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专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧-2023年中考数学二轮专题提升训练
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这是一份专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧-2023年中考数学二轮专题提升训练,共20页。
专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧专题诠释:代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型,最重要的技巧就是代数式的恒等变形.恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等;运用到的主要方法是整体代入,配方法,作差比较法等.通过恒等变形可以求值,求最值,确定字母的范围,比较大小等.第一部分 典例剖析+变式训练类型一 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例1 (大城县校级四模)1.设m>n>0,m2+n2=4mn,则的值( ).A.2 B. C. D.3变式训练(达州中考)2.已知:m2﹣2m﹣1=0,n2+2n﹣1=0且mn≠1,则的值为_____.(2020秋•锦江区校级期末)3.已知2a﹣3b+1=0,则代数式6a﹣9b+1=__.(2022秋•吉县期中)4.请阅读下面解题过程:已知实数a、b满足,且,求的值.解:因为,所以:,因为,所以,所以请利用上面的解法,解答下面的问题.已知实数x满足,且,求的值.类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例2 (2021秋•下城区期中)5.已知实数m,n满足,则代数式的最小值等于___.变式训练(2022•蓝山县校级开学)6.若m,n是方程且的两个实数根,则的最小值是______.(2022秋•海淀区校级月考)7.阅读下列材料,并解答问题:材料:将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.解:由分母,可设;则.对于任意上述等式成立, ,解得:..这样,分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式.(1)将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式;(2)已知整数使分式的值为整数,直接写出满足条件的整数的值.类型三 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围典例3(2021•杭州三模)8.已知2a﹣3x+1=0,3b﹣2x﹣16=0.(1)用含x的代数式分别表示a,b;(2)当a≤4<b时,求x的取值范围.变式训练9.平面直角坐标系中,已知点在双曲线上,且满足,,,求k的取值范围.类型四 通过代数式的恒等变形比较代数式的大小典例4(2019春•灌云县期末)10.已知A=a+2,B=a2﹣3a+7,C=a2+2a﹣18,其中a>2.(1)求证:B﹣A>0,并指出A与B的大小关系;(2)指出A与C哪个大?说明理由.针对训练(2021秋•福清市期末)11.阅读以下材料:利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题,如∵,∴,因此,代数式有最小值根据以上材料,解决下列问题:(1)代数式的最小值为 ;(2)试比较与的大小关系,并说明理由;(3)已知:,求代数式的值.第二部分 专题提优训练(2022秋•遵义月考)12.设,是方程的两个实数根,则的值为( )A.2020 B.2021 C.2022 D.2023(2021春•鼓楼区校级期中)13.若直线经过点,和,,则代数式的值为___.(2022春•定远县期中)14.已知ab=1,因为(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+b2+2①(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2=a2+b2﹣2②所以由①得a2+b2=(a+b)2﹣2,由②得a2+b2=(a﹣b)2+2试根据上面公式的变形解答下列问题:(1)已知a﹣b=2,ab=1,则下列等式成立的是 .①a2+b2=6;②a4+b4=38;③(a+b)2=8(2)已知a+b=2,ab=1,①求代数式a2+b2的值;②求代数式a4+b4的值;③猜想代数式a2n+b2n(n为正整数)的值,直接写出答案,不必说明理由.(2022•襄城区模拟)15.已知实数a、b满足,求代数式的值.(2021秋•忠县期末)16.解答下面各题:(1)当取何值时,代数式有最小值;(2)化简:;(3)当为(1)中所求的值时,算出(2)的结果.(2022秋•北京期末)17.已知:.(1)当时,计算的值;(2)当时,判断P与Q的大小关系,并说明理由;(3)设,若x、y均为非零整数,求的值.(2022春•西乡塘区校级期末)18.阅读材料:材料1 若一元二次方程的两根为、,则,材料2:已知实数、满足、,且,求的值. 解:由题知、是方程的两个不相等的实数根,根据材料1得,根据上述材料解决下面问题:(1)一元二次方程的两根为、,则= ,= .(2)已知实数、满足、,且,求的值.(3)已知实数、满足、,且,求的值.(2022•吴中区模拟)19.老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果,随后用字母A代替了原代数式的一部分:(1)求代数式A,并将其化简;(2)当时,求x的值;(3)当时,求A的值.(2022秋•东城区校级期中)20.阅读下列材料:利用完全平方公式,可以把多项式变形为的形式.例如,==.观察上式可以发现,当取任意一对互为相反数的值时,多项式的值是相等的.例如,当=±1,即=3或1时,的值均为0;当=±2,即=4或0时,的值均为3.我们给出如下定义:对于关于的多项式,若当取任意一对互为相反数的值时,该多项式的值相等,则称该多项式关于=对称,称=是它的对称轴.例如,关于=2对称,=2是它的对称轴.请根据上述材料解决下列问题:(1)将多项式变形为的形式,并求出它的对称轴;(2)若关于的多项式关于=-5对称,则= ;(3)代数式的对称轴是= .
参考答案:1.A【分析】由求得.然后根据代数式的变形得到;最后对所求的代数式进行变形,然后通过代入法进行求值.【详解】∵m2+n2=4mn, ∴,∵,∴ .∴,∴,∴=.故选:A【点睛】本题考查了代数式求值和完全平方公式.此题对代数式进行变形时,需要熟记完全平方公式和平方差公式.2.3【分析】将n2+2n-1=0变形为.据此可得m,是方程x2-2x-1=0的两根,由一元二次方程的根与系数的关系可得m+=2,代入可得.【详解】由n2+2n-1=0可知n≠0.∴1+-=0.∴,又m2-2m-1=0,且mn≠1,即m≠.∴m,是方程x2-2x-1=0的两根.∴m+=2.∴=2+1=3,故答案为3.【点睛】本题主要考查根与系数的关系,解题的关键是将方程变形后得出m,是方程x2-2x-1=0的两根.3.【分析】首先由已知可得,.再将整体代入中求值即可.【详解】∵,∴,∴.故答案为:-2.【点睛】本题考查代数式求值.利用整体代入的思想是解答本题的关键.4.【分析】根据题意直接利用完全平方公式将原式变形得出,进而求出答案.【详解】解:∵,∵,∴,∴,∴,∴,∵,∴.【点睛】此题主要考查了完全平方公式应用,得出的值是解题关键.5.3【分析】根据题意把原式变形,根据配方法把原式写成含有完全平方的形式,根据偶次方的非负性解答.【详解】解:∵,∴,∴,则,∵,∴,即代数式的最小值等于3,故答案为:3.【点睛】本题考查的是代数式的最值,配方法的应用;熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键.6.0【分析】根据根与系数的关系求出与的值,然后把整理成含与的式子,最后整体代入,结合二次函数的性质求解即可.【详解】∵m,n是方程的两个实数根,∴,∴.∵,,∴当时,有最小值,最小值为.故答案为:0.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系,二次函数的最值问题.掌握若是一元二次方程的两根则,,是解题关键.7.(1)(2)满足条件的整数的值为、、、 . 【分析】(1)仿照例题,列出方程组,求出、的值,即可把原式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式;(2)仿照例题,列出方程组,求出、的值,把原式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式,再根据整除运算即可解答.【详解】(1)解:由分母,可设则,对于任意上述等式成立,,解得:,,这样,分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式;(2)解:由分母,可设,则,∵对于任意上述等式成立,,解得:,,整数使分式的值为整数,∴为整数,满足条件的整数、、、.【点睛】本题考查的是分式的混合运算,掌握多项式乘多项式的运算法则、二元一次方程组的解法,读懂材料掌握方法是解题的关键.8.(1),;(2)﹣2<x≤3.【分析】(1)直接利用已知将原式变形求出答案;(2)利用a≤4<b得出关于x的不等式求出答案.【详解】解:(1)由2a﹣3x+1=0,得,由3b﹣2x﹣16=0,得;(2)∵a≤4<b,∴≤4,>4,解得:﹣2<x≤3.【点睛】此题主要考查了不等式的性质,直接将原式变形是解题关键.9..【分析】结合题意,依据,可得即,由,可得,整理即可得,结合题意即可得k的取值范围.【详解】解:,,,,,或,解得:或(不合题意舍去),,,,,,,,,在双曲线上,,.【点睛】本题考查了反比例函数上点的特点,整式的化简及平方的非负性;解题的关键是通过平方的非负性得到.10.(1)证明见解析,B>A;(2)当2<a<4时,A>C;当a=4时,A=C;当a>4时,A<C,理由见解析.【分析】(1)根据题意列出式子,利用完全平方公式把式子变形,根据非负数的性质解答;(2)把C−A的结果进行因式分解,根据有理数的乘法法则解答.【详解】解:(1)B﹣A=(a2﹣3a+7)﹣(a+2),=a2﹣3a+7﹣a﹣2,=a2﹣4a+5,=(a2﹣4a+4)+1,=(a﹣2)2+1,∵(a﹣2)2≥0,∴(a﹣2)2+1≥1,∴B﹣A>0,∴B>A;(2)C﹣A=(a2+2a﹣18)﹣(a+2),=a2+2a﹣18﹣a﹣2,=a2+a﹣20,=(a+5)(a﹣4),∵a>2,∴a+5>0,当2<a<4时,a﹣4<0,则C﹣A<0,即A>C,当a=4时,a-4=0,则C﹣A=0,即A=C,当a>4时,a﹣4>0,则C﹣A>0,即A<C.【点睛】本题考查的是配方法的应用、因式分解的应用,掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键.11.(1)1(2),见解析(3)2 【分析】(1)将代数式配方可得最值;(2)作差并配方,可进行大小比较;(3)变形后得:代入中,再利用配方法即可解决问题.【详解】(1)解:,∵,∴,即代数式的最小值为1;故答案为:1;(2),理由如下:,∵,∴;(3)∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴,∴.【点睛】本题考查非负数的性质、配方法的应用,解题的关键是熟练掌握配方法,利用配方法可以确定最值问题,属于中考常考题型.12.B【分析】由题意根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出,将其代入中即可得出答案.【详解】解:∵,是方程的两个实数根,∴,∴=2022-1=2021.故选:B.【点睛】本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解,根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出是解题的关键.13.9【分析】由直线经过点和,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出,进而可得出,再将其代入中即可求出结论.【详解】解:∵直线经过点和,∴,∴,∴,∴.故答案为:9.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及完全平方公式,牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键.14.(1)①③;(2)①2;②2;③2【分析】(1)根据完全平方公式分别计算即可;(2)根据完全平方公式得到①②的值都是2,猜想③的值也是2.【详解】解:(1)①a2+b2=(a﹣b)2+2ab=22+2×1=6,故该选项正确;②a4+b4=(a2+b2)2﹣2a2b2=62﹣2(ab)2=36﹣2×12=34,故该选项错误;③(a+b)2=(a﹣b)2+4ab=22+4×1=8,故该选项正确,故答案为:①③;(2)①a2+b2=(a+b)2﹣2ab=22﹣2×1=2;②a4+b4=(a2+b2)2﹣2a2b2=22﹣2(ab)2=22﹣2×12=2;③∵①②的答案都是2,∴猜想:a2n+b2n=2,理由如下:∵a+b=2,ab=1,∴(a﹣b)2=(a+b)2-4ab=22-4×1=0,∴a﹣b=0,∴a=b=1,∴a2n+b2n=12n+12n=2.【点睛】本题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键.15.,1【分析】先利用完全平方公式、平方差公式、整式加减运算法则化简原式,再根据同底数幂的乘法运算法则求得a+2b=3,然后代值求解即可.【详解】解:==,∵,∴a+2b=3,则=9,∴原式=9-8=1.【点睛】本题考查整式的化简求值、同底数幂的乘法、完全平方公式和平方差公式,熟记公式和运算法则是解答的关键.16.(1)2(2)(3) 【分析】(1)代数式配方变形后,利用完全平方式大于等于0,即可得出结果;(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果即可;(3)把a=2代入求解即可.【详解】(1)解:∵(x-2)2≥0,∴x2-4x+6=x2-4x+4+2=(x-2)2+2≥2,则当x=2时,代数式x2-4x+6的最小值;(2)解:;(3)解:由(1)得a=2,则原式=.【点睛】第(1)题考查了配方法的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.第(2)(3)题主要考查了分式的化简求值,解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则.17.(1)(2),详见解析(3)12或18 【分析】(1)将代入计算的值即可;(2)先求差,再比较差与0的大小关系.(3)先表示,再求,的整数值,进而可以解决问题.【详解】(1)当时,;(2)当时,,理由如下:,,或,当且时,;当时,;(3),,,,、均为非零整数,时,,;时,,;综上所述:的值为18或12.【点睛】本题考查分式运算和比较大小,正确进行分式的加减运算是求解本题的关键.18.(1)-2,;(2)-;(3)45.【详解】试题分析:(1)直接根据根与系数的关系求解;(2)利用m、n满足的等式,可把m、n可看作方程3x2-3x-1=0的两实数解,则根据根与系数的关系得到m+n=1,mn=-,接着把m2n+mn2分解得到mn(m+n),然后利用整体代入的方法计算;(3)由实数p、q满足p2=7p-2、2q2=7q-1,且p≠2q,即可得出p、2q是方程x2-7x+2=0的两个不相等的实数根,根据根与系数的关系即可得出p+2q=7、p•2q=2pq=2,利用配方法可将代数式p2+4q2变形为(p+2q)2-2×2pq,再代入p+2q=7、p•2q=2pq=2即可求出结论.试题解析:(1)-2,(2)由题意知:m、n是方程3x2-3x-1=0的两个不相等的实数根,∴m+n=1,mn=-,∴m2n+mn2=mn(m+n)=-×1=-.(3)∵2q2=7q-1,∴4q2-14q+2=0,即(2q)2-7×2q+2=0.又∵p2=7p-2,即p2-7p+2=0,∴p、2q是方程x2-7x+2=0的两个不相等的实数根,∴p+2q=7,p•2q=2pq=2,∴p2+4q2=(p+2q)2-2×2pq=72-2×2=45.19.(1)(2)2(3)当时, 【分析】(1)根据被除数=除数×商,变形计算即可.(2) 根据题意,得,解方程即可.(3)根据被除数=除数商,变形计算即可.【详解】(1)∵,∴,∴==.(2)根据题意,得,∴2x+1=5x-5,解得:x=2,经检验,x=2是方程的根.(3)当时,==.【点睛】本题考查了分式的混合运算,解分式方程,分式的化简求值,熟练掌握运算法则,灵活解方程,规范求值是解题的关键.20.(1),对称轴为x=3;(2)5;(3)【分析】(1)加上,同时再减去,配方,整理,根据定义回答即可;(2)将配成,根据对称轴的定义,对称轴为x=-a,根据对称轴的一致性,求a即可;(3)将代数式配方成=,根据定义计算即可.【详解】(1)==.∴该多项式的对称轴为x=3;(2)∵=,∴对称轴为x=-a,∵多项式关于=-5对称,∴-a=-5,即a=5,故答案为:5;(3)∵===,∴对称轴为x=,故答案为:.【点睛】本题考查了配方法,熟练进行配方是解题的关键.