初中数学沪科版八年级上册15.4 角的平分线教学课件ppt

教学目标

1.理解“三角形三个内角平分线相交于一点，这点到三条边的距离相等”.

2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.

教学重难点

重点： 三角形内角平分线的性质.

难点：利用三角形内角平分线的性质进行相关的证明.

教学过程

情景导入

在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？

探究新知

探究1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？

【教师】巡视学生作三角形角平分线的过程，引导学生发现问题并总结.

【学生】小组内一部分同学利用量角器画角平分线，一部分同学利用尺规作图画角平分线，交流作法并就发现的问题进行交流.

【师生互动】发现：三角形的三条角平分线相交于一点.

探究2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？

【教师】巡视学生作三角形三边垂线的过程，引导学生发现问题并总结.

【学生】小组内一部分同学利用量角器画垂线，一部分同学利用尺规作图过一点作已知直线的垂线，交流作法并发现的问题进行交流.

【师生互动】发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.

【教师】剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流.

【学生】动手剪纸片，按要求操作，小组交流发现的结论.

结论：三角形三个角的平分线相交于一点.

【教师】根据学生的作图和交流的结果，作出总结，总结三角形三条角平分线的性质，并用图示展示思路.

点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：

试试看，你会写出证明过程吗？

【学生】根据老师提供的思路，先在小组内交流证明方法，再独立完成证明过程，并说出每一步的推理依据.

【教师】参与学生的交流过程，巡视学生做题情况，及时总结，及时纠正.

已知：如图，△ABC中，∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线CF相交于点P，

求证：AP平分∠BAC.

证明：如图所示，过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PQ⊥AB, 垂足分别为M，N，Q.

∵ BE是∠ABC的平分线，点P在BE上，(已知)

∴ PQ＝PM.（角平分线上的点到角两边的距离相等）

同理PN＝PM.

∴ PN＝PQ.(等量代换)

∴ AP平分∠BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）

【教师】根据证明思考，并讨论所提的问题.

想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？

【师生互动】（学生总结，教师点评，师生互动得出结论）

结论：三角形内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.

典型例题

例1　如图,在△ABC中,已知AC＝BC, ∠C＝90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.

(1)如果CD＝4 cm,求AC的长；

(2)求证：AB＝AC+CD.

（1）解：∵  AD是△ABC的角平分线,

DE⊥AB,垂足为E，

∴  DE＝CD＝4 cm.

∵  AC＝BC,∴  ∠B＝∠BAC.

∵  ∠C＝90°,∴  ∠B＝45°.∴  BE＝DE.

在等腰直角三角形BDE中，

BD＝＝4cm.

∴ AC＝BC＝CD+BD＝（4+4）cm.

（2）证明：由（1）的求解过程易知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL).

∴ AC＝AE.

∵ BE＝DE＝CD,∴ AB＝AE+BE＝AC+CD.

【教师活动】分析思路：（1）根据角平分线的性质得出DE＝CD，由等腰三角形的性质及判定可得DB的长度，根据AC＝BC＝CD+BD求出结论；

（2）根据（1）条件先证Rt△ACD≌Rt△AED，再根据AB＝AE+BE得出结论.

【学生活动】由一名学生在黑板上板书，其余学生自己写出证明过程，再在小组内交流，根据老师的讲解更正答案.

典型例题

例2　如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,

(1)求点O到△ABC三边的距离和.

(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.

解：(1)过点O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别是点N,E.

∵ AP是∠BAC的角平分线，

∴ OE＝OM.（角平分线上的点到角两边的距离相等）

同理OE＝ON.

∴ OM＝ON＝OE.(等量代换)

∵ OM＝4,∴ OM+ON+OE＝12.

（2）连接OC，

＝AC·OM+BC·ON+AB·OE

＝AC+BC+AB)

＝×4×32

＝64.

【教师活动】分析条件，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得OM＝ON＝OE，从而得出结论；把△ABC的面积看作三个三角形面积的和求解.

【学生活动】写出证明过程，交流三角形面积的一种新的计算方法，小组进行交流.

【互动总结】三角形的面积等于三角形的周长与角平分线的交点到三边的距离积的一半.

典型例题

例3  如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)

A.110°      B.120°         C.130°          D.140°

解析：由已知，O到三角形三边的距离

相等，所以O是三条角平分线的交点，

即BO，CO都是角平分线，

所以有∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，

∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，

∴ ∠OBC＋∠OCB＝70°，

∴ ∠BOC＝180°－70°＝110°.

答案：A

【教师活动】若∠A换成50°，那么∠BOC的度数是多少？根据本题结论思考？∠BOC与∠A有什么关系？你能总结个一般性的规律吗？

【学生活动】根据∠A的度数计算∠BOC，交流计算结果，总结交流规律.

【互动总结】规律：三角形两个内角平分线相交所成的角的度数等于90°加第三个角度数的一半.

课堂练习

1.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB.下列确定P点的方法正确的是（      ）                                               

A.P为∠A，∠B两角平分线的交点

B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点

C.P为AC，AB两边上的高的交点

D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点

2. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ）

A.△ABC 的三条中线的交点

B.△ABC 三边的中垂线的交点

C.△ABC 三条角平分线的交点

D.△ABC 三条高所在直线的交点

3. 已知： OE平分∠AOB，P为OE上一点，PC⊥OA于C，且PC＝5，则P点到OB的距离为_____.

4.如图, △ABC中, ∠C＝90°, DE⊥AB, ∠CBE＝∠ABE, 且AC＝6cm, 那么线段BE是∠ABC的　              ，AE+DE＝       .

5.已知：如图,在直角三角形ACB中,∠ACB＝90°，∠B＝40°,AD平分∠CAB交BC于D点,DE⊥AB于E,则∠CAD＝________

6.已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD＝DF.

求证：CF＝EB.

参考答案

1.B　解析：∵ 点P到∠A的两边的距离相等，

∴ P在∠A的角平分线上，

∵ PA＝PB，∴ 点P在AB的垂直平分线上.

∴ P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点.

2.C

3.5

4.角平分线  6 cm

5.25°

6.证明：∵ AD平分∠CAB,DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,

∴ CD＝DE (角平分线的性质).

在Rt△CDF和Rt△EDB中,

 ∴  Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).

 ∴  CF＝EB（全等三角形的对应边相等）.

课堂小结

布置作业

教材习题15.4（3）第1,2题

板书设计

第3课时　三角形内角的平分线

1.三角形内角平分线的性质

2.三角形内角平分线的应用

例　如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,

(1)求点O到△ABC三边的距离和.

(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.

解：(1)过点O作ON⊥BC，OE⊥AB，垂足分别是点N,E.

∵ AP是∠BAC的角平分线，

∴ OE＝OM.（角平分线上的点到角两边的距离相等）

同理OE＝ON.

∴ OM＝ON＝OE.(等量代换)

∵ OM＝4,∴ OM+ON+OE＝12.

（2）连接OC，

＝AC·OM+BC·ON+AB·OE

＝AC+BC+AB)

＝×4×32

＝64.

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