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2023年辽宁省营口实验中学等学校中考数学一模试卷（含答案）
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这是一份2023年辽宁省营口实验中学等学校中考数学一模试卷（含答案），共28页。
A．﹣3B．3C．D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．8，7B．8，8C．8.5，8D．8.5，7
5．（3分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2﹣3a2＝﹣2a4B．﹣2b10÷b2＝2b5
C．（m+n）2＝m2+n2D．（﹣2x2）3＝﹣8x6
6．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k＜B．k＜且k≠0C．k≤D．k≤且k≠0
7．（3分）在一个不透明的袋中装有2个黄球、3个黑球和5个红球，它们除颜色不同外，其他都相同，现将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出1个球是红球的概率为，则后来放入袋中红球的个数是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．10个
8．（3分）如图⊙O的半径为3，AB是弦，点C为弧AB的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．B．3C．D．
9．（3分）如图Rt△DEF中，∠DEF＝90°，M是斜边DF的中点，将△DEF绕点F按顺时针方向旋转，点E落在EM延长线上的E处，点D落在D′处，若DE＝2，EF＝4．则EE′的长为（ ）
A．7.5B．6C．6.4D．6.5
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：
（1）b2﹣4ac＞0；
（2）2a＝b；
（3）点（﹣，y1）、（﹣，y2）、（，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3；
（4）3b+2c＜0；
（5）t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二.填空题（共6小题，满分18分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣8x+8＝ ．
12．（3分）某活动中，共募得捐款320万元，将320万用科学记数法表示为 ．
13．（3分）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 ．
14．（3分）如图，已知圆锥的高为，高所在的直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ．
15．（3分）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．
16．（3分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若△ABC的周长为9，则五边形DECHF的周长为 ．
三.解答题（共9小题，共102分）
17．（10分）先化简，再求值：（1+），其中x＝（）﹣1+3tan30°+|1﹣|﹣（3.14﹣π）0．
18．（10分）某校为了激发学生学习党史的热情，组织了全校学生参加党史知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整致，满分为100分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少名学生的成绩？
（2）请补全频数分布直方图及各组人数，并写出计算过程；
（3）该校共有2000名学生．若成绩95分以上（含95分）为一等奖，已知E组中95分以上（含95分）的人数占E组人数的，求全校获得一等奖的学生约有多少名？
19．（10分）将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．
（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？
（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．
20．（10分）2022年第24届冬季奥运会在北京举行，激起了青少年对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场高级雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B后到达终点P，其中AB＝300米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为20°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．
（结果精确到1米，参考数据：sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364）
21．（10分）如图，已知A（﹣3，），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求m的值及一次函数解析式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且，连接AC、BC，连接BD交AC于点E，延长BD到点F，使ED＝DF，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，BC＝2，求AF的长．
23．（12分）某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元．
（1）求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
（2）甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于2100元且不超过2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
24．（14分）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系 ，位置关系 ；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（0，﹣1），点P为线段BC上一动点，连接DP并延长交抛物线于点H，连结BH，当四边形ODHB的面积为时，求点H的坐标；
（3）已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以CQ为斜边作等腰直角三角形CEQ，请直接写出点E的坐标．
2023年辽宁省营口实验中学中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一.选择题（共10小题，满分30分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．﹣3B．3C．D．
【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．
故选：B．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
3．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
4．（3分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．8，7B．8，8C．8.5，8D．8.5，7
【解答】解：学生一周课外阅读时间的出现次数最多的是7小时，因此众数是7；
将40名学生的读书时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是8小时，因此中位数是8，
故选：A．
5．（3分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2﹣3a2＝﹣2a4B．﹣2b10÷b2＝2b5
C．（m+n）2＝m2+n2D．（﹣2x2）3＝﹣8x6
【解答】解：a2﹣3a2＝﹣2a2，故A错误，不符合题意；
﹣2b10÷b2＝﹣2b8，故B错误，不符合题意；
（m+n）2＝m2+2mn+n2，故C错误，不符合题意；
（﹣2x2）3＝﹣8x6，故D正确，符合题意；
故选：D．
6．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k＜B．k＜且k≠0C．k≤D．k≤且k≠0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4k×1＞0，
解得：k＜且k≠0，
故选：B．
7．（3分）在一个不透明的袋中装有2个黄球、3个黑球和5个红球，它们除颜色不同外，其他都相同，现将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出1个球是红球的概率为，则后来放入袋中红球的个数是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．10个
【解答】解：设后来放入袋中x个红球，根据题意得：，
解得x＝5，
经检验，x＝5是方程的解，且符合题意，
答：后来放入袋中的红球有5个．
故选：B．
8．（3分）如图⊙O的半径为3，AB是弦，点C为弧AB的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．B．3C．D．
【解答】解：连接OA、OC，OC与AB交于点D，
∵点C为 的中点，
∴OD⊥AB，AB＝2AD，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
在Rt△OAD中，，
∴．
故选：D．
9．（3分）如图Rt△DEF中，∠DEF＝90°，M是斜边DF的中点，将△DEF绕点F按顺时针方向旋转，点E落在EM延长线上的E处，点D落在D′处，若DE＝2，EF＝4．则EE′的长为（ ）
A．7.5B．6C．6.4D．6.5
【解答】解：过F作FH⊥EE′于H，
∵∠DEF＝90°，DE＝2，EF＝4，
∴DF＝＝＝10，
∵M是斜边DF的中点，
∴EM＝DF＝5，S△EFM＝S△DEF＝××＝EM•FH，
∴FH＝，
∴EH＝＝3.2，
∵将△DEF绕点F按顺时针方向旋转，点E落在EM延长线上的E处，
∴EF＝E′F，
∴EE′＝2EH＝6.4，
故选：C．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：
（1）b2﹣4ac＞0；
（2）2a＝b；
（3）点（﹣，y1）、（﹣，y2）、（，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3；
（4）3b+2c＜0；
（5）t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：（1）由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴（1）正确；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴2a＝b，
∴（2）正确；
（3）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，点（，y3）在抛物线上，
∴（﹣，y3）．
∵﹣＜﹣＜﹣，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，
∴y1＜y3＜y2．
∴（3）错误；
（4）∵当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，且b＝2a，
∴9a﹣3×2a+c＝3a+c＜0，
∴6a+2c＝3b+2c＜0，
∴（4）正确；
（5）∵b＝2a，
∴方程at2+bt+a＝0中Δ＝b2﹣4a•a＝0，
∴抛物线y＝at2+bt+a与x轴只有一个交点，
∵图中抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴y＝at2+bt+a≤0，
即at2+bt≤﹣a＝a﹣b．
∴（5）正确．
故选：C．
二.填空题（共6小题，满分18分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣8x+8＝ 2（x﹣2）2 ．
【解答】解：原式＝2（x2﹣4x+4）
＝2（x﹣2）2．
故答案为2（x﹣2）2．
12．（3分）某活动中，共募得捐款320万元，将320万用科学记数法表示为 3.2×106 ．
【解答】解：320万＝3200000＝3.2×106．
故答案为：3.2×106．
13．（3分）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 6≤a＜9 ．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：x≤，
∵不等式组有且只有3个整数解，
∴2≤＜3，
解得：6≤a＜9，
故答案为：6≤a＜9．
14．（3分）如图，已知圆锥的高为，高所在的直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 180° ．
【解答】解：设扇形圆心角为n，
∵OA＝2，∠OAB＝30°，
∴AB＝＝4，OB＝OA•tan30°＝2，
则圆锥的底面周长为：2×2×π＝4π，
∴圆锥侧面展开图扇形的弧长为4π，
∴＝4π，
解得：n＝180°，
故答案为：180°．
15．（3分）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．
【解答】解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图，
∵△ADE绕点A旋转，
∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，
∵AM+AN≥MN，
∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，
∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得，
在Rt△ADM中，由勾股定理得，
根据旋转的性质得，AM′＝AM＝，
∴M′N＝AN+AM′＝，即MN的最大值为．
故答案为：．
16．（3分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若△ABC的周长为9，则五边形DECHF的周长为 6 ．
【解答】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∵等边△ABC的周长为9，
∴等边△ABC的边长为3，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC
＝6．
故答案为：6．
三.解答题（共9小题，共102分）
17．（10分）先化简，再求值：（1+），其中x＝（）﹣1+3tan30°+|1﹣|﹣（3.14﹣π）0．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝x﹣1，
当x＝（）﹣1+3tan30°+|1﹣|﹣（3.14﹣π）0＝4++﹣1﹣1＝2+2时，原式＝2+2﹣1＝2+1．
18．（10分）某校为了激发学生学习党史的热情，组织了全校学生参加党史知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整致，满分为100分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少名学生的成绩？
（2）请补全频数分布直方图及各组人数，并写出计算过程；
（3）该校共有2000名学生．若成绩95分以上（含95分）为一等奖，已知E组中95分以上（含95分）的人数占E组人数的，求全校获得一等奖的学生约有多少名？
【解答】解：（1）30÷10%＝300（名），
答：抽取了300名学生的成绩；
（2）B组人数为300×20%＝60（名），C组人数为300×25%＝75（名），
E组人数为300﹣（30+60+75+90）＝45（名），
补全图形如下：
（3）45×÷300×2000＝60（名），
答：全校获得一等奖的学生约有60名．
19．（10分）将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．
（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？
（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．
【解答】解：（1）P（标号为奇数）＝；
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中所摸出的两个球上数字之和等于4（记为事件A）的有3种，
所以，P（A）＝．
20．（10分）2022年第24届冬季奥运会在北京举行，激起了青少年对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场高级雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B后到达终点P，其中AB＝300米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为20°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．
（结果精确到1米，参考数据：sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【解答】解：过点B作BE⊥AC于E，
则四边形DCEB为矩形，
∴DC＝BE，
在△ABE中，∠A＝20°，sinA＝，
则BE＝AB•sinA≈300×0.342＝102.6（米），
∴DC＝BE＝102.6米，
在Rt△PBD中，∠PBD＝30°，PB＝200米，
则PD＝PB＝100米，
∴PC＝PD+DC＝100+102.6≈203（米），
答：垂直高度PC约为203米．
21．（10分）如图，已知A（﹣3，），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求m的值及一次函数解析式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点（﹣3，），
∴n＝﹣3×＝﹣2，
∵点B（﹣1，m）也在该反比例函数的图象上，
∴﹣1•m＝﹣2，
∴m＝2；
把点A（﹣3，），B（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴×（x+3）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），
解得x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝x+＝，
∴P点坐标是（﹣2，）．
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且，连接AC、BC，连接BD交AC于点E，延长BD到点F，使ED＝DF，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，BC＝2，求AF的长．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠C＝90°，
∴AD⊥EF，
∵ED＝DF，
∴AF＝AE，
∴∠F＝∠AEF＝∠CEB，
∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠F+∠ABD＝∠CEB+∠CBD＝90°，
∴∠BAF＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AF⊥OA，
∴AF是⊙O的切线．
（2）解：∵∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，
∴AC＝＝＝4，
∵∠BAF＝∠C＝90°，∠ABF＝∠CBE，
∴△ABF∽△CBE，
∴＝＝＝3，
∴AF＝3CE，
∵AF＝AE，
∴AE＝3CE，
∴AE＝AC＝×4＝3，
∴AF＝3，
∴AF的长是3．
23．（12分）某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元．
（1）求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
（2）甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于2100元且不超过2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
【解答】解：（1）设甲类拼图每盒进价是x元，乙类拼图每盒进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲类拼图每盒进价是15元，乙类拼图每盒进价是10元；
（2）设购进甲类拼图m盒，则购进乙类拼图（200﹣m）盒，
根据题意得：，
解得：20≤m≤40．
设购进的甲、乙两类拼图全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（25﹣15）m+（18﹣10）（200﹣m），
即w＝2m+1600，
∵2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝2×40+1600＝1680．
答：当甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元．
24．（14分）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系 相等 ，位置关系 垂直 ；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
【解答】解：（1）如图1，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE，
即∠ADG＝∠CDE，
∵DG＝DE，DA＝DC，
∴△GDA≌△EDC（SAS），
∴AG＝CE，∠GAD＝∠ECD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE，
故答案为：相等，垂直；
（2）不成立，CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：
如图2，由（1）知，∠EDC＝∠ADG，
∵AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，
∴，＝＝，
∴＝，
∴△GDA∽△EDC，
∴＝，即CE＝2AG，
∵△GDA∽△EDC，
∴∠ECD＝∠GAD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE；
（3）①当点E在线段AG上时，如图3，
在Rt△EGD中，DG＝3，ED＝4，则EG＝5，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
∴△DGP∽△EGD，
∴＝，即，
∴PD＝，PG＝，
则AP＝＝＝，
则AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝+﹣5＝；
②当点G在线段AE上时，如图4，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
同理得：PD＝，AP＝，
由勾股定理得：PE＝＝，
则AE＝AP+PE＝+＝；
综上，AE的长为．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（0，﹣1），点P为线段BC上一动点，连接DP并延长交抛物线于点H，连结BH，当四边形ODHB的面积为时，求点H的坐标；
（3）已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以CQ为斜边作等腰直角三角形CEQ，请直接写出点E的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）两点代入抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，连接OH，
∵D（0，﹣1），B（3，0），
∴OD＝1，OB＝3，
设H（m，m2﹣2m﹣3），
∴S四边形ODHB＝S△ODH+S△BOH＝•OD•m+•OB•（﹣m2+2m+3）＝，
解得：m＝或2，
∴H的坐标为（，﹣）或（2，﹣3）；
（3）设E（t，0），
分两种情况：
①如图2，点E在x轴的正半轴上，过点Q作QM⊥x轴于M，
∵△CEQ是等腰直角三角形，
∴EQ＝CE，∠CEQ＝90°，
∴∠CEO+∠QEM＝∠CEO+∠ECO＝90°，
∴∠ECO＝∠QEM，
∵∠COE＝∠EMQ＝90°，
∴△COE≌△EMQ（AAS），
∴EM＝OC＝3，OE＝MQ＝t，
∴Q（t﹣3，t），
∵点Q在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴t＝（t﹣3）2﹣2（t﹣3）﹣3，
解得：t＝（舍）或；
②如图3，点E在x轴的负半轴上，过点Q作QM⊥x轴于M，
同理得：△COE≌△EMQ（AAS），
∴EM＝OC＝3，OE＝MQ＝﹣t，
∴Q（t+3，﹣t），
∵点Q在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴﹣t＝（t+3）2﹣2（t+3）﹣3，
解得：t＝0（舍）或﹣5；
综上，点E的坐标为（，0）或（﹣5，0）．
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
6
11
8
8
7
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
6
11
8
8
7
1
2
3
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
A．﹣3B．3C．D．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．8，7B．8，8C．8.5，8D．8.5，7
5．（3分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2﹣3a2＝﹣2a4B．﹣2b10÷b2＝2b5
C．（m+n）2＝m2+n2D．（﹣2x2）3＝﹣8x6
6．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k＜B．k＜且k≠0C．k≤D．k≤且k≠0
7．（3分）在一个不透明的袋中装有2个黄球、3个黑球和5个红球，它们除颜色不同外，其他都相同，现将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出1个球是红球的概率为，则后来放入袋中红球的个数是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．10个
8．（3分）如图⊙O的半径为3，AB是弦，点C为弧AB的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．B．3C．D．
9．（3分）如图Rt△DEF中，∠DEF＝90°，M是斜边DF的中点，将△DEF绕点F按顺时针方向旋转，点E落在EM延长线上的E处，点D落在D′处，若DE＝2，EF＝4．则EE′的长为（ ）
A．7.5B．6C．6.4D．6.5
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：
（1）b2﹣4ac＞0；
（2）2a＝b；
（3）点（﹣，y1）、（﹣，y2）、（，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3；
（4）3b+2c＜0；
（5）t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二.填空题（共6小题，满分18分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣8x+8＝ ．
12．（3分）某活动中，共募得捐款320万元，将320万用科学记数法表示为 ．
13．（3分）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 ．
14．（3分）如图，已知圆锥的高为，高所在的直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ．
15．（3分）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．
16．（3分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若△ABC的周长为9，则五边形DECHF的周长为 ．
三.解答题（共9小题，共102分）
17．（10分）先化简，再求值：（1+），其中x＝（）﹣1+3tan30°+|1﹣|﹣（3.14﹣π）0．
18．（10分）某校为了激发学生学习党史的热情，组织了全校学生参加党史知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整致，满分为100分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少名学生的成绩？
（2）请补全频数分布直方图及各组人数，并写出计算过程；
（3）该校共有2000名学生．若成绩95分以上（含95分）为一等奖，已知E组中95分以上（含95分）的人数占E组人数的，求全校获得一等奖的学生约有多少名？
19．（10分）将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．
（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？
（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．
20．（10分）2022年第24届冬季奥运会在北京举行，激起了青少年对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场高级雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B后到达终点P，其中AB＝300米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为20°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．
（结果精确到1米，参考数据：sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364）
21．（10分）如图，已知A（﹣3，），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求m的值及一次函数解析式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且，连接AC、BC，连接BD交AC于点E，延长BD到点F，使ED＝DF，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，BC＝2，求AF的长．
23．（12分）某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元．
（1）求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
（2）甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于2100元且不超过2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
24．（14分）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系 ，位置关系 ；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（0，﹣1），点P为线段BC上一动点，连接DP并延长交抛物线于点H，连结BH，当四边形ODHB的面积为时，求点H的坐标；
（3）已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以CQ为斜边作等腰直角三角形CEQ，请直接写出点E的坐标．
2023年辽宁省营口实验中学中考数学一模试卷
（参考答案与详解）
一.选择题（共10小题，满分30分）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．﹣3B．3C．D．
【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．
故选：B．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
3．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形，
故选：B．
4．（3分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是（ ）
A．8，7B．8，8C．8.5，8D．8.5，7
【解答】解：学生一周课外阅读时间的出现次数最多的是7小时，因此众数是7；
将40名学生的读书时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是8小时，因此中位数是8，
故选：A．
5．（3分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a2﹣3a2＝﹣2a4B．﹣2b10÷b2＝2b5
C．（m+n）2＝m2+n2D．（﹣2x2）3＝﹣8x6
【解答】解：a2﹣3a2＝﹣2a2，故A错误，不符合题意；
﹣2b10÷b2＝﹣2b8，故B错误，不符合题意；
（m+n）2＝m2+2mn+n2，故C错误，不符合题意；
（﹣2x2）3＝﹣8x6，故D正确，符合题意；
故选：D．
6．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k＜B．k＜且k≠0C．k≤D．k≤且k≠0
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4k×1＞0，
解得：k＜且k≠0，
故选：B．
7．（3分）在一个不透明的袋中装有2个黄球、3个黑球和5个红球，它们除颜色不同外，其他都相同，现将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出1个球是红球的概率为，则后来放入袋中红球的个数是（ ）
A．4个B．5个C．6个D．10个
【解答】解：设后来放入袋中x个红球，根据题意得：，
解得x＝5，
经检验，x＝5是方程的解，且符合题意，
答：后来放入袋中的红球有5个．
故选：B．
8．（3分）如图⊙O的半径为3，AB是弦，点C为弧AB的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（ ）
A．B．3C．D．
【解答】解：连接OA、OC，OC与AB交于点D，
∵点C为 的中点，
∴OD⊥AB，AB＝2AD，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
在Rt△OAD中，，
∴．
故选：D．
9．（3分）如图Rt△DEF中，∠DEF＝90°，M是斜边DF的中点，将△DEF绕点F按顺时针方向旋转，点E落在EM延长线上的E处，点D落在D′处，若DE＝2，EF＝4．则EE′的长为（ ）
A．7.5B．6C．6.4D．6.5
【解答】解：过F作FH⊥EE′于H，
∵∠DEF＝90°，DE＝2，EF＝4，
∴DF＝＝＝10，
∵M是斜边DF的中点，
∴EM＝DF＝5，S△EFM＝S△DEF＝××＝EM•FH，
∴FH＝，
∴EH＝＝3.2，
∵将△DEF绕点F按顺时针方向旋转，点E落在EM延长线上的E处，
∴EF＝E′F，
∴EE′＝2EH＝6.4，
故选：C．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：
（1）b2﹣4ac＞0；
（2）2a＝b；
（3）点（﹣，y1）、（﹣，y2）、（，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3；
（4）3b+2c＜0；
（5）t（at+b）≤a﹣b（t为任意实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：（1）由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴（1）正确；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴2a＝b，
∴（2）正确；
（3）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，点（，y3）在抛物线上，
∴（﹣，y3）．
∵﹣＜﹣＜﹣，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，
∴y1＜y3＜y2．
∴（3）错误；
（4）∵当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，且b＝2a，
∴9a﹣3×2a+c＝3a+c＜0，
∴6a+2c＝3b+2c＜0，
∴（4）正确；
（5）∵b＝2a，
∴方程at2+bt+a＝0中Δ＝b2﹣4a•a＝0，
∴抛物线y＝at2+bt+a与x轴只有一个交点，
∵图中抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴y＝at2+bt+a≤0，
即at2+bt≤﹣a＝a﹣b．
∴（5）正确．
故选：C．
二.填空题（共6小题，满分18分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣8x+8＝ 2（x﹣2）2 ．
【解答】解：原式＝2（x2﹣4x+4）
＝2（x﹣2）2．
故答案为2（x﹣2）2．
12．（3分）某活动中，共募得捐款320万元，将320万用科学记数法表示为 3.2×106 ．
【解答】解：320万＝3200000＝3.2×106．
故答案为：3.2×106．
13．（3分）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 6≤a＜9 ．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：x≤，
∵不等式组有且只有3个整数解，
∴2≤＜3，
解得：6≤a＜9，
故答案为：6≤a＜9．
14．（3分）如图，已知圆锥的高为，高所在的直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 180° ．
【解答】解：设扇形圆心角为n，
∵OA＝2，∠OAB＝30°，
∴AB＝＝4，OB＝OA•tan30°＝2，
则圆锥的底面周长为：2×2×π＝4π，
∴圆锥侧面展开图扇形的弧长为4π，
∴＝4π，
解得：n＝180°，
故答案为：180°．
15．（3分）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为 ．
【解答】解：连接AN，AM，以AM为半径，点A为圆心作圆，反向延长AN与圆交于点M′，如图，
∵△ADE绕点A旋转，
∴点M是在以AM为半径，点A为圆心的圆上运动，
∵AM+AN≥MN，
∴当点M旋转到M′，即M、A、N三点共线时，MN的值最大，最大为M′N，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，
∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得，
在Rt△ADM中，由勾股定理得，
根据旋转的性质得，AM′＝AM＝，
∴M′N＝AN+AM′＝，即MN的最大值为．
故答案为：．
16．（3分）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若△ABC的周长为9，则五边形DECHF的周长为 6 ．
【解答】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∵等边△ABC的周长为9，
∴等边△ABC的边长为3，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC
＝6．
故答案为：6．
三.解答题（共9小题，共102分）
17．（10分）先化简，再求值：（1+），其中x＝（）﹣1+3tan30°+|1﹣|﹣（3.14﹣π）0．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝x﹣1，
当x＝（）﹣1+3tan30°+|1﹣|﹣（3.14﹣π）0＝4++﹣1﹣1＝2+2时，原式＝2+2﹣1＝2+1．
18．（10分）某校为了激发学生学习党史的热情，组织了全校学生参加党史知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整致，满分为100分）进行统计，绘制了两幅不完整的统计图．
（1）求抽取了多少名学生的成绩？
（2）请补全频数分布直方图及各组人数，并写出计算过程；
（3）该校共有2000名学生．若成绩95分以上（含95分）为一等奖，已知E组中95分以上（含95分）的人数占E组人数的，求全校获得一等奖的学生约有多少名？
【解答】解：（1）30÷10%＝300（名），
答：抽取了300名学生的成绩；
（2）B组人数为300×20%＝60（名），C组人数为300×25%＝75（名），
E组人数为300﹣（30+60+75+90）＝45（名），
补全图形如下：
（3）45×÷300×2000＝60（名），
答：全校获得一等奖的学生约有60名．
19．（10分）将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．
（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？
（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．
【解答】解：（1）P（标号为奇数）＝；
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中所摸出的两个球上数字之和等于4（记为事件A）的有3种，
所以，P（A）＝．
20．（10分）2022年第24届冬季奥运会在北京举行，激起了青少年对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场高级雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B后到达终点P，其中AB＝300米，BP＝200米，且AB段的运行路线与水平方向的夹角为20°，BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°，求垂直高度PC．
（结果精确到1米，参考数据：sin20°≈0.342，cs20°≈0.940，tan20°≈0.364）
【解答】解：过点B作BE⊥AC于E，
则四边形DCEB为矩形，
∴DC＝BE，
在△ABE中，∠A＝20°，sinA＝，
则BE＝AB•sinA≈300×0.342＝102.6（米），
∴DC＝BE＝102.6米，
在Rt△PBD中，∠PBD＝30°，PB＝200米，
则PD＝PB＝100米，
∴PC＝PD+DC＝100+102.6≈203（米），
答：垂直高度PC约为203米．
21．（10分）如图，已知A（﹣3，），B（﹣1，m）是一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求m的值及一次函数解析式；
（2）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点（﹣3，），
∴n＝﹣3×＝﹣2，
∵点B（﹣1，m）也在该反比例函数的图象上，
∴﹣1•m＝﹣2，
∴m＝2；
把点A（﹣3，），B（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴×（x+3）＝×|﹣1|×（2﹣x﹣），
解得x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y＝x+＝，
∴P点坐标是（﹣2，）．
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且，连接AC、BC，连接BD交AC于点E，延长BD到点F，使ED＝DF，连接AF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，BC＝2，求AF的长．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠C＝90°，
∴AD⊥EF，
∵ED＝DF，
∴AF＝AE，
∴∠F＝∠AEF＝∠CEB，
∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠F+∠ABD＝∠CEB+∠CBD＝90°，
∴∠BAF＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AF⊥OA，
∴AF是⊙O的切线．
（2）解：∵∠C＝90°，AB＝6，BC＝2，
∴AC＝＝＝4，
∵∠BAF＝∠C＝90°，∠ABF＝∠CBE，
∴△ABF∽△CBE，
∴＝＝＝3，
∴AF＝3CE，
∵AF＝AE，
∴AE＝3CE，
∴AE＝AC＝×4＝3，
∴AF＝3，
∴AF的长是3．
23．（12分）某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元．
（1）求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
（2）甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于2100元且不超过2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？
【解答】解：（1）设甲类拼图每盒进价是x元，乙类拼图每盒进价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲类拼图每盒进价是15元，乙类拼图每盒进价是10元；
（2）设购进甲类拼图m盒，则购进乙类拼图（200﹣m）盒，
根据题意得：，
解得：20≤m≤40．
设购进的甲、乙两类拼图全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（25﹣15）m+（18﹣10）（200﹣m），
即w＝2m+1600，
∵2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝40时，w取得最大值，最大值＝2×40+1600＝1680．
答：当甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元．
24．（14分）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系 相等 ，位置关系 垂直 ；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
【解答】解：（1）如图1，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE，
即∠ADG＝∠CDE，
∵DG＝DE，DA＝DC，
∴△GDA≌△EDC（SAS），
∴AG＝CE，∠GAD＝∠ECD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE，
故答案为：相等，垂直；
（2）不成立，CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：
如图2，由（1）知，∠EDC＝∠ADG，
∵AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，
∴，＝＝，
∴＝，
∴△GDA∽△EDC，
∴＝，即CE＝2AG，
∵△GDA∽△EDC，
∴∠ECD＝∠GAD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE；
（3）①当点E在线段AG上时，如图3，
在Rt△EGD中，DG＝3，ED＝4，则EG＝5，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
∴△DGP∽△EGD，
∴＝，即，
∴PD＝，PG＝，
则AP＝＝＝，
则AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝+﹣5＝；
②当点G在线段AE上时，如图4，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
同理得：PD＝，AP＝，
由勾股定理得：PE＝＝，
则AE＝AP+PE＝+＝；
综上，AE的长为．
25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（0，﹣1），点P为线段BC上一动点，连接DP并延长交抛物线于点H，连结BH，当四边形ODHB的面积为时，求点H的坐标；
（3）已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以CQ为斜边作等腰直角三角形CEQ，请直接写出点E的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）两点代入抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0），
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，连接OH，
∵D（0，﹣1），B（3，0），
∴OD＝1，OB＝3，
设H（m，m2﹣2m﹣3），
∴S四边形ODHB＝S△ODH+S△BOH＝•OD•m+•OB•（﹣m2+2m+3）＝，
解得：m＝或2，
∴H的坐标为（，﹣）或（2，﹣3）；
（3）设E（t，0），
分两种情况：
①如图2，点E在x轴的正半轴上，过点Q作QM⊥x轴于M，
∵△CEQ是等腰直角三角形，
∴EQ＝CE，∠CEQ＝90°，
∴∠CEO+∠QEM＝∠CEO+∠ECO＝90°，
∴∠ECO＝∠QEM，
∵∠COE＝∠EMQ＝90°，
∴△COE≌△EMQ（AAS），
∴EM＝OC＝3，OE＝MQ＝t，
∴Q（t﹣3，t），
∵点Q在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴t＝（t﹣3）2﹣2（t﹣3）﹣3，
解得：t＝（舍）或；
②如图3，点E在x轴的负半轴上，过点Q作QM⊥x轴于M，
同理得：△COE≌△EMQ（AAS），
∴EM＝OC＝3，OE＝MQ＝﹣t，
∴Q（t+3，﹣t），
∵点Q在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴﹣t＝（t+3）2﹣2（t+3）﹣3，
解得：t＝0（舍）或﹣5；
综上，点E的坐标为（，0）或（﹣5，0）．
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