高中第十章 概率10.1 随机事件与概率优秀课时作业

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新人教A版高中数学必修第二册课本教材目录第六章 平面向量及其应用6.1平面向量的概念   6.2平面向量的运算   6.3平面向量基本定理及坐标表示  6.4平面向量的应用第七章 复数7.1复数的概念       7.2复数的四则运算   7.3复数的三角表示第八章 立体几何初步8.1简单的立体图形   8.2立体图形的直观图  8.3简单几何体的表面积与体积8.4空间点、直线、平面之间的位置关系      8.5空间直线、平面的平行     8.6空间直线、平面的垂直第九章 统计9.1随机抽样         9.2用样本估计总体      9.3统计分析案例 公司员工的肥胖情况调查分析 10.1   随机事件与概率(精讲)考法一 有限样本空间与随机事件【例1-1】(2021·全国高一)给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是(    )A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确；对于②，x=0时x2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误；对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个.故选：C．【例1-2】(2020·全国高一)袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次.(1)若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间；(2)若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间.【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】m表示第一次摸出球的编号，用n表示第二次摸出球的编号，则样本点可用，表示.(1)若第一次摸出的球不放回，则，此时的样本空间可表示为，共有12个样本点.(2)若第一次摸出的球放回，则m，n可以相同.此时试验的样本空间可表示为，共有16个样本点.【举一反三】1．(2021·全国高一课时练习)下列事件中，随机事件的个数为(    )①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以①是随机事件；一年只有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件，所以②是必然事件；购买彩票号码是随机的，某人买彩票中奖也是随机的，所以③是随机事件；在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾.故④是不可能事件故选：B2．(多选)(2020·全国高一单元测试)下列事件中，是随机事件的是(    )A．年月日，北京市不下雨B．在标准大气压下，水在时结冰C．从标有，，，的张号签中任取一张，恰为号签D．若，则【答案】AC【解析】A选项与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件．故选：AC．3．(2020·全国高一课时练习)写出下列各随机试验的样本空间：(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；(5)射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析(4)详见解析(5)详见解析【解析】解：(1)一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为{男，女}；(2)一名同学的血型有四种可能结果：A型、B型、AB型、O型.故该试验的样本空间可表示为；(3)每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为{(男、男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}；(4)每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为；(5)射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为.4．(2021·全国高一)写出下列试验的样本空间：(1)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，记录取球的次数；(2)甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果.【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】(1)从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，则取球次数为；(2)由抽签确定演讲的顺序，抽签的结果即样本空间可表示为{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)}.考法二 事件的关系与运算【例2-1】(2020·全国高一课时练习)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件“1个红球和2个白球”，事件“2个红球和1个白球”，事件“至少有1个红球”，事件“既有红球又有白球”，则：(1)事件与事件是什么关系？(2)事件与事件的交事件与事件是什么关系？【答案】(1).(2)事件与事件的交事件与事件相等.【解析】(1)对于事件,可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球,故.(2)对于事件,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球,故,所以事件与事件的交事件与事件相等.【例2-2】(2021·全国高一)掷一枚骰子，给出下列事件：“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”.求：(1)，；(2)，.【答案】(1)，“出现2点”.(2)“出现1，2，3，4，5或6点”，“出现1，2，4或6点”.【解析】由题意知：“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”，(1)，出现2点”；(2)“出现1，2，3，4，5或6点”，“出现1，2，4或6点”.【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件“三个圆的颜色不全相同”，事件“其中两个圆的颜色相同”，事件“三个圆的颜色全相同”.(1)写出试验的样本空间.(2)用集合的形式表示事件.(3)事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)事件包含事件，事件和的交事件与事件互斥.见解析【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间{(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝),(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)}.(2){(红,黄,蓝)}{(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)}{(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝)}.{(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝)}.(3)由(2)可知事件包含事件,事件和的交事件与事件互斥.2．(2021·全国高一)记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件，，，，指出下列事件的含义：(1)；(2)；(3).【答案】(1)射中10环或9环或8环.(2)射中9环.(3)射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】(1)=射中10环，=射中9环，=射中8环，射中10环或9环或8环.(2)=射中8环，射中环数不是8环，则射中9环.(3)射中9环或8环或7环，则射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.3．(2021·全国高一)在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”，试用A，B，C的运算表示下列随机事件：(1)甲未中靶；(2)甲中靶而乙未中靶；(3)三人中只有丙未中靶；(4)三人中至少有一人中靶；(5)三人中恰有两人中靶.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】(1)甲未中靶：.(2)甲中靶而乙未中靶：,即.(3)三人中只有丙未中靶：,即.(4)三人中至少有一人中靶.(5)三人中恰有两人中靶.考法三  互斥与对立【例3】(多选)(2020·全国高一课时练习)袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是(    )A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球【答案】BD【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.【举一反三】1．(多选)(2020·全国高一课时练习)一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是(    )A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件【答案】BD【解析】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确故选：BD2．(多选)(2020·全国高一课时练习)下面结论正确的是(    )A．若，则事件A与B是互为对立事件B．若，则事件A与B是相互独立事件C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件【答案】BD【解析】对于A选项，要使为对立事件，除还需满足，也即不能同时发生，所以A选项错误.对于C选项，包含于，所以与不是互斥事件，所以C选项错误.对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确.对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确.故选：BD3．(2020·全国高一课时练习)在试验E“连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j，事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，(1)试用样本点表示事件与；(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；(3)试用事件表示随机事件A.【答案】(1)详见解析(2)事件A与事件B，事件A与事件C不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.(3)【解析】由题意可知试验E的样本空间为,,,,,.(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有,即.因为事件B表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有,即.所以,.(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以.因为,,,所以事件A与事件B,事件A与事件C不是互斥事件,事件B与事件C是互斥事件.(3)因为事件表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为”,所以,所以.考法四 古典概型【例4】(2020·全国高一课时练习)在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的概率为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】用表示两位老师的打分，则的所有可能情况有种.当时，可取，，共种；当，，，，，，，时，的取值均有种；当时，可取，，共种；综上可得两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的情况有种，由古典概型的概率公式可得所求概率故选：C.【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为(    )A． B． C． D．【答案】D【解析】基本事件为共6个，其中符合条件的基本事件为共4个，所求概率为.故选：D2．(2021·全国高一)把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；共有18种分法，则2，3连号的概率为.故选：B.3．(2021·全国高一)为了更好了解某年入伍新兵的身高情况，解放军某部随机抽取名新兵，分别对他们的身高进行了测量，并将测量数据分为以下五组：，，，，进行整理，如下表所示：组号分组频数第1组第2组第3组第4组第5组合计(1)在下面的图纸中，画出频率分布直方图；(2)若在第4，5两组中，用分层抽样的方法抽取6名新兵，再从这6名新兵中随机抽取2名新兵进行体能测试，求这2名新兵来自不同组的概率．【答案】(1)直方图见解析；(2).【解析】(1)频率分布直方图如下图所示：（2）因为第4，5组共有30名新兵，所以利用分层抽样从中抽取6名，每组应抽取的人数分别为：4组：名，第5组：名，设第组抽取的4名新兵分别为，，，，第5组抽取的2名新兵分别为，．从这6名新兵中随机抽取2名新兵，有以下15种情况：，，，，，，，，，，，，，，，这2名新兵来自不同组的情况有以下8种：，，，，，，，，故所求的概率．考法五  概率的基本性质【例5-1】(2020·全国高一课时练习)老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指(    )A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂B．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%D．以上解释都不对【答案】C【解析】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.故选：C【例5-2】(2020·全国高一课时练习)在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别(M(男)、F(女))及年级((高一)、(高二)、(高三))分类统计的人数如下表： M182014F17247若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：____________，____________，____________，____________，____________，____________，____________【答案】            0                【解析】；；；；；；故答案为：(1)；(2)；(3)1；(4)0；(5)0.35；(6)0.76；(7)0.07【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为.那么以下理解正确的是(    )A．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次B．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖C．某顾客消费210元，一定不能中奖D．某顾客消费1000元，至少能中奖1次【答案】B【解析】中奖概率表示每一次抽奖中奖的可能性都是，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖，故选：B.2．(2020·全国高一课时练习)某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.150.250.30.2如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；(1)命中10环；(2)命中的环数大于8环；(3)命中的环数小于9环；(4)命中的环数不超过5环.【答案】(1)0.2  (2)0.5  (3)0.5  (4)0【解析】用x表示命中的环数，由频率表可得.(1)；(2)(或)；(3)；(4).3．(2021·全国高一课时练习)判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例(1)互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；(2)互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；(3)事件与事件B中至少有一个发生的概率一定比与B中恰有一个发生的概率大；(4)事件与事件B同时发生的概率一定比与B中恰有一个发生的概率小.【答案】(1)错误，举例见解析；(2)正确；(3)错误，举例见解析；(4)错误，举例见解析.【解析】(1)错误；(2)正确；(3)错误：(4)错误.设某试验的样本空间为.(1)中反例，取，则A,B互斥但不对立.(2)由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确(3)中反例，取,则.(4)中反例，取,则,.4．(2020·全国高一课时练习)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.【答案】(1)0.72  (2)0.26  (3)0.02  (4)0.98【解析】设“甲中靶”, “乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,A与,与B,与都相互独立由已知可得,.(1) “两人都中靶”,由事件独立性的定义得(2)“恰好有一人中靶” ,且与互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得(3)事件“两人都脱靶”,所以(4)方法1：事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥,所以方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为5．(2020·全国高一课时练习)已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135，256，345等)现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.(2)这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.【答案】(1)见解析；(2)不公平，理由见解析.【解析】(1)由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.(2)不公平由(1)知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竟赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个.由古典概型计算公式，得，又A与B对立，所以，所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.