专题03 “配方法”的八种应用-2023年中考数学二轮专题提升训练

专题03 “配方法”的八种应用

类型一 判断代数式的正负

（2021 秋•牡丹江期末）

1．已知为任意实数，则多项式的值为（    ）

A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．正数或负数或零

类型二 比较大小

（2021•潍坊一模）

2．已知（为任意实数），则的大小关系为（　　　）

A． B． C． D．不能确定

（2020•浙江自主招生）

3．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x，y)的个数为_____．

（2022秋•朝阳区校级期中）

4．证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

类型三 配方变形

（2019春•西湖区校级期中）

5．如果，那么a，m的值分别为(      )

A．3，0 B．9， C．9， D．，9

6．∵，∴我们把形如的式子称为完全平方式．请解决下列问题：

(1)代数式中，当　 　时，代数式为完全平方式；

(2)代数式中，当　 　时，代数式为完全平方式；

(3)代数式为完全平方式，求m的值．

类型四 用配方法求代数式的最值

（2014春•宜兴市校级期中）

7．甲，乙两名同学对问题“求代数式的最小值”提出各自的想法．甲说：“可以利用已经学过的完全平方公式，把它配方成，所以代数式的最小值为”．乙说：“我也用配方法，但我配成，最小值为2”．你认为(　　)

A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对

（2021秋•台江区期末）

8．阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为≥0，所以≥1，当时，=1，因此有最小值1，即的最小值为1．

通过阅读，解下列问题：

（1）代数式的最小值为                ；

（2）当取何值时，代数式有最大或最小值，并求出最大或最小值；

（3）试比较代数式与的大小，并说明理由．

（2021春•奉化区期末）

9．已知实数m，n满足，则代数式的最小值为________．

10．已知x=m是一元二次方程x2+2x+n-3=0的一个根，则m+n的最大值等于（  ）

A． B．4 C． D．

类型五 配方法在多元二次方程中的应用

（2017秋•蓬溪县期末）

11．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（  ）．

A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．无法确定

12．已知a，b，c满足，，，则的值是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

（2020秋•犍为县期末）

13．已知实数、y、满足：(，下列式子一定成立的是(　　)

A． B． C． D．

（2022秋•鼓楼区校级月考）

14．已知，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C．3 D．4

（2020•蜀山区校级模拟）

15．已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值是_____．

类型六 用配方法分解因式

（2022春•吉安期末）

16．请看下面的问题：把分解因式．分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即减去此项，即可得：

人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解．

（1）；    

（2）．

类型七 用配方法化简二次根式

17．化简：的结果是___．

类型八 配方法与根的判别式综合运用

（2020•黄州区校级模拟）

18．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根，则=_____．

19．如果关于x的方程 (其中，，均为正数)有两个相等的实数根，证明：以，，为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征．

参考答案：

1．B

【分析】利用完全平方公式进行转化即可得出结果．

【详解】解：

∵

∴

故选：

【点睛】本题主要考查了因式分解，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键．

2．B

【分析】利用作差法比较即可．

【详解】根据题意，得

＝，

∵

∴

∴，

故选B．

【点睛】本题考查了代数式的大小比较，熟练作差法，灵活运用完全平方公式，配方法的应用，使用实数的非负性是解题的关键．

3．9

【分析】由已知不等式变形后，利用完全平方公式化简，根据x与y均为整数，确定出x与y的值，即可得到结果．

【详解】解：由题设x2+y2≤2x+2y，得0≤（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，

因为x，y均为整数，所以有或或或

解得： 或或或或或或或或，

以上共计9对（x，y）．

故答案为：9．

【点睛】本题考查坐标与图形的性质、配方法的应用、非负数的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

4．见详解

【分析】根据一元二次方程的定义可进行求解．

【详解】解：由关于x的方程可知：

，

∵，

∴，

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

5．B

【分析】先将右边的式子展开，再通过与给出的式子进行左右之间的对比，即可得到结果.

【详解】解：，

∴a=9，，

∴m=

故选B.

【点睛】本题主要考查学生对一元二次方程的理解与应用及对完全平方公式的掌握.

6．(1)9

(2)

(3)m的值为8或4

【分析】（1）根据完全平方式的特点即可求解；

（2）根据完全平方式的特点即可求解；

（3）根据完全平方式列出关于m的方程，解方程即可求解．

【详解】（1）解：代数式中，当时，代数式为完全平方式；

故答案为：9；

（2）解：代数式中，当时，代数式为完全平方式；

故答案为：；

（3）解：∵代数式为完全平方式，

∴，

∴，

，

，

∴，

，

，，

经检验，是原方程的解，

∴m的值为8或4．

【点睛】本题主要考查了完全平方式的定义，熟记完全平方公式是解答本题的关键．

7．B

【分析】先用配方法得到和，再根据x和一定同号判断出正确的解析式．

【详解】．因为x和一定同号，不可能出现的情况．

所以 ．故甲错误．

当时，，此时的最小值是2，所以乙正确．

故选B．

【点睛】本题考查了配方法的应用．此题注意x和的关系：互为倒数，显然它们的平方和只有在都是1或－1时，有最小值．

8．（1）-31；（2）x=3，最大值为17；（3），理由见解析

【分析】（1）将代数式利用完全平方公式变形，即可解决问题．

（2）将代数式利用完全平方公式变形，即可解决问题．

（3）将两式相减，再利用完全平方公式变形，即可解决问题．

【详解】解：（1）∵x2+10x-6=（x+5）2-31≥-31，

∴代数式x2+10x-6的最小值为-31，

故答案为：-31；

（2）∵-x2+6x+8=-（x-3）2+17≤17，

∴当x=3时，代数式-x2+6x+8的值有最大值为17；

（3）∵4x2-2x-（2x2+6x-9）=2（x-2）2+1＞0，

∴4x2-2x＞2x2+6x-9．

【点睛】本题考查非负数的性质、分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用完全平方公式可以确定最值问题，属于中考常考题型．

9．11

【分析】由 可得，再代入，再利用配方法配方，从而可得答案．

【详解】解： ∵，

∴，

∴

 ∴，

 ∴的最小值是．

故答案为：

【点睛】本题考查的是代数式的最值，配方法的应用，熟练的运用配方法求解代数式的最值是解本题的关键．

10．A

【分析】先利用一元二次方程的根的判别式、根的定义求出m的取值范围和，再利用二次函数的性质求最值即可得．

【详解】由题意得：此方程的根的判别式，

解得，

是一元二次方程的一个根，

，即，

对于任意实数m，均成立，

令，

整理得：，

由二次函数的性质可知，当时，y取得最大值，最大值为，

即的最大值等于，

故选：A．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根的定义、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．

11．C

【分析】利用因式分解将已知等式变形为，即可得到a=b，由此判断三角形的形状．

【详解】解：，

由平方差公式得：，

∴，

∵a、b、c三边是三角形的边，

∴a、b、c都大于0，

∴本方程解为a＝b，

∴△ABC一定是等腰三角形，

故选C．

【点睛】此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．

12．C

【分析】将已知三个等式的左右分别相加，然后根据配方法将其转化为偶次方的和的形式；最后根据非负数的性质解答即可．

【详解】解：∵，，，

∴，

∴，

即，

∴，

∴，

∴．

故选：C．

【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质，解题的关键是根据完全平方和公式将代数式转化为偶次方的和的形式，求出a，b，c的值．

13．D

【分析】先将原式展开，然后重组后配方得到，从而得到正确的选项．

【详解】解：根据题意

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

故选：D．

【点睛】考查了因式分解的应用，解题的关键是能够将原式进行适当的变形，难度不大．

14．C

【分析】把两个等式相减得，结合，可得关于a的不等式，结合完全平方公式，即可求解．

【详解】解：∵①，②，

∴①-②得：，即，

∵，

∴，即，

∵，

∴，解得：a=3．

故选C．

【点睛】本题主要考查不等式以及完全平方式的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．

15．2或3

【分析】由a−b＝2，得出a＝b＋2，进一步代入，利用完全平方公式得到，再根据已知条件求出b的值，进一步求得a的值即可．

【详解】解：∵a−b＝2，

∴a＝b＋2，

∴

＝0，

∴，

∵b≥0，−2≤c＜1，

∴，

∴，

∴，

∴3＜≤12，

∵a是整数，

∴b是整数，

∴b＝0或1，

∴a＝2或3，

故答案为：2或3．

【点睛】此题考查配方法的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键．

16．（1）；（2）

【分析】（1）把原式加上 再减去化为，再利用平方差公式分解即可；

（2）把原式加上 再减去化为，再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：（1）

（2）

【点睛】本题考查的是阅读信息题，考查的是学生的自主探究，总结方面的能力，同时考查利用公式法分解因式，掌握完全平方公式与平方差公式的特点是解题的关键.

17．2

【分析】利用完全平方公式以及二次根式的性质化简求出即可．

【详解】解：

故答案为：2．

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．

18．

【分析】因为方程有实根，所以△≥0，配方整理得（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，再利用非负性求出a，b的值即可.

【详解】∵方程有实根，

∴△≥0，即△=4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，

化简得：2a2+4ab+4b2﹣2a+1≤0，

∴（a+2b）2+（a﹣1）2≤0，而（a+2b）2+（a﹣1）2≥0，

∴a+2b=0，a﹣1=0，解得a=1，b=﹣，

∴=﹣.

故答案为﹣.

19．见解析

【分析】首先整理方程得出，进一步利用根的判别式等于，得出、、的关系判断即可．

【详解】证明：原方程可以整理成，

∵方程有两个相等的实数根，

∴，

整理得：

，

∴，

∴，

∴三角形为等边三角形．

【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系，等边三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键 ．