高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算精练

三十　平面向量的坐标及其运算

基础练习

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.下列说法中正确的个数是 (　　)

①向量在平面直角坐标系xOy内的坐标是唯一的;

②若=(1,2),则的终点坐标是(1,2);

③若的终点坐标为(1,2),则=(1,2).

A.0  B.1  C.2  D.3

解析:选B.因为e1,e2为正交基底,所以①正确;向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关,故②③不正确.

2.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与相等,其中A(1,2),B(3,2),则x的值为 (　　)

A.-1  B.-1或4

C.4   D.1或-4

解析:选A.因为=(2,0),又因为a=,

所以,所以x=-1.

3.已知向量a=(x,5),b=(5,x),两向量方向相反,则x= (　　)

A.-5 B.5  C.-1 D.1

解析:选A.由两向量共线可得x2-25=0所以x=±5,又两向量方向相反,所以x=-5.

4.若A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则+2= (　　)

A.(-4,9) B.(4,9)

C.(-4,-9) D.(4,-9)

解析:选A.因为A(2,-1),B(4,2),C(1,5),所以=(2,3),=(-3,3).所以+=(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).

5.已知向量a=(x,1),b=(-1,1),若a+b=(0,2),则 (　　)

A.a∥b　    B.3a-2b=(5,1)

C.a-b=(-2,0)　　  D.=

解析:选B.因为向量a=(x,1),b=(-1,1),且a+b=(x-1,2)=(0,2),

所以x-1=0,所以x=1所以向量a=(1,1),b=(-1,1),a和b不平行,故A错误;

因为3a-2b=(5,1),故B正确;

所以a-b=(2,0),故C错误;

=2,故D错误.

6.(多选题)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,下列四个结论正确的是 (　　)

A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)

B.a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b则x1=x2,且y1=y2

C.若a=(x,y),且a≠0,则a的始点是原点O

D.若a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)

解析:选AB.由平面向量基本定理可知AB正确;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的始点是不是原点无关,故C错误;a的坐标是终点坐标是以a的始点是原点为前提的,故D错误.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知向量a=k+1,,b=(2,k-1),若a与b的方向相反,则实数k=　　　　　. 

解析:因为a与b的方向相反﹐所以(k+1)(k-1)-2×=0,即k=±2.

当k=2时,a=3,,b=(2,1),即a=b,此时a与b的方向相同,不符合题意,舍去;当k=-2时,a=-1,,b=(2,-3),即a=-b,此时a与b的方向相反.

答案:-2

8.设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为　　　　. 

解析:因为b=(2,1),且a与b的方向相反, 所以设a=(2λ,λ)(λ<0).

因为|a|=2,所以4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2, 所以a=(-4,-2).

答案:(-4,-2)

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,|OC|=2,且∠AOC=.设=λ+ (λ∈R),求λ的值.

解析:过点C作CE⊥x轴于点E,

由∠AOC=知,|OE|=|CE|=2,

所以=+=λ+,

即=λ,

所以(-2,0)=λ(-3,0),故λ=.

10.已知向量a=(2,1),b=(1,1),c=(5,2),m=λb+c(λ为常数).

(1)求a+b.

(2)若a与m平行,求实数λ的值.

解析:(1)因为a=(2,1),b=(1,1),

所以a+b=(2,1)+(1,1)=(3,2).

(2)因为b=(1,1),c=(5,2),所以m=λb+c=λ(1,1)+(5,2)=(λ+5,λ+2).又因为a=(2,1),且a与m平行,所以2(λ+2)=λ+5,解得λ=1.

11.已知a=(1,0),b=(2,1).

(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线.

(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.

解析:(1)由已知ka-b=(k,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+(4,2)=(5,2).

当ka-b与a+2b共线时,

2(k-2)-(-1)×5=0,解得k=-.

(2)由已知可得=2a+3b=(2,0)+(6,3)=(8,3).

=a+mb=(1,0)+(2m,m)=(2m+1,m).

因为A,B,C三点共线,所以∥,

所以8m-3(2m+1)=0,得m=.

提升练习

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.已知M(3,-2),N(-5,-1),且=,则点P的坐标为 (　　)

A.(-8,-1)

B.-1,-

C.1,

D.(8,-1)

解析:选B.由已知得=(-8,1),于是=-4,,设P(x,y),则有x-3=-4,y+2=,于是x=-1,y=-,故P-1,-.

2.已知3a+2b=(-1,17),2a-3b=(8,-6),则a+b的坐标为 (　　)

A. (-1,7) B.(1,3)

C.(-2,4) D.(3,-1)

解析:选A.设a=(x,y),b=(m,n),

所以3a+2b=(3x+2m,3y+2n),2a-3b=(2x-3m,2y-3n),

又因为3a+2b=(-1,17),2a-3b=(8,-6),

所以解得

所以a=(1,3),b=(-2,4).

所以a+b=(-1,7).

3.已知a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则a= (　　)

A.(-3,4) B.(5,-12)

C.(1,-4) D.(-4,8)

解析:选A.联立

①+②得2a=(2,-8)+(-8,16)=(-6,8),所以a=(-3,4).

【补偿训练】

　　　若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c= (　　)

A.3a+b　  B.3a-b

C.-a+3b  D.a+3b

解析:选B.令c=λa+μb,

所以(4,2)=λ(1,1)+μ(-1,1).

所以解得

所以c=3a-b.

4.(多选题)在平面直角坐标系xOy内,O为坐标原点,已知=(-1,4),=(8,-5),若P是线段AB的三等分点,则点P的坐标是              (　　)

A.(2,1)  B.(3,0)

C.(4,-1) D.(5,-2)

解析:选AD.因为=(-1,4),=(8,-5),所以=-=(9,-9),

设P(x,y),则=(x+1,y-4),

又P是线段AB的三等分点,

所以=或=,

即 或,

解得 或,

即点P的坐标是(2,1)或(5,-2).

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.平面上三点分别为A(2,-5),B(3,4),C(-1,-3),D为线段BC的中点,则向量的坐标为　　　　　. 

解析:设O为坐标原点,依题意知=(+)=(2,1)=1,,则=-=(2,-5)-1,=1,-.

答案:1,-

6.已知点A(3,-4),B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为　　　　. 

解析:当点P在线段AB上时,由||=2||可得=2,设P(x,y),

则(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),因此解得

于是P,0.

当点P在线段AB的延长线上时,由||=2||可得=.设P(x,y),则(-4,6)=(x+1,y-2),解得x=-5,y=8,于是P(-5,8).

答案:,0或(-5,8)

7.已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=　　　　. 

解析:因为=(1,a2+a),=(2,a3+a),又由题意知∥,所以a3+a-2(a2+a)=0,得a=1+(负值舍去).

答案:1+

8.若向量a=(2,-1),b=(x,2),c=(-3,y),且a∥b∥c,则x=　　　　,y=　　　　. 

解析:因为a∥b,所以2×2-(-1)x=0,所以x=-4.因为a∥c,

所以2y-(-1)×(-3)=0,所以y=.

答案:-4　

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.设点A(-1,2),B(n-1,3),C(-2,n+1),D(2,2n+1),若向量与共线且同向,求n的值.

解析:由题意=(n-1,3)-(-1,2)

=(n,1),=(2,2n+1)-(-2,n+1)=(4,n),

由∥,所以n2=4.所以n=±2.

当n=2时,=(2,1),=(4,2),=,共线同向;

当n=-2时,=(-2,1),=(4,-2),

所以=-,共线反向.所以n=2.

10.在平面直角坐标系中,给定△ABC,点M为BC的中点,点N满足=2,点P满足=λ,=μ.

(1)求λ与μ的值.

(2)若A,B,C三点坐标分别为(2,-2),(5,2),(-3,0),求P点坐标.

解析:(1)设=a,=b,

则=+=-a-3b,=2a+b,

=λ=-λa-3λb,=μ=2μ a+μ b,

故=-=(λ+2μ)a+(3λ+μ)b,

而=+=2a+3b.

由平面向量基本定理得解得

(2)因为A(2,-2),B(5,2),C(-3,0),由于M为BC的中点,所以M(1,1).设P(x,y),又由(1)知=4,所以(x-2,y+2)=4(1-x,1-y),

可得解得

所以P点的坐标为,.