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模块素养检测 同步练习-2022-2023学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册
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这是一份人教B版 (2019)必修 第二册全册综合同步练习题，文件包含模块素养检测同步练习教师版-2022-2023学年高一上学期数学人教B版2019必修第二册docx、模块素养检测同步练习学生版-2022-2023学年高一上学期数学人教B版2019必修第二册docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
模块素养检测
(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.若向量=(2,3),=(4,7),则= ( )
A.(-2,-4) B.(2,4)
C.(6,10) D.(-6,-10)
解析:选A.=+=-=(2,3)-(4,7)=(-2,-4).
2.已知函数f(x)=loga(x-m)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是 ( )
A.增函数 B.减函数
C.奇函数 D.偶函数
解析:选A.由题意,loga(4-m)=0,loga(7-m)=1,解得m=3,a=4,
所以f(x)=log4(x-3),所以f(x)是增函数.因为f(x)的定义域是(3,+∞),不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数.
3.下列四个数中,最大的是 ( )
A.log123 B.log43
C.log32 D.12
解析:选C.log123log33=12,所以四个数中最大的是log32.
【补偿训练】
已知f(x)=12x,x≥4,f(x+1),x<4,则f(log23)的值等于 ( )
A.-238 B.111 C.119 D.124
解析:选D.因为log23∈(1,2),
所以f(log23)=f(log23+1)
=f(log26)=f(log26+1)
=f(log212)=f(log212+1)
=f(log224)=12log224=124.
4.袋中有红、黄、白色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取3次,则下列事件中概率是89的是 ( )
A.颜色全相同 B.颜色不全相同
C.颜色全不相同 D.无红颜色球
解析:选B.共有3×3×3=27种可能,而颜色全相同有三种可能,其概率为19.因此,颜色不全相同的概率为1-19=89.
【补偿训练】
奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 ( )
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.不是互斥事件
解析:选C.甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件,故这两个事件不是对立事件.
5.已知向量e1≠0,e2≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,若a与b共线,则下列关系一定成立的是 ( )
A.e1∥e2 B.e1=e2
C.λ=0 D.e1∥e2或λ=0
解析:选D.因为a与b共线,所以存在实数μ,使a=μb,所以e1+λe2=μ·2e1,
所以1=2μ,λ=0.所以λ=0或e1∥e2.
【补偿训练】
已知A(3,7),B(5,2),将按向量a=(1,2)平移后所得向量的坐标是 ( )
A.(3,-3) B.(2,-5)
C.(10,4) D.(1,-7)
解析:选B.=(5-3,2-7)=(2,-5),向量平移,向量的坐标不发生变化,所以,按向量a=(1,2)平移后所得向量的坐标仍然为(2,-5).
6.(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:
则下列结论中错误的是 ( )
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
解析:选C.对于A选项,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4,A选项结论正确,不符合题意.
对于B选项,乙同学课外体育运动时长的样本平均数为:
6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116
=8.50625>8,
B选项结论正确,不符合题意.
对于C选项,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375<0.4,
C选项结论错误,符合题意.
对于D选项,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316=0.8125>0.6,
D选项结论正确,不符合题意.
7.(2020·全国Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,则 ( )
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a
所以f(a)-f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)=22b+log2b-(22b+log22b)
=log212=-1<0,所以f(a)
当b=1时,f(a)-f(b2)=2>0,此时f(a)>f(b2),有a>b2,
当b=2时,f(a)-f(b2)=-1<0,
此时f(a)
若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围为 ( )
A.0,12 B.(0,1)
C.12,+∞ D.(0,+∞)
解析:选A.由x∈(-1,0),得x+1∈(0,1),又对数函数f(x)=log2a(x+1)的函数值为正值,所以0<2a<1,即0
A.(1,4) B.(1,4]
C.(1,2) D.(1,2]
解析:选C.由题意知,g(x)=x2-2ax的对称轴为x=a,
(1)当a>1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[4,5]上单调递增,且g(x)>0在[4,5]上恒成立,
则a>1,g(4)=16-8a>0,a≤4,所以10在[4,5]上恒成立,
则00,此时a不存在.
综上可得,1
9.下列说法错误的有 ( )
A.将A,B,C,D四个人平均分成两组,则“A,B两人恰好在同一组”的概率为13
B.抛掷一枚骰子一次,“向上的点数是3的倍数”与“向上的点数是2的倍数”是互斥事件
C.口袋中有5个大小形状相同的小球,2白3黑,一次取2个小球,两球都是白球的概率为110
D.口袋中有5个大小形状相同的小球,2白3黑,一次取2个小球,则“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”是互斥事件
解析:选BD.(1)对于A,将A,B,C,D四个人平均分成两组,共有3种情况,“A,B两人恰好在同一组”的有一种,故“A,B两人恰好在同一组”的概率为13,故A正确;
(2)对于B,因为6既是3的倍数,也是2的倍数,所以向上的点数是6的时候两个事件同时发生,故不是互斥事件,故B错误;
(3)对于C,口袋中有5个大小形状相同的小球,2白3黑,一次取2个小球,设小球编号为1,2,3,4,5,其中1,2是白球,3,4,5是黑球,则样本点为12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共有10个,其中12表示两个都是白球,所以两球都是白球的概率为110,故C正确;
(4)对于D,当取到的两个球是一白一黑时,事件“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”同时发生,故不是互斥事件,故D错误.
10.下列命题中,正确的是 ( )
A.若a+b与a-b是共线向量,则a与b也是共线向量
B.若|a|-|b|=|a-b|,则a与b是共线向量
C.若|a-b|=|a|+|b|,则a与b是共线向量
D.若||a|-|b||=|a|+|b|,则b与任何向量都共线
解析:选ABC.若a与b不共线,则由向量加法和减法的几何意义知,a+b与a-b分别是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线,因此a+b与a-b不共线,与已知条件矛盾,从而a与b必为共线向量,故命题A正确;由不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|中等号成立的条件可知命题B与C都正确;由||a|-|b||=|a|+|b|可得|a|-|b|=|a|+|b|或|a|-|b|=-|a|-|b|,所以|b|=0或|a|=0,从而b=0或a=0,即说明b不一定为零向量,故命题D不正确.
11.设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N+),若事件Cn的概率最大,则n的所有可能值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:选BC.点P(a,b)共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)6种情况,得x+y分别等于2,3,4,3,4,5,所以出现3与4的概率最大.所以n=3或n=4.
12.对于0
C.a1+a
解析:选BD.由0loga1+1a,故A错误,B正确;由0
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知平面向量a=2,1,b=2,x,且a-2b∥2a+3b,则实数x= .
解析:由题意可得a-2b=(-2,1-2x),2a+3b=(10,2+3x),
又因为a-2b∥2a+3b,
所以-2×(2+3x)=(1-2x)×10,解得x=1.
答案:1
14.现从A,B,C,D,E五人中选取三人参加一个重要会议,五人被选中的机会均等.A和B同时被选中的概率为 ;A或B被选中的概率为 .
解析:基本事件有“ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,CDE,BCD,BCE,BDE,ADE”共10个.
事件“A和B同时被选中”包含3个基本事件,即ABC,ABD,ABE,所以A和B同时被选中的概率为P1=310;
A,B都不被选中只有事件CDE,所以事件“A或B被选中”包含9个基本事件,所以A或B被选中的概率为P2=910.
答案:310 910
15.若log2[log4(log3x)]=log3[log4(log2y)]=1,则x+y= .
解析:由题意,log4(log3x)=2,
得log3x=16,得x=316;
log4(log2y)=3,
得log2y=64,得y=264.
所以x+y=316+264.
答案:316+264
16.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13 s与19 s之间,将测试结果分成如下六组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18),[18,19].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,设成绩小于17 s的学生人数占全班人数的百分比为x,成绩在[15,17)中的学生人数为y,则从频率分布直方图中可以分析出x= ,y= .
解析:易知成绩小于17 s的学生人数占全班人数的百分比为[1-(0.04+0.06)×1]×100%=90%,成绩在[15,17)中的学生的频率为(0.36+0.34)×1=0.7,人数为50×0.7=35.
答案:90% 35
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)从某校参加期中考试的高一学生中随机抽取100名得到这100名学生语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分、众数、中位数;
(3)已知学生A的语文成绩为123分,现从成绩在[120,130]中的学生中随机抽取2人参加演讲赛,求学生A被抽中的概率.
解析:(1)由频率分布直方图可得10×(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005.
(2)平均分为x=85×0.005×10+95×0.04×10+105×0.03×10+115×0.02×10+125×0.005×10
=103(分).众数为:90+1002=95(分).
因为80,100的频率为0.005+0.04×10=0.45,100,110的频率为0.03×10=0.3,
所以中位数为100+0.5-0.450.3×10=3053≈101.67 (分).
(3)成绩在[120,130]的人数为100×0.005×10=5(人).设另外4人为B1,B2,B3,B4,抽取2人共有A,B1,A,B2,A,B3,A,B4,B1,B2,B1,B3,B1,B4,B2,B3,B2,B4,B3,B4
10种结果, 学生A被抽中的概率P=410=25.
18.(12分)如图所示,在△ABO中,=14,=12,AD与BC相交于点M.设=a,=b.
(1)试用向量a,b表示.
(2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M,设=λ,=μ,求证1λ+3μ=7.
解析:(1)不妨设=m a+n b,一方面,由于A,D,M三点共线,则存在α(α≠-1)使得=α,于是=,又=12,所以==11+αa+α2(1+α)b,
则m=11+α,n=α2(1+α),
即m+2n=1;①
另一方面,由于B,C,M三点共线,则存在β(β≠-1)使得=β,
于是=,又=14,
所以==14(1+β)a+β1+β b,
则m=14(1+β),n=β1+β,
即4m+n=1.②
由①②可得m=17,n=37,
所以=17a+37b.
(2)由于E,M,F三点共线,
所以存在实数η(η≠-1)使得=η,于是=,又=λ,=μ,
所以==λ1+ηa+μη1+ηb,
于是17a+37b=λ1+ηa+μη1+ηb,
从而λ1+η=17,μη1+η=37,
消去η即得1λ+3μ=7.
19.(12分)某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且资金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但资金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?
【解题指南】资金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,所以是增函数,三个都满足,资金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%,说明y≤3,且y<0.2x,所以画出三个图象,可得对数函数模型符合.
解析:借助工具作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(如图所示).
观察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合学校的要求.
20.(12分)已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>1,且a为常数)在区间[-1,1]上的最大值为14.
(1)求f(x)的表达式.
(2)求满足f(x)=7时,x的值.
解析:(1)令t=ax>0,因为x∈[-1,1],a>1,所以ax∈1a,a,y=f(x)=t2+2t-1=(t+1)2-2,
故当t=a时,函数y取得最大值为a2+2a-1=14,求得a=3(负值舍去),所以f(x)=32x+2×3x-1.
(2)由f(x)=7,可得32x+2×3x-1=7,即(3x+4)·(3x-2)=0,求得3x=2(3x=-4舍),所以x=log32.
【补偿训练】
定义在R上的偶函数y=f(x)在(-∞,0]上递增,函数f(x)的一个零点为-12,求满足f(log14x)≥0的x的取值集合.
解析:由已知f(x)在[0,+∞)上是减函数且f12=0,所以f(x)≥0等价于-12≤x≤12,所以f(log14x)≥0等价于-12≤log14x≤12,解得12≤x≤2,
故x的取值范围是12,2.
21.(12分)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18]
2
合计
100
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率.
(2)求频率分布直方图中的a,b的值.
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论).
解析:(1)根据频数分布表,100名学生中,课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-10100=0.9.
(2)课外阅读时间落在[4,6)的人数为17人,频率为0.17,所以,a=频率组距=0.172=0.085,
同理,b=0.252=0.125.
(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.
【补偿训练】
某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的,每天只安排1人,每人最多排一天).
(1)一共有多少种安排方法?
(2)其中甲、乙2人都被安排的概率是多少?
(3)甲、乙两人中至少有1人被安排的概率是多少?
解析:(1)用“甲乙”表示安排甲担任周六值班任务,安排乙担任周日值班任务,则所有的安排情况如下:甲乙,甲丙,甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丙丁,丁甲,丁乙,丁丙,共有12种安排方法.
(2)由(1)知在甲、乙、丙、丁4人中安排2人的结果是有限个,属于古典概型.甲、乙2人都被安排的情况包括:甲乙,乙甲,共2种,所以甲、乙2人都被安排(记为事件A)的概率P(A)=212=16.
(3)方法一:“甲、乙2人中至少有1人被安排”与“甲、乙2人都不被安排”这两个事件是对立事件,因为甲、乙2人都不被安排的情况包括:丙丁,丁丙,共2种,则甲、乙两人都不被安排的概率为212=16,所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B)的概率P(B)=1-16=56.
方法二:甲、乙2人中至少有1人被安排的情况包括:甲乙,甲丙、甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丁甲,丁乙,共10种,所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B)的概率P(B)=1012=56.
22.(12分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“仿奇函数”.
(1)已知二次函数f(x)=ax2+2bx-4a(a,b∈R),试判断f(x)是否为“仿奇函数”,并说明理由;
(2)设f(x)=2x+m是定义在[-1,1]上的“仿奇函数”,求实数m的取值范围;
(3)若f(x)=log2x2-mx,x≥2,-3,x<2, 为其定义域上的“仿奇函数”,求负实数m的取值范围.
解析:(1)f(x)为“仿奇函数”等价于关于x的方程f(-x)+f(x)=0有解.
即f(x)+f(-x)=0⇒2a(x2-4)=0,有解x=±2,所以f(x)为“仿奇函数”.
(2)当f(x)=2x+m时,f(x)+f(-x)=0可转化为2x+2-x+2m=0,
因为f(x)的定义域为[-1,1],所以方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解.
令t=2x∈12,2,则-2m=t+1t,
因为g(t)=t+1t在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,
所以g(t)∈2,52,所以-2m∈2,52,
即m∈-54,-1.
(3)当x≥2时,-x≤-2,所以f(x)=
log2(x2-mx),f(-x)=-3.
由f(-x)=-f(x)有解,
得log2(x2-mx)=3(x≥2)有解,
即x2-mx-8=0(x≥2)有解,即m=x-8x在x≥2时有解.
由于y=x-8x在x≥2时单调递增,故m≥-2,又m<0,
综上,实数m的取值范围[-2,0).
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(120分钟 150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.若向量=(2,3),=(4,7),则= ( )
A.(-2,-4) B.(2,4)
C.(6,10) D.(-6,-10)
解析:选A.=+=-=(2,3)-(4,7)=(-2,-4).
2.已知函数f(x)=loga(x-m)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是 ( )
A.增函数 B.减函数
C.奇函数 D.偶函数
解析:选A.由题意,loga(4-m)=0,loga(7-m)=1,解得m=3,a=4,
所以f(x)=log4(x-3),所以f(x)是增函数.因为f(x)的定义域是(3,+∞),不关于原点对称,所以f(x)为非奇非偶函数.
3.下列四个数中,最大的是 ( )
A.log123 B.log43
C.log32 D.12
解析:选C.log123
【补偿训练】
已知f(x)=12x,x≥4,f(x+1),x<4,则f(log23)的值等于 ( )
A.-238 B.111 C.119 D.124
解析:选D.因为log23∈(1,2),
所以f(log23)=f(log23+1)
=f(log26)=f(log26+1)
=f(log212)=f(log212+1)
=f(log224)=12log224=124.
4.袋中有红、黄、白色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取3次,则下列事件中概率是89的是 ( )
A.颜色全相同 B.颜色不全相同
C.颜色全不相同 D.无红颜色球
解析:选B.共有3×3×3=27种可能,而颜色全相同有三种可能,其概率为19.因此,颜色不全相同的概率为1-19=89.
【补偿训练】
奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 ( )
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.不是互斥事件
解析:选C.甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件,故这两个事件不是对立事件.
5.已知向量e1≠0,e2≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,若a与b共线,则下列关系一定成立的是 ( )
A.e1∥e2 B.e1=e2
C.λ=0 D.e1∥e2或λ=0
解析:选D.因为a与b共线,所以存在实数μ,使a=μb,所以e1+λe2=μ·2e1,
所以1=2μ,λ=0.所以λ=0或e1∥e2.
【补偿训练】
已知A(3,7),B(5,2),将按向量a=(1,2)平移后所得向量的坐标是 ( )
A.(3,-3) B.(2,-5)
C.(10,4) D.(1,-7)
解析:选B.=(5-3,2-7)=(2,-5),向量平移,向量的坐标不发生变化,所以,按向量a=(1,2)平移后所得向量的坐标仍然为(2,-5).
6.(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:
则下列结论中错误的是 ( )
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
解析:选C.对于A选项,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.3+7.52=7.4,A选项结论正确,不符合题意.
对于B选项,乙同学课外体育运动时长的样本平均数为:
6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116
=8.50625>8,
B选项结论正确,不符合题意.
对于C选项,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值616=0.375<0.4,
C选项结论错误,符合题意.
对于D选项,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值1316=0.8125>0.6,
D选项结论正确,不符合题意.
7.(2020·全国Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,则 ( )
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a
所以f(a)-f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)=22b+log2b-(22b+log22b)
=log212=-1<0,所以f(a)
当b=1时,f(a)-f(b2)=2>0,此时f(a)>f(b2),有a>b2,
当b=2时,f(a)-f(b2)=-1<0,
此时f(a)
若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围为 ( )
A.0,12 B.(0,1)
C.12,+∞ D.(0,+∞)
解析:选A.由x∈(-1,0),得x+1∈(0,1),又对数函数f(x)=log2a(x+1)的函数值为正值,所以0<2a<1,即0
A.(1,4) B.(1,4]
C.(1,2) D.(1,2]
解析:选C.由题意知,g(x)=x2-2ax的对称轴为x=a,
(1)当a>1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[4,5]上单调递增,且g(x)>0在[4,5]上恒成立,
则a>1,g(4)=16-8a>0,a≤4,所以1
则0
综上可得,1
9.下列说法错误的有 ( )
A.将A,B,C,D四个人平均分成两组,则“A,B两人恰好在同一组”的概率为13
B.抛掷一枚骰子一次,“向上的点数是3的倍数”与“向上的点数是2的倍数”是互斥事件
C.口袋中有5个大小形状相同的小球,2白3黑,一次取2个小球,两球都是白球的概率为110
D.口袋中有5个大小形状相同的小球,2白3黑,一次取2个小球,则“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”是互斥事件
解析:选BD.(1)对于A,将A,B,C,D四个人平均分成两组,共有3种情况,“A,B两人恰好在同一组”的有一种,故“A,B两人恰好在同一组”的概率为13,故A正确;
(2)对于B,因为6既是3的倍数,也是2的倍数,所以向上的点数是6的时候两个事件同时发生,故不是互斥事件,故B错误;
(3)对于C,口袋中有5个大小形状相同的小球,2白3黑,一次取2个小球,设小球编号为1,2,3,4,5,其中1,2是白球,3,4,5是黑球,则样本点为12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共有10个,其中12表示两个都是白球,所以两球都是白球的概率为110,故C正确;
(4)对于D,当取到的两个球是一白一黑时,事件“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”同时发生,故不是互斥事件,故D错误.
10.下列命题中,正确的是 ( )
A.若a+b与a-b是共线向量,则a与b也是共线向量
B.若|a|-|b|=|a-b|,则a与b是共线向量
C.若|a-b|=|a|+|b|,则a与b是共线向量
D.若||a|-|b||=|a|+|b|,则b与任何向量都共线
解析:选ABC.若a与b不共线,则由向量加法和减法的几何意义知,a+b与a-b分别是以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线,因此a+b与a-b不共线,与已知条件矛盾,从而a与b必为共线向量,故命题A正确;由不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|中等号成立的条件可知命题B与C都正确;由||a|-|b||=|a|+|b|可得|a|-|b|=|a|+|b|或|a|-|b|=-|a|-|b|,所以|b|=0或|a|=0,从而b=0或a=0,即说明b不一定为零向量,故命题D不正确.
11.设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N+),若事件Cn的概率最大,则n的所有可能值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:选BC.点P(a,b)共有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)6种情况,得x+y分别等于2,3,4,3,4,5,所以出现3与4的概率最大.所以n=3或n=4.
12.对于0
C.a1+a
解析:选BD.由0
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知平面向量a=2,1,b=2,x,且a-2b∥2a+3b,则实数x= .
解析:由题意可得a-2b=(-2,1-2x),2a+3b=(10,2+3x),
又因为a-2b∥2a+3b,
所以-2×(2+3x)=(1-2x)×10,解得x=1.
答案:1
14.现从A,B,C,D,E五人中选取三人参加一个重要会议,五人被选中的机会均等.A和B同时被选中的概率为 ;A或B被选中的概率为 .
解析:基本事件有“ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,CDE,BCD,BCE,BDE,ADE”共10个.
事件“A和B同时被选中”包含3个基本事件,即ABC,ABD,ABE,所以A和B同时被选中的概率为P1=310;
A,B都不被选中只有事件CDE,所以事件“A或B被选中”包含9个基本事件,所以A或B被选中的概率为P2=910.
答案:310 910
15.若log2[log4(log3x)]=log3[log4(log2y)]=1,则x+y= .
解析:由题意,log4(log3x)=2,
得log3x=16,得x=316;
log4(log2y)=3,
得log2y=64,得y=264.
所以x+y=316+264.
答案:316+264
16.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13 s与19 s之间,将测试结果分成如下六组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18),[18,19].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,设成绩小于17 s的学生人数占全班人数的百分比为x,成绩在[15,17)中的学生人数为y,则从频率分布直方图中可以分析出x= ,y= .
解析:易知成绩小于17 s的学生人数占全班人数的百分比为[1-(0.04+0.06)×1]×100%=90%,成绩在[15,17)中的学生的频率为(0.36+0.34)×1=0.7,人数为50×0.7=35.
答案:90% 35
四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)从某校参加期中考试的高一学生中随机抽取100名得到这100名学生语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分、众数、中位数;
(3)已知学生A的语文成绩为123分,现从成绩在[120,130]中的学生中随机抽取2人参加演讲赛,求学生A被抽中的概率.
解析:(1)由频率分布直方图可得10×(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005.
(2)平均分为x=85×0.005×10+95×0.04×10+105×0.03×10+115×0.02×10+125×0.005×10
=103(分).众数为:90+1002=95(分).
因为80,100的频率为0.005+0.04×10=0.45,100,110的频率为0.03×10=0.3,
所以中位数为100+0.5-0.450.3×10=3053≈101.67 (分).
(3)成绩在[120,130]的人数为100×0.005×10=5(人).设另外4人为B1,B2,B3,B4,抽取2人共有A,B1,A,B2,A,B3,A,B4,B1,B2,B1,B3,B1,B4,B2,B3,B2,B4,B3,B4
10种结果, 学生A被抽中的概率P=410=25.
18.(12分)如图所示,在△ABO中,=14,=12,AD与BC相交于点M.设=a,=b.
(1)试用向量a,b表示.
(2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M,设=λ,=μ,求证1λ+3μ=7.
解析:(1)不妨设=m a+n b,一方面,由于A,D,M三点共线,则存在α(α≠-1)使得=α,于是=,又=12,所以==11+αa+α2(1+α)b,
则m=11+α,n=α2(1+α),
即m+2n=1;①
另一方面,由于B,C,M三点共线,则存在β(β≠-1)使得=β,
于是=,又=14,
所以==14(1+β)a+β1+β b,
则m=14(1+β),n=β1+β,
即4m+n=1.②
由①②可得m=17,n=37,
所以=17a+37b.
(2)由于E,M,F三点共线,
所以存在实数η(η≠-1)使得=η,于是=,又=λ,=μ,
所以==λ1+ηa+μη1+ηb,
于是17a+37b=λ1+ηa+μη1+ηb,
从而λ1+η=17,μη1+η=37,
消去η即得1λ+3μ=7.
19.(12分)某学校为了实现60万元的生源利润目标,准备制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达到5万元时,按生源利润进行奖励,且资金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,但资金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校的要求?
【解题指南】资金y(单位:万元)随生源利润x(单位:万元)的增加而增加,所以是增函数,三个都满足,资金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%,说明y≤3,且y<0.2x,所以画出三个图象,可得对数函数模型符合.
解析:借助工具作出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(如图所示).
观察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合学校的要求.
20.(12分)已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>1,且a为常数)在区间[-1,1]上的最大值为14.
(1)求f(x)的表达式.
(2)求满足f(x)=7时,x的值.
解析:(1)令t=ax>0,因为x∈[-1,1],a>1,所以ax∈1a,a,y=f(x)=t2+2t-1=(t+1)2-2,
故当t=a时,函数y取得最大值为a2+2a-1=14,求得a=3(负值舍去),所以f(x)=32x+2×3x-1.
(2)由f(x)=7,可得32x+2×3x-1=7,即(3x+4)·(3x-2)=0,求得3x=2(3x=-4舍),所以x=log32.
【补偿训练】
定义在R上的偶函数y=f(x)在(-∞,0]上递增,函数f(x)的一个零点为-12,求满足f(log14x)≥0的x的取值集合.
解析:由已知f(x)在[0,+∞)上是减函数且f12=0,所以f(x)≥0等价于-12≤x≤12,所以f(log14x)≥0等价于-12≤log14x≤12,解得12≤x≤2,
故x的取值范围是12,2.
21.(12分)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
组号
分组
频数
1
[0,2)
6
2
[2,4)
8
3
[4,6)
17
4
[6,8)
22
5
[8,10)
25
6
[10,12)
12
7
[12,14)
6
8
[14,16)
2
9
[16,18]
2
合计
100
(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率.
(2)求频率分布直方图中的a,b的值.
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论).
解析:(1)根据频数分布表,100名学生中,课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-10100=0.9.
(2)课外阅读时间落在[4,6)的人数为17人,频率为0.17,所以,a=频率组距=0.172=0.085,
同理,b=0.252=0.125.
(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.
【补偿训练】
某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的,每天只安排1人,每人最多排一天).
(1)一共有多少种安排方法?
(2)其中甲、乙2人都被安排的概率是多少?
(3)甲、乙两人中至少有1人被安排的概率是多少?
解析:(1)用“甲乙”表示安排甲担任周六值班任务,安排乙担任周日值班任务,则所有的安排情况如下:甲乙,甲丙,甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丙丁,丁甲,丁乙,丁丙,共有12种安排方法.
(2)由(1)知在甲、乙、丙、丁4人中安排2人的结果是有限个,属于古典概型.甲、乙2人都被安排的情况包括:甲乙,乙甲,共2种,所以甲、乙2人都被安排(记为事件A)的概率P(A)=212=16.
(3)方法一:“甲、乙2人中至少有1人被安排”与“甲、乙2人都不被安排”这两个事件是对立事件,因为甲、乙2人都不被安排的情况包括:丙丁,丁丙,共2种,则甲、乙两人都不被安排的概率为212=16,所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B)的概率P(B)=1-16=56.
方法二:甲、乙2人中至少有1人被安排的情况包括:甲乙,甲丙、甲丁,乙甲,乙丙,乙丁,丙甲,丙乙,丁甲,丁乙,共10种,所以甲、乙2人中至少有1人被安排(记为事件B)的概率P(B)=1012=56.
22.(12分)对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为“仿奇函数”.
(1)已知二次函数f(x)=ax2+2bx-4a(a,b∈R),试判断f(x)是否为“仿奇函数”,并说明理由;
(2)设f(x)=2x+m是定义在[-1,1]上的“仿奇函数”,求实数m的取值范围;
(3)若f(x)=log2x2-mx,x≥2,-3,x<2, 为其定义域上的“仿奇函数”,求负实数m的取值范围.
解析:(1)f(x)为“仿奇函数”等价于关于x的方程f(-x)+f(x)=0有解.
即f(x)+f(-x)=0⇒2a(x2-4)=0,有解x=±2,所以f(x)为“仿奇函数”.
(2)当f(x)=2x+m时,f(x)+f(-x)=0可转化为2x+2-x+2m=0,
因为f(x)的定义域为[-1,1],所以方程2x+2-x+2m=0在[-1,1]上有解.
令t=2x∈12,2,则-2m=t+1t,
因为g(t)=t+1t在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,
所以g(t)∈2,52,所以-2m∈2,52,
即m∈-54,-1.
(3)当x≥2时,-x≤-2,所以f(x)=
log2(x2-mx),f(-x)=-3.
由f(-x)=-f(x)有解,
得log2(x2-mx)=3(x≥2)有解,
即x2-mx-8=0(x≥2)有解,即m=x-8x在x≥2时有解.
由于y=x-8x在x≥2时单调递增,故m≥-2,又m<0,
综上,实数m的取值范围[-2,0).
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