高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）精品精练

人教版高中数学必修一目录

在社会发展的今天，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学必不可少的基本工具。下面小编整理了《人教版高中数学必修一目录》，供大家参考！

第一章 集合与函数概念

1.1集合—阅读与思考，集合中元素的个数

1.2函数及其表示—阅读与思考，函数概念的发展历程

1.3函数的基本性质—信息技术应用，用计算机绘制函数图形

第二章 基本初等函数（1）

2.1指数函数—信息技术应用，借助信息技术探究指数函数的性质

2.2对数函数—阅读与思考，对数的发明

探究与发现，互为反函数的两个函数图像之间的关系

第三章 函数的应用

3.1函数与方程—阅读与思考，中外历史上的方程求解

信息技术应用，借助信息技术求方程的近似解

3.2函数模型及其应用—信息技术应用，收集数据并建立函数模型

3.4 函数的应用(一)

考点一 一次函数模型

【例1】(2020·全国高一专题练习)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(    )

A．2 000套 B．3 000套

C．4 000套 D．5 000套

【答案】D

【解析】因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套.故选：D

【举一反三】

1．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.

方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；

方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：

(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？

通过计算加以说明.

（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？

【答案】见解析

【解析】设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为，依方案二的利润为，由题意知，

.

（1）当时，，，

因为，所以应选择方案二处理污水.

(2)当时，，，

因为，所以应选择方案一处理污水

考点二 二次函数模型

【例2】(2020·浙江高一课时练习)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售单价(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.

(1)求的值；

(2)若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.

【答案】(1)(2)当时，函数取得最大值，且最大值等于440.

【解析】(1)因为.且时，.

所以解得. .

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量.  

所以商场每日销售该商品所获得的利润：

因为为二次函数，且开口向上，对称轴为.

所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440.  

所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.

【举一反三】

1．(2020·全国高一专题练习)某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____元.

【答案】60

【解析】设涨价x元，销售的利润为y元，

则，

当，即销售单价为60元时，y取得最大值.故答案为：60

2(2019·安徽金安.六安一中高一月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，且投资1万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，

(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

【答案】(1)；(2)投资债券等稳健型产品为万元，投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为3万元.

【解析】(1)依题意设，

，

；

(2)设投资股票等风险型产品为万元，

则投资债券等稳健型产品为万元，

，

当万元时，收益最大万元，

20万元资金，投资债券等稳健型产品为万元，

投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为3万元.

考点三 分段函数模型

【例3】(2019·黄梅国际育才高级中学高一月考)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数，其中x(台)是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)

【答案】(1)；(2)每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．

【解析】(1)月产量为台，则总成本为元，从而

．

(2)由(1)可知，当时，，

当时，；

当时，是减函数，，

当时，，

即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．

【举一反三】

1．(2020·浙江高一课时练习)2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车。在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到220辆/千米，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米，车流速度为100千米/时研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

(1)当时，求函数的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)可以达到最大？并求出最大值.

【答案】(1)；(2)当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.

【解析】(1)由题意，当时，v(x)=100，

当时，设，则

解得：，

∴

(2)由题意，

当时，的最大值为

当时，，

的最大值为

∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.

2．(2020·宾县第二中学高二期中(理))某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．

(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；

(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？

【答案】(1)f(x)＝；(2)475件.

【解析】(1)当0<x≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.

所以f(x)＝

即f(x)＝

(2)当0<x≤5时,f(x)＝－x2＋4.75x－0.5,所以当x＝4.75(百件)时,f(x)有最大值,

f(x)max＝10.781 25(万元).

当x>5时,f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元).

故当年产量为475件时,当年所得利润最大.

3．(2020·全国高一专题练习)某商品在某月的30天内每件销售价格(元)与时间(天)的函数关系式是，该商品的日销售量(件)与时间(天)的函数关系式是，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的是30天中的第几天.

【答案】900.10

【解析】设这种商品的日销售金额为万元，则有

当时，时，；

时，时，.

所以这种商品的日销售金额的最大值为1125元，日销售金额的最大的一天是30天中的第25天.