2022广安高一下学期期末考试数学（理）试题含解析

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广安市2022年春季高2021级期末考试数学（理工类）注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2．本试卷分为试题卷（1—4页）和答题卡两部分，试题卷上不答题.请将选择题和非选择题的答案答在答题卡的相应位置.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 已知，则下列不等式一定成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.【详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；对于B，因为，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；对于D，因为，所以，所以，故D不正确.故选：B2. （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】结合诱导公式、两角和的余弦公式求得正确答案.【详解】．故选：B3. 设m，n是不同的直线，是平面，则下列说法正确的是（    ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据线面平行、垂直的判定和性质分析判断即可【详解】对于A，当时，或在平面内，所以A错误，对于B，当时，可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误，对于C，当时，或在平面内，所以C错误，对于D，当时，由垂直于同一平面的两条直线平行，可得，所以D正确．故选：D4. 2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫，倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、小雪、霜降三个节气的日影长之和为34.5寸，冬至到秋分等七个节气的日影长之和为73.5寸，问立秋的日影长为（    ）A. 1.5寸 B. 2.5寸 C. 3.5寸 D. 4.5寸【答案】D【解析】【分析】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以日影长可构成等差数列，由题意可得，，从而即可求出数列的首项与公差为，从而根据等差数列通项公式求出即为立秋的日影长．【详解】解：因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以日影长可构成等差数列，由题意可知，则，故，又，解得，所以数列的公差为，，所以立秋的日影长为，故选：D．5. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线与的位置关系为（    ）A. 相交 B. 平行 C. 异面并且垂直 D. 异面但不垂直【答案】D【解析】【分析】将展开图还原成正方体，即可判断两直线的位置关系.【详解】将展开图还原成正方体，由下图可知，直线与的位置关系是：异面.连接BE，则，或其补角即为直线与的夹角，，所以直线与不垂直.故选：D.6. 若，则sin的值为（    ）A.  B.  C. － D. －【答案】D【解析】【分析】用两角差的正弦公式和二倍角公式化简得，再两边同时平方即可求出答案.【详解】，则，，因为所以，两边同时平方得：，所以.故选：D.7. 如图，在正方体中，E，F分别为BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上下两部分，则下部分几何体的正视图为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由，可得截面为，得到几何体，进而得正视图.【详解】如图由于，，由题意得此截面为，由图可知正视图应为A选项，故选：A.8. 已知分别为三个内角的对边，且，则是（    ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角即可求解.【详解】由及正弦定理，得,因为，所以,所以,即，当时，因为，所以，当时，所以，即，因为所以，所以为等腰或直角三角形.故选：D9. 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别为、，此时气球的高是，则河流的宽度约等于（    ）．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】本题可先可将题目放置于矩形中，然后通过求出，通过求出，两者相减，即可得出结果.【详解】如图所示，作矩形，因为从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别为、，所以，，因为气球的高是，所以，则，，，，，，，故选：A.10. 设等差数列的前n项和为，，公差为d，，．则下列结论不正确的是（    ）A.  B. 当时，取得最小值C.  D. 使得成立的最大自然是n是17【答案】D【解析】【分析】根据已知条件结合等差数列的通项公式，性质及求和公式逐个分析判断即可【详解】对于A，因等差数列中，，，所以，所以公差，所以A正确，对于B，由于，，，所以前9项均为负数，所以当时，取得最小值，所以B正确，对于C，，所以C正确，对于D，因为，所以，， ，，所以使得成立的最大自然是n是18，所以D错误，故选：D11. 若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（    ）A.  B. 5 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】正三棱柱的外接球和内切球的球心相同，根据题意画出图形分别求出外接球和内切的半径，再求比值即可【详解】由于三棱柱的外接球和内切球的球心相同，如图，，，因为为正三角形，为的中心，所以，所以，在中，，所以，所以，，所以，故选：A12. 设为等差数列的前n项和，且，，若，则数列的前30项和（    ）A. 60 B. 30 C. －60 D. －30【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差为d，由已知建立方程组求得数列的通项公式，继而可得，再计算，从而可求得答案.【详解】解：设等差数列的公差为d，由，得：，解得，所以数列的通项公式为，所以，，所以，故选：B.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若x，y满足约束条件，则的最大值为______．【答案】10【解析】【分析】先画出可行域，再结合目标函数的几何意义，通过图即可得解.【详解】作出不等式组所表示的区域如下：由得 ，平移直线，当经过点时，截距最大，最大由 ，解得 ，此时的最大值为10.故答案为：10.14. 在等比数列中，，则________．【答案】1【解析】【分析】设等比数列的公比为,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得即可.【详解】设等比数列的公比为.由,得,解得.又由,得.则.故答案为：1【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.15. 已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．【答案】17【解析】【分析】由“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，所以．故答案为：1716. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为______．【答案】2【解析】【分析】结合倍角公式、正弦定理、余弦定理化简得，即，故，可得B的范围，即可根据求得结果【详解】由题，，由正弦定理得，，故，由余弦定理得，故，故，当是，取等号，故，，故，故最大值为2，故答案为：2三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算过程．17. 已知不等式的解集是．（1）求常数a的值；（2）若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值；（2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围【小问1详解】因为不等式的解集是．所以－1和3是方程的解，把代入方程解得．经验证满足题意【小问2详解】若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，所以，解得，所以m的取值范围是．18. 已知，，，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据的范围，利用同角三角函数可求得，从而构造，利用两角和差正弦公式求解得到结果；（2）根据同角三角函数求出；根据两角和的正切公式求得结果.【详解】（1），，.（2），则由（1）可知，，，，.19. 已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）本题可通过累加法求出当时，然后将代入并验证，即可得出结果；（2）本题可通过裂项相消法求出.【小问1详解】当时，，即，则，当时，，满足，综上所述，当时，.【小问2详解】因为，所以，则.20. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，求异面直线PD和EF所成的角的正切值.（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有；【答案】（1）异面直线PD和EF所成的角的正切值为；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知为异面直线PD和EF所成的角或其补角，解三角形结合同角三角函数的基本关系即可得到答案（2）先证明平面，而平面，从而无论点E在BC边的何处，都有【详解】（1）因为E为BC的中点，F是PB的中点，所以，为异面直线PD和EF所成的角或其补角由题意可知，故，，所以异面直线PD和EF所成的角的正切值为；（2）因为PA⊥底面ABCD，所以，又，，所以平面，又，所以平面，而平面，所以，又在等腰三角形中，中线，,所以平面，而平面，所以无论点E在BC边的何处，都有21. 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求；（2）若a，b，c成等差数列，求．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及两角和的正弦公式整理得，即可得到，即可得解；（2）由（1）可得，，再根据等差中项的性质及勾股定理得到方程组，解得，，即可得解.【小问1详解】解：因为，由正弦定理得,因为，，为的内角，所以，所以，所以，即，由题意知，，所以，又，所以．【小问2详解】解：由（1）知，,因为，，成等差数列，所以，则①，又，所以，即②，联立①②得，，所以．22. 已知数列中，，．（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和；（3）若存在，使得成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）证明见解析；    （2）    （3）【解析】【分析】（1）依题意可得，再两边取倒数整理得，即可得到数列表示首项为，公差为的等差数列，再根据等差数列的通项公式求出，即可得解；（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；（3）由（1）可得，利用累乘法求出，则问题转化为存在，使成立，令，利用作差法说明单调性，求出的最小值，即可求出参数的取值范围.小问1详解】解：因为，可得可得，所以即又因为，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，所以.【小问2详解】解：因为，所以，故①，所以②，两式相减可得，所以；【小问3详解】解：由，可得，则，存，使得成立，即存在，使成立，即存在，使成立，设，则，令，当时，，即，当时，，即，当时，可得，即的最小值为3，所以，即实数的取值范围．