高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率5.1 统计5.1.3 数据的直观表示精练

十五　数据的直观表示

基础练习

一、选择题(每小题5分,共15分)

1.在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员成绩如图所示,则这些运动员成绩在1.75米及以上的有              (　　)

A.10人　　B.9人　　C.8人　　D.3人

解析:选C.由题图可知,成绩在1.75米及以上的共有5+2+1=8(人).

2.200辆载着某炮兵团士兵的汽车急赴某地抗洪抢险,如图是汽车途经某大桥时的速度的频率分布直方图,则这200辆汽车的速度的中位数的估计值为              (　　)

A.64 B.63 C.63.5 D.65

解析:选D.由频率分布直方图知,前两个小矩形的面积之和为(0.01+0.02)×10=0.3,由于0.5-0.3=0.2,则×10=5,所以中位数为60+5=65.

【补偿训练】

　　　维生素C又叫抗坏血酸,是一种水溶性维生素,是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C虽不直接构成脑组织,也不向脑提供活动能源,但维生素C有多种健脑强身的功效,它是脑功能极为重要的营养物.维生素C的毒性很小,但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维生素C的含量可大致分为:

含量很丰富:鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子,每100克中的维生素C含量超过100毫克;比较丰富:青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花,每100克中维生素C含量超过50毫克;相对丰富:白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜,每100克中维生素C含量超过30毫克.

现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量(单位:mg)得到茎叶图如图所示,则下列说法中不正确的是              (　　)

A.猕猴桃的维生素C的含量的平均数小于柚子的维生素C的含量的平均数

B.猕猴桃的维生素C的含量的方差小于柚子的维生素C的含量的方差

C.猕猴桃的维生素C的含量的极差为32

D.柚子的维生素C的含量的中位数为121

解析:选B.由题干茎叶图知,猕猴桃的维生素C的含量的平均数为=116,柚子的维生素C的含量的平均数为=122,则猕猴桃的维生素C的含量的平均数小于柚子的维生素C的含量的平均数,故A正确;猕猴桃的维生素C的含量的数据波动比柚子的维生素C的含量的数据波动大,所以猕猴桃的维生素C的含量的方差大于柚子的维生素C的含量的方差,故B错误;

猕猴桃的维生素C的含量的极差为134-102=32,故C正确;柚子的维生素C的含量的中位数为=121,故D正确.

3.(多选题)给出如图所示的三幅统计图及四个命题:

①从折线统计图能看出世界人口的变化情况;

②2050年非洲人口将达到大约15亿;

③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多;

④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢.其中说法正确的有 (　　)

A.①　 B.②　 C.③　 D ④

解析:选AC.①从折线统计图能看出世界人口的变化情况,故①正确;②从条形统计图中可得:2050年非洲人口大约将达到18亿,故②错误;③从扇形统计图中能够明显地得到结论:2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,故③正确;④由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢,故④错误.因此正确的命题有①③.

二、填空题(每小题5分,共15分)

4.某足球赛门票3月1日至8日的售票情况如图所示,由图可知,售票最多的日期是　　　　　　;售票最少的日期是　　　　　;前4天共售票　　　张. 

解析:由题图可知,售票最多的日期是3月2日;最少的日期是3月3日与3月7日;前4天共售票8+14+7+12=41(张).

答案:3月2日　3月3日与3月7日　41

5.为了解某商场某日运动鞋的销售情况,抽取了部分顾客购鞋的尺寸,将所得的数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),已知图中从左到右前三个小组的频率之比为1∶2∶3,第4小组与第5小组的频率分别为0.175和0.075,第二小组的频数为10,则抽取的顾客人数是　　　　. 

解析:由条件可得,第二小组的频率为2×=0.25,因为第二小组的频数为10,所以抽取的顾客人数是=40.

答案:40

6.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:

(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为　　　　. 

(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为　　　　. 

解析:(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,h=0.04.

(2)志愿者年龄在[25,35)的频率为5×(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)的人数约为0.55×800=440.

答案:(1)0.04　(2)440

三、解答题(共10分)

7.甲、乙两个网站为了了解各自受欢迎的程度,分别随机选取了14天记录上午8:00~10:00间各自的点击量:

甲:73,24,58,72,64,38,66,70,20,41,55,67,8,25;

乙:12,37,21,5,54,52,61,45,19,6,19,36,42,14.

你能用哪些方法表示上面的数据?你认为甲、乙两个网站哪个更受欢迎?

解析:方法一:列频数分布表如下:

由频数分布表可以看出,甲网站的点击量多集中在[50,80]上,而乙网站的点击量多集中在[0,60)上,从数据的分布情况来看,甲网站更受欢迎.

方法二:画出茎叶图如图所示.

由茎叶图可以看出,甲网站的点击量集中在茎叶图的下方,而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方.从数据的分布情况来看,甲网站更受欢迎.

提升练习

一、选择题(每小题5分,共15分)

1.空气质量指数(AQI)是描述空气清洁或者污染程度的指标,是对二氧化硫、二氧化氮、PM10、PM2.5、一氧化碳和臭氧这6项污染物的统一评价.AQI在(0,50]空气为优,在(50,100]空气为良,在(100,150]为轻度污染,在(150,200]为中度污染,在(200,300]为重度污染,300以上为严重污染.如图为我国34个省级行政区某日的AQI数据条形图.给出下列结论:

①当日超过半数以上的省级行政区空气为良;

②当日省级行政区空气被污染的比例超过20%;

③当日我国各省级行政区AQI的平均值小于100

(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

其中正确的个数为 (　　)

A.0　 B.1　 C.2　 D.3

解析:选C.由图中数据可知,34个省级行政区中空气为良的有18个,故①正确;

空气被污染的省级行政区个数为5+1=6,≈17.6%<20%,故②不正确;

当日我国34个省级行政区AQI的平均值为×(25×10+75×18+125×1+175×5)=<100,故③正确,共有2个正确的命题.

2.如图是某地区各级学校每10万人口中平均在校生的人数扇形统计图,则下列结论正确的是              (　　)

A.有6%的高中生升入高等学校

B.该地区高等学校在校生6 000人

C.各级学校10万人口平均在校生数高等学校学生占6%

D.高等学校的学生比高中阶段的学生多

解析:选C.由扇形统计图可以看出,各级学校每10万人口中平均在校生的人数所占的百分比分别为:幼儿园占8%,高等学校占6%,高中阶段占12%,初中阶段占26%,小学占48%,A项中6%应是高等学校在校学生.B项中6 000人是该地每10万人口高等学校平均在校生数,D项显然错误.

3.(多选题)某特长班有男生和女生各10人,统计他们的身高,其数据(单位:cm)如下面的茎叶图所示,则下列结论正确的是              (　　)

A.女生身高的极差为12

B.男生身高的均值较大

C.女生身高的中位数为165

D.男生身高的方差较小

解析:选AB.女生身高的极差为173-161=12,A正确;B显然正确,D显然错误;女生身高中位数=166,C错误.

二、填空题(共5分)

4.某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩,分为5组制出频率分布直方图如图所示.

则a=　　　　,d=　　　　. 

解析:由频率分布直方图知,成绩在[85,90)中的频率b=0.06×5=0.3,所以成绩在[85,90)中的人数a=0.3×100=30,

所以c=100-5-35-30-10=20,d==0.2.

答案:30　0.2

三、解答题(共10分)

5.(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:

记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.

(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值.

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

【解题指南】本题考查用样本估计总体,意在考查考生频率分布直方图的运算求解能力.

解析:(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.

乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.

【补偿训练】

　　　有关部门从甲、乙两个城市所有的自动售货机中随机抽取了16台,记录下上午8:00~11:00之间各自的销售情况(单位:元):

甲:18,8,10,43,5,30,10,22,6,27,25,58,14,18,30,41;

乙:22,31,32,42,20,27,48,23,38,43,12,34,18,10,34,23.

试用两种不同的方式分别表示上面的数据,并简要说明各自的优点.

　　　解析: 方法一:条形图如图.

甲

乙

方法二:茎叶图如图,两竖线中间的数字表示甲、乙销售额的十位数,两边的数字分别表示甲、乙销售额的个位数.

从方法一可以看出,条形统计图能直观地反映数据分布的大致情况,并且能够清晰地表示出各个区间的具体数目;从方法二可以看出,用茎叶图表示有关数据,对数据的记录和表示都带来方便.