数学八年级上册15.4 角的平分线教学ppt课件

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第15章  轴对称图形与等腰三角形15.4　角的平分线第1课时　角平分线的作法教学目标1.能够利用尺规法作一个角的平分线，并能证明它的正确性；2.能够运用尺规过一点作已知直线的垂线.教学重难点重点：会用尺规作已知角的平分线并证明它的正确性.难点：过一点作已知直线的垂线教学过程知识回顾1.角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线.新课导入问题：怎样作角平分线？方法一：折纸法 【教师提问】请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？【教师】折出如图所示的折痕AD.【教师提问】按照折纸的顺序画出一个角的一条折痕，思考∠CAD与∠BAD的大小关系？【学生活动】先独立思考，再与同伴交流，利用折纸的方法作出一个角的角平分线，边活动，边观察.【教师活动】课件演示用折纸法作一个角的平分线的过程.结论：（1）∠CAD＝∠BAD；（2）对折后的折痕是这个角的平分线；（3）角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.方法二：用量角器画一个角的平分线 【学生活动】先画一个角，量出它的度数，再求出它一半的度数，再用量角器以已知角的一边为边，画一半度数的角，再与同伴交流画图过程.【教师活动】对学生的画法作出肯定.想一想：如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？【教师】观察下面简易的平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线.你能说明它的道理吗？【学生】根据已知条件，分析思路，独立完成.证明：  在△ACD 和△ACB 中, AD＝AB,（已知）DC＝BC,（已知） CA＝CA,（公共边）∴  △ACD≌△ACB,（SSS）∴ ∠CAD＝∠CAB,（全等三角形的对应角相等） ∴ AC平分∠DAB.（角平分线的定义） 思考：根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）【教师】通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.【学生总结】(学生总结，老师点评)作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB于点M、点N.（2）分别以点M,N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部相交于点P.（3）画射线OP.射线OP 即为所求. 【教师提问】1.在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？  2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？【学生活动】先独立思考，再与同伴交流，得出结论.1.去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线.  2.若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.  3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制条件缺一不可.  4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.问题：  请你说明OP为什么是∠MON的平分线,并与同伴进行交流.【学生活动】根据作图，找出隐藏的三角形全等条件，写出证明过程，小组交流.证明：连接PM,PN，在△MOP 和△NOP 中, ∴  △MOP≌△NOP,（SSS）∴ ∠MOP＝∠NOP,（全等三角形的对应角相等） ∴ OP平分∠MON.（角平分线的定义） 思考；    当∠AOB 的两边成一条直线时，你会作这个角的平分线吗？这时的角平分线与AB是什么位置关系？ 【教师活动】提示学生平角是特殊的角，所以角平分线的作法不变，巡视学生作图，及时纠正不正确的作法.【学生活动】按照角平分线的作图，猜测OP与直线AB的位置关系，小组交流答案.答案：OP ⊥AB 思考：如何经过一点作已知直线的垂线？ 1.经过已知直线上一点作这条直线的垂线 已知：直线AB和AB上的一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法： 1.以点C为圆心，任意长为半径画弧，交直线于D,E 两点； 2.分别以点D,E 为圆心,大于 DE的长为半径画弧,两弧相交于点F； 3.作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.2.过一点作已知直线的垂线已知：直线AB和AB外的一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法： 1.任取一点K，使K和C在AB的两旁； 2.以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB与点D和E ； 3.分别以点D和E 为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F； 3.作直线CF.直线CF就是所求作的垂线. 思考：为什么作出的直线CF就是所求作的垂线？你能说明道理吗？ 证明：连接CD,CE,FD,FE.由作法知，CD＝CE， ∴ 点C在线段DE 的垂直平分线上.由作法知，FD＝FE， ∴ 点F在线段DE 的垂直平分线上， ∴ CF是线段DE的垂直平分线， 即直线CF垂直直线AB. 【教师活动】根据点与直线的位置关系，提示学生分情况讨论,当点在直线外时，提示学生作图方法并说明作图的依据.【学生活动】根据老师的提示，分组作出图形，小组内交流，并证明作出的直线就是已知直线的垂线.课堂练习1.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（     ） A.SSS   B.ASA   C.AAS    D.角平分线上的点到角两边的距离相等2.已知等腰三角形底边是a，底边上的高是b，求作：等腰三角形. 已知：线段a,b,如图.求作：△ABC,使底边BC＝a,BC边上的高AD＝b.  参考答案1. A2. 作法：（1）作线段BC＝a； （2）分别以点B,C为圆心,大于BC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N； （3）作直线MN交线段BC于点D； （4）以点D为圆心，以b为半径画弧，交直线MN于点A； （5）连接AB，AC，则△ABC为所求作的三角形. 课堂小结1.用尺规作图作一个已知角的平分线； 2.过一点作已知直线的垂线 布置作业教材习题5.5第1,2,3题板书设计第1课时　角平分线的作法角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.角平分线的作图；3. 过直线上（或直线外）一点作已知直线的垂线. 教学反思                                     教学反思                                              教学反思                                                    教学反思                                                 教学反思