人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算测试题

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
6.2 1 平面向量的线性运算(精练)
【题组一 向量的加法运算】
1．(2020·全国高一课时练习)化简．
(1)．
(2)．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)；
(2).
2．(2020·江西高一期末)下列四式不能化简为的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】对B，，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，故D正确；故选：A.
3．(2020·全国高一课时练习)(1)如图(1)，在中，计算；
(2)如图(2)，在四边形ABCD中，计算；
(3)如图(3)，在n边形中，证明你的结论.

【答案】(1)(2)(3)，见解析
【解析】(1)
(2).
(3).
证明如下：
4．(2020·全国高一课时练习)(1)已知向量,,求作向量，使.
(2)(1)中表示,,的有向线段能构成三角形吗？
【答案】(1)见解析.
【解析】(1)方法一：如图所示，当向量,两个不共线时，作平行四边形，使得，，
则，
又，所以，即，
方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作，使得，，，
则，即，
当向量,两个共线时，如下图：使得，，
则，，
所以，，即.
(2)向量,两个不共线时，表示,,的有向线段能构成三角形，
向量,两个共线时，,,的有向线段不能构成三角形.
5．(2020·全国高一课时练习)一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时河水流速的大小为求船实际航行的速度的大小与方向(精确到l°).
【答案】，方向与水流方向成76°角
【解析】设船的航行速度为，水流速度为，船的实际航行速度为v，v与的夹角为，则
由，得.
船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角.
6．(2020·全国高一课时练习)一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.
【答案】飞机飞行的路程为；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行.
【解析】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行.
【题组二 向量的减法运算】
1．(2021·全国练习)已知向量，，，求作和.
【答案】详见解析
【解析】由向量加法的三角形法则作图：
由向量三角形加减法则作图：
2．(2020·安徽滁州市))化简：( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】．故选：．
3．(2020·全国高一课时练习)化简：
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)； (6)；
(7).
【答案】(1).(2)(3).
(4)(5)(6).(7)
【解析】(1)原式.
(2)原式
(3)原式.
(4)原式
(5)原式
(6)原式.
(7)原式
4．(多选)(2020·全国高三专题练习)下列各式中，结果为零向量的是( )
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对于选项：，选项不正确；
对于选项： ，选项正确；
对于选项：，选项不正确；
对于选项：
选项正确.
故选：BD
5．(多选)(2020·全国高一课时练习)已知为非零向量,则下列命题中正确的是( )
A．若,则与方向相同
B．若,则与方向相反
C．若,则与有相等的模
D．若,则与方向相同
【答案】ABD
【解析】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.
当同向时有,.
当反向时有,
故选：ABD
【题组三 向量的数乘运算】
1．(2020·全国高一课时练习)化简：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】(1)原式；
(2)原式；
(3)原式．
2．(2020·全国高一课时练习)化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)； (2) .
【解析】(1)原式．
(2)原式．
3．(2020·全国高一课时练习)作图验证：
(1)
(2)
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】如图，在平行四边形ABCD中，设，则.
(1)因为，所以
(2)因为，所以
4．(2020·全国高一课时练习)已知点是平行四边形内一点，且＝ ，＝ ，＝ ，试用表示向量、、、及．
【答案】；=；＝ ；＝．
【解析】∵四边形为平行四边形．
∴＝＝；
＝－＝；
＝－＝ ；
＝－＝ ；
＝＋＝ ．
4．(2020·六安市城南中学)如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.
【答案】；；
【解析】，，，
．
．
，，
．
．
5．(2020·全国高一课时练习)向量如图所示，据图解答下列问题：
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示.
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】由图知,
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【题组四 向量的共线定理】
1．(2021·全国)设是两个不共线的向量,若向量与共线,则( )
A．λ=0B．λ=-1
C．λ=-2D．λ=-
【答案】D
【解析】由已知得存在实数k使,即,于是1=2k且λ=-k,解得λ=-.
2．(2020·全国高一课时练习)设是不共线的两个非零向量，已知，，若三点共线，则的值为( )
A．1B．2C．-2D．-1
【答案】D
【解析】因为，故存在实数，使得，又，
所以，故，故选D.
3．(2020·全国高一课时练习)判断下列各小题中的向量与是否共线：
(1)，；
(2)，．
【答案】(1)与共线；(2)与共线．
【解析】(1)，所以与共线；
(2)，所以与共线．
4．(2021·四川乐山市·高一期末)已知向量，不是共线向量，，，
(1)判断，是否共线；
(2)若，求的值
【答案】(1)与不共线.(2)
【解析】(1)若与共线，由题知为非零向量，
则有，即，
∴得到且，
∴不存在，即与不平行.
(2)∵，则，即，
即，解得.
5．(2020·全国高一课时练习)已知非零向量不共线，且，，，，能否判定A，B，D三点共线？请说明理由．
【答案】无法判定A，B，D三点共线，见解析
【解析】无法判定A，B，D三点共线，证明如下：
，
，
所以，
所以向量与共线．
由于向量共线包括对应的有向线段平行与共线两种情况，
所以无法判定A，B，D三点共线．
6．(2020·全国高一课时练习)设是两个不共线向量，已知，，．若，且B，D，F三点共线，求k的值．
【答案】
【解析】，
∵B，D，F三点共线，∴，即．
由题意知不共线，得，解得．
7．(2020·全国高一课时练习)已知是两个不共线的向量，若，，，求证：A，B，D三点共线．
【答案】见解析
【解析】∵，，∴．
又，∴，∴．
∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．
8．(2020·全国高一课时练习)如图所示,在平行四边形中, ，,M为的中点,点N在上,且.证明:M,N,C三点共线.
【答案】证明见解析
【解析】∵,
∴.
连接,则,,
∴,
∴与共线.
又 与有公共点N,
∴M,N,C三点共线.
9．(2020·全国高一课时练习)如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段的一个靠近点B的三等分点,设.
(1)用向量与表示向量;
(2)若,求证:C,D,E三点共线.
【答案】(1),;(2)证明见解析.
【解析】(1)∵,,
∴,
.
(2)证明:
,
∴与平行,
又∵与有共同点C,
∴，，三点共线.
10．(2020·全国高一课时练习)如图所示，已知D，E分别为的边，的中点，延长至点M使，延长至点N使，求证：M，A，N三点共线．
【答案】见解析
【解析】连接，(图略)．
∵D为的中点，且D为的中点，∴四边形为平行四边形，∴，∴．同理可证，．
∴，∴，共线且有公共点A，∴M，A，N三点共线．