人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优秀当堂检测题

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
8.6 空间直线、平面的垂直(2)(精讲)
思维导图
常见考法
考法一 线线角
【例1】(2021·广西河池市·高一期末)如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为( )．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】连，相交于点，连、，
因为为的中点，为的中点，有，可得为异面直线与所成的角，不妨设正方形中，，则，
由平面，可得，
则，，
因为，为的中点，所以，．
故选：D.
【举一反三】
1．(2021·浙江高一期末)在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为，连接，，，
因为，故或其补角为直线与直线所成角.
而，，，
故，所以，
所以，因为为锐角，故，
故选：A.
2．(2021·西安市航天城第一中学高一期末)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为( )
A．B．-C．2D．
【答案】A
【解析】如图所示，
分别取，，，的中点，，，，则，，，
或其补角为异面直线与所成角．
设，则，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，
故选：A．
3．(2021·陕西西安市·西安中学高一期末)如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示：
取BC的中点G，连接EG，FG，
因为E，F，G都为中点，所以,
所以，分别为异面直线EF与AB，EF与CD所成的角，
因为，所以
又因为，，所以 所以,
因为，所以故选：A
考法二 线面角
【例2】(2021·河南高一期末)在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【解析】∵，，∴，
∵，，，平面，
∴平面，
∴就是与平面所成的角，即与平面所成的角是，
∵棱柱中，∴与平面所成的角的大小为，
故选：A．
【举一反三】
1．(2021·全国高一课时练习)直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，过作，连接，

在直三棱柱中，因为
所以平面，
故在平面上的射影为,
所以为直线与平面所成的角，
设，又
所以
故故选：A
2．(2021·浙江高一期末)如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值．
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：
因为F、G分别为CD、CE的中点，
所以且，
又因为平面，平面，
所以，,
所以，，
所以四边形ABGF为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
(Ⅱ)因为平面，平面ACD，
所以，所以，
又为等边三角形，F为CD的中点，
所以，
又平面CDE，
所以平面CDE，即平面CDE，
又平面CDE，则，
连接DG，BD，如图所示，
则即为直线和平面所成角，
设，在中，，
在直角梯形ABED中，，
在中，，
所以，
所以直线和平面所成角的正弦值为.
3．(2021·河南焦作市·高一期末)如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，，分别为，，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成线面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)因为底面，底面，
所以，因为，分别为正方形的边，的中点，
，
所以，所以，由
所以，所以，
因为平面，平面，，
所以平面.
(2)由(1)可知平面，
设，如图，连接，则即为直线与平面所成线面角，
因为，所以，，
在中，由于，所以，
所以，所以，
所以在中，，即直线与平面所成线面角的正弦值为.
考法三 面面角
【例3】(2021·全国高一课时练习)如图，三棱台的下底面是正三角形，，则二面角的大小是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】三棱台中，，且，
则，又，且,
所以平面，
所以为的二面角，
因为为等边三角形，
所以.
故选：C
【举一反三】
1．(2021·浙江高一期末)长方体中，，，则二面角的余弦值的大小为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
取中点，连接、，因为，，
所以，，所以即为二面角的平面角，连接，
，，所以，又因为，
在中，，
所以二面角的余弦值为，
故选：B
2．(2021·浙江高一期末)如图，已知平面．
(Ⅰ)求证：平面平面；
(Ⅱ)若，求二面角的大小．
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)平面，平面，，
，，
平面，
平面，平面平面；
(Ⅱ)由(1)得平面，
平面，，
，即为二面角的平面角，
在直角三角形中，，则，
，即二面角的大小为.
3．(2021·陕西西安市·西安中学高一期末)如图所示，在长方体中，，点E是的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：；
(3)求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).
【解析】(1)如图所示：
连接交于点O，连接，则O为的中点.
∵E是的中点，∴
又平面，平面，
∴平面.
(2)由题意可知，四边形是正方形，
∴.
∵平面，平面，
∴.
∵平面，平面，，
∴平面.
又平面，
∴，即.
(3)在中，，，，
∴
∵平面平面，
∴.
∵平面，平面，，
∴平面.
又∵平面，
∴.
∴是二面角的平面角.
在A中，∵，，，
∴，∴二面角的正切值为.