高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积精品一课一练

新人教A版高中数学必修第二册课本教材目录

第六章 平面向量及其应用

6.1平面向量的概念   6.2平面向量的运算   6.3平面向量基本定理及坐标表示  6.4平面向量的应用

第七章 复数

7.1复数的概念       7.2复数的四则运算   7.3复数的三角表示

第八章 立体几何初步

8.1简单的立体图形   8.2立体图形的直观图  8.3简单几何体的表面积与体积

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系      8.5空间直线、平面的平行     8.6空间直线、平面的垂直

第九章 统计

9.1随机抽样         9.2用样本估计总体      9.3统计分析案例 公司员工的肥胖情况调查分析

8.3  简单几何体的表面积与体积(精讲)

考法一  多面体表面积

【例1】(1)(2020·全国高一课时练习)已知正六棱柱的高为，底面边长为，则它的表面积为(    )

A． B．

C． D．

(2)(2021·江苏南京市)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为和，侧棱长为，则该棱台的侧面积为(      ).

A． B． C． D．

【答案】(1)A(2)B

【解析】(1)由题知侧面积为，两底面积之和为，所以表面积.故选：A.

(2)由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为和，腰长为的等腰梯形

等腰梯形的高为：

等腰梯形的面积为：棱台的侧面积为：

本题正确选项：

【举一反三】

1．(2020·湖南怀化市)已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意侧棱长为．所以表面积为：．故选：A.

2．(2020·张家界市民族中学高一月考)棱长为的正四面体的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图

由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，

所以，所以可知：正四面体的表面积为，

故选：A

3．(2020·长春市第二实验中学高一期末)正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.

考法二  多面体台体积

【例2】(2020·江苏南京市)底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是(    )

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是故选：A

【举一反三】

1．(2020·河北秦皇岛市)如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】三棱锥的体积为：故选：C

2．(2020·广东惠州市·高一期末)正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为(    )

A． B． C． D．8

【答案】C

【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，

∴该四棱锥的体积.故选：C.

3．(2020·六盘山高级中学高一月考)已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥如图所示，求它的体积.

【答案】

【解析】如图所示：

连接AC，BD交于点O，连接SO，

因为四棱锥的棱长均为4，

所以平面ABCD，即SO为四棱锥的高，

所以,

所以，

所以.

4．(2020·北京高一期末)如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.

(1)求正三棱锥的表面积；

(2)求正三棱锥的体积.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)取的中点D，连接，

在中，可得.

∴.

∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，

∴正三棱锥的侧面积是.

∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴.

则正三棱锥的表面积为；

(2)连接，设O为正三角形的中心，则底面.

且.

在中，.

∴正三棱锥的体积为.

考法三  旋转体的表面积

【例3】(2020·山东德州市·高一期末)若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为，即，，,

所以，所以圆锥的侧面积为.

故选：C.

【举一反三】

1．(2021·浙江高一期末)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，

圆柱的侧面展开图是一个正方形，

，

圆柱的侧面积为，

圆柱的两个底面积为，圆柱的表面积为，

圆柱的表面积与侧面积的比为：，

故选：．

2．(2020·全国高一)把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为(    )

A．10 B． C． D．

【答案】B

【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为，

所以底面圆的半径为r=10，

所以圆锥的高为.

故选：B

3．(2020·全国高一课时练习)一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

圆锥的底面半径为2，高为4，

设内接圆柱的底面半径为，

则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为，

因此，内接圆柱的高；

圆柱的侧面积为，

令，当时，；

所以当时，，

即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为.

故选：D.

考法四 旋转体的体积

【例4】(2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学)已知圆锥的母线长为5，底面周长为，则它的体积为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，

因为底面周长为，所以，解得，

又因为母线长为5，所以h=4，所以圆锥的体积是故选：B

【举一反三】

1．(2020·浙江杭州市·高一期末)将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为(     )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由扇形弧长公式可求得弧长，圆锥底面周长为，

圆锥底面半径，圆锥的高，

圆锥的体积.

故选：.

2．(2020·威海市教育教学研究中心高一期末)古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为(    )

A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈

【答案】B

【解析】由题意得，下底半径(丈)，上底半径(丈)，高(丈)，

所以它的体积为

所以(立方丈).故选：B.

3．(2020·贵州毕节市·高一期末)已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为(    )

A．3 B． C．9 D．

【答案】B

【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，

则圆柱的侧面积为，

故表面积为，得①，

又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，

得②，

联立①②得：，.

故该圆锥的体积为.

故选：B.

考法五 球

【例5】(1)(2020·长春市第二实验中学高一期末)已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为(    )

A． B． C． D．

(2)．(2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末(理))已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为，求这个球的表面积(    )

A． B． C． D．

【答案】(1)B(2)C

【解析】(1)设正方体的棱长为a，球的半径为R，则，

球的表面积为，正方体的表面积为，

.故选：B

(2)设该正三棱锥为，将三棱锥补成正方体，如下图所示：

则正方体的棱长为，该正方体的体对角线长为，

所以，正三棱锥的外接球直径为，可得，

该球的表面积为.

故选：C.

【举一反三】

1．(2020·浙江高一期末)若一个球的直径为2，则此球的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积为，故选：D.

2．(2020·天津和平区·耀华中学高一期末)棱长为的正方体的外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以，解得，

所以球的表面积为：.故选：C

3．(2021·宁夏长庆高级中学高一期末)已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积，故选：C.

4.(2020·山东济宁市·高一期末)将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】正方体的棱长为3cm，所以球体最大体积的半径，

所以球的体积：.故选：B

考法六 组合体的体积表面积

【例6】(2020·全国高一课时练习)如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成(半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心)，则该器皿的表面积为(    )

A．54 B． C． D．

【答案】C

【解析】器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积

．

故选：C．

【举一反三】

1．(2020·山东菏泽市·菏泽一中高一月考)某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为(    )

A．20 B． C．16 D．

【答案】A

【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.

故选：A

2．(2020·河北沧州市一中高一期末)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为

.

故选：A.

3．(2021·周至县第二中学高一期末)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______．

【答案】8

【解析】由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径，

如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积

所以

故答案为：8