初中数学沪科版八年级上册15.3 等腰三角形教学课件ppt

教学目标

1.利用等腰三角形的性质进行相关的证明；

2.掌握判定两个直角三角形全等的“HL”定理，运用定理进行相关的证明.

教学重难点

重点： 等腰三角形、等边三角形的性质.

难点：等腰三角形、等边三角形的性质的应用.

教学过程

知识回顾

定理1：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.

定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高“三线合一”.

推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

【师生活动】师生回顾等腰三角形的性质定理及其推论.

新课导入

思考：

1.三角形全等的判定有哪些？

2.两个直角三角形全等的判定有哪些？

3.已知两边及其一边的对角分别相等，能否判定两个三角形全等？

【教师活动】以问题的形式导入新课，引导学生回顾知识，为本节课做铺垫.

典型例题

例1　如图，在△ABC中 ，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，     

求∠A和∠C的度数.

解：∵ AB＝AC，BD＝BC＝AD，（已知）

∴ ∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.（等边对等角）

设∠A＝x,则∠BDC＝ ∠A+ ∠ABD＝2x,（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵  ∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x,

∴ ∠A+∠ABC+∠C＝x+2x+2x＝180°，（三角形的内角和等于180°）

解方程，得x＝36°，

∴ ∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.

【教师活动】利用等腰三角形的模型引导学生说出证明思路，提示在三角形中求解角的度数，可利用三角形的内角和定理或者外角的性质.

【学生活动】先独立思考，再与同伴交流，写出证明过程.

【师生活动总结】在解题过程中应用方程思想，通过设未知数的方法求解.

典型例题

例2　求证：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.

已知：如图,在Rt△ABC 中和Rt△A′B′C′中,∠C＝ ∠C'＝90°，AB＝ A′B′,AC＝ A′C′.

求证：Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′.

证明：在平面内移动Rt△ABC和Rt△A′B′C′,使点A 和点A′、点C和点C′重合,点B和点B′在AC的两侧

∵ ∠BC B′＝90°+90°＝180°,(等式性质)

∴ B,C,B′三点在一条直线上.(平角的定义)

在△AB B′中

∵ AB＝AB′,(已知)

∴ ∠B＝∠B′(等边对等角)

在Rt△ABC和Rt△AB′C中

∵

∴ RtABC≌Rt△A′B′C′(AAS)

【教师活动】引导学生分析条件和结论，根据题意画出图形，把文字语言转化为几何语言，巡视学生做题过程，随时纠正错误.

【学生活动】根据老师的提示，写出已知、求证、小组讨论证明过程，一学生黑板板书，其余学生合作完成并交流做题过程.

典型例题

例3　已知，△ABC 是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°.

（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；

（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC.

分析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答；

（2）根据三角形的内角和和平角的定义以及平行线的判定解答.

解：（1）∵ △ABC是等边三角形，

∴ ∠B＝∠A＝∠C＝60°，

∵ ∠B+∠1+∠DEB＝180°,∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，

∵ ∠DEF＝60°，

∴ ∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，

∴ ∠2＝∠1＝50°；

（2）∵ ∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，

又∵ ∠B＝60°，∠DEF＝60°，∠1＝∠3，

∴ ∠FDE＝∠DEB，

∴ DF∥BC.

【教师活动】引导学生分析已知条件，(1)利用三角形的内角及直线的性质证明∠1与∠2的关系；(2)要证两条直线平行，可考虑根据内错角或者同位角的相等关系证明，利用三角形的内角和及已知条件转化.

【学生活动】根据老师的分析，小组讨论证明过程，两名学生黑板板书，其余学生合作完成并交流做题过程.

课堂练习

1.如图，在△ABC中，AB＝BC，D为AC上一点，且DA＝DB，CB＝CD，则∠DBC的度数是         .

2.如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接  AD，DF平分∠ADC交△ACB的外角∠ACE的平分线于F.

（1）求证：CF∥AB；

（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数.

3.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE是∠ABC的平分线，ED是AB边的垂直平分线.求∠A的度数.

4. 求证：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.

参考答案

1. 72°解析：∵  AB＝BC，AD＝BD，

∴  ∠A＝∠C＝∠ABD.

∵  BC＝CD，

∴  ∠CDB＝∠CBD.

∵  ∠CDB＝∠A+∠ABD＝2∠C，

∴  ∠C+2∠C+2∠C＝180°，

∴  ∠C＝36°，

∴  ∠DBC＝72°.

 2.（1）证明：∵  AC＝BC，∴ ∠ABC＝∠CAB，

∴ ∠ACE＝∠ABC+∠CAB＝2∠ABC.

∵ CF是∠ACE的平分线，∴ ∠ACE＝2∠FCE，

∴ 2∠ABC＝2∠FCE，∴ ∠ABC＝∠FCE，

∴ CF∥AB.

（2）解：∵  CF是∠ACE的平分线，

∴  ∠ACE＝2∠FCE＝∠ADC+∠DAC.

∵  DF平分∠ADC，∴  ∠ADC＝2∠FDC，

∴  2∠FCE＝∠ADC+∠DAC＝2∠FDC+∠DAC，

∴  2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC.

∵  ∠DFC＝∠FCE﹣∠FDC，

∴  2∠DFC＝2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC＝40°，

∴  ∠DFC＝20°.

 3. 解：∵  BE 是∠ABC的平分线，

∴  ∠CBE＝∠ABE，

∵  ED是AB边的垂直平分线，

∴  BE＝AE，∴  ∠EBD＝∠EAB，

设∠A＝x°，则∠CBE＝∠EBD＝∠A＝x°，

∵  ∠C＝90°，∴  ∠A+∠CBA＝90°，

即3x＝90°，解得x＝30°，

∴  ∠A＝30°.   

4.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE ⊥ AB,DF ⊥AC.

求证： DE＝DF.

证明： ∵  AB＝AC，∴  ∠ABC＝∠ACB，

∵  D为BC的中点, ∴  BD＝CD.

∵   DE ⊥ AB,DF ⊥AC, ∴  ∠DEB＝∠DFC，

∴  △EDB≌△FDC（AAS），

∴  DE＝DF.

课堂小结

布置作业

教材习题5.3第1,2,3，4题

板书设计

第2课时　等腰三角形的性质应用

1.等腰三角形的三线合一

2.文字证明题的证明步骤：
（1）根据题意写出已知和求证；

（2）画出符合题意的图形；

（3）根据已知、求证写出证明过程.

教学反思

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