°  D.50°或80°

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC，若∠1＝70°，则∠BAC的大小为（   ）

A.40°      B.30°      C.70°    D.50°

3.（1）等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为        ；

（2）等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为        ；

（3）等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为         .

4.在△ABC中， AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为_________.

5.如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数.

6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.

参考答案

1.A  2.A 

3.(1) 75°, 30°；(2) 72°,72°或36°,108°；(3) 30°，30°

4.70°或20°

5. 解： ∵ AB＝AD＝DC，∴  ∠B＝ ∠ADB，∠C＝ ∠DAC.

设 ∠C＝x，则 ∠DAC＝x,∠B＝ ∠ADB＝ ∠C+ ∠DAC＝2x，

在△ABC中， 根据三角形内角和定理，

得2x+x+26°+ x＝180°， 解得x＝38.5°.

∴  ∠C＝ x＝38.5°， ∠B＝2x＝77°.

6. 证明：∵ △ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB.

又∵ BD、CE为底角的平分线，

∴ ∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，

∴ ∠DBC＝∠ECB.

∵ ∠DBC＝∠F，∴ ∠ECB＝∠F，∴ EC∥DF.

课堂小结

布置作业

教材习题15.3第1,2,3题.

板书设计

第1课时　等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形是轴对称图形.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.

（3）等腰三角形的两个底角相等.

2.等边三角形的性质

(1)等边三角形是轴对称图形,等边三角形共有三条对称轴.

(2)等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴.

(3)等边三角形的各角都相等，都等于60°.

教学反思

教学反思

教学反思

教学反思

教学反思

教学反思