专题04 一元二次方程根的判别式的应用及根与系数的关系的应用-2023年中考数学二轮专题提升训练

专题04 一元二次方程根的判别式的应用及根与系数的关系的应用

类型一 根的判别式的应用

（1）利用判别式判断方程根的情况

（2022•济源校级模拟）

1．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（    ）．

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．以上结论都不对

（2022春•平潭县期末）

2．对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（    ）

A．有两个相等的实数根 B．无实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法判定

（2）利用判别式求字母系数的值或取值范围

（2021春•文登区期中）

3．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣x＋2＝0有两个实数解，则k的取值范围为________

（2018•南通）

4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__．

（3）根据字母系数判断方程根的情况

（2022•焦作模拟）

5．在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于x的方程的实数根的情况为（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断

（2022秋•福鼎市期中）

6．对于一元二次方程，下列说法：

①若，则它有一根为﹣1；

②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；

③若c是方程的一个根，则一定有成立；

④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；

其中正确的______．

类型二 根与系数关系的应用

（1）利用根与系数关系求代数式的值

（2022秋•电白区期中）

7．已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ）

A． B． C． D．

（2021秋•余干县校级月考）

8．已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式________；

（2001•咸宁）

9．已知，是方程的两实数根，则代数式___．

（2022秋•新田县期中）

10．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ）

A． B． C． D．

（2022秋•罗庄区校级月考）

11．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是和，那么，．

例如：方程的两根分别是和，则，．

请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题：

(1)已知方程的两根分别是和，则        ，        ；

(2)已知方程的两根分别是和．

①求的值；

②求的值．

（2022秋•荔湾区校级期末）

12．已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为（    ）

A．2 B．  C．1 D．0

（2019秋•博白县期中）

13．已知，，为的两个根，则的最小值是___．

14．已知，且有及，则的值为（    ）

A． B．2018 C．3 D．

类型三 一元二次的判别式及根与系数关系的综合应用

（2021秋•黔东南州期末）

15．关于x的方程（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（    ）

A．两个正根 B．两个负根

C．一个正根，一个负根 D．无实数根

（2022•泰山区校级二模）

16．如果关于x的一元二次方程x2+2x+6-b=0有两个相等的实数根x1=x2=k，则直线y=kx+b必定经过的象限是(　　)

A．一、二、三 B．一、二、四 C．二、三、四 D．一、三、四

（2020秋•岫岩县月考）

17．已知关于的一元二次方程的两个根分别为，，利用一元二次方程的求根公式可得：，，利用上述结论来解答下列问题：

（1）已知的两个根为，，则______，______；

（2）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，求的值．

18．已知关于x的一元二次方程．

(1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值．

（2022秋•郾城区期中）

19．已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

20．已知实数a、b，满足，．

(1)求和的值；

(2)求的值．

（2020•浙江自主招生）

21．已知关于x的方程有实根．

（1）求取值范围；

（2）若原方程的两个实数根为，且，求的值．

（2022秋•城关区校级期中）

22．阅读理解：

材料1：对于一个关于x的二次三项式（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令（a≠0），然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：

例：求的取值范围；

解：令

∴

∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0

∴y≥4

∴．

材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：

若关于x的一元二次方程（a＞0）有两个不相等的实数根

则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为：或

则关于x的一元二次不等式（a＞0）的解集为：

请根据上述材料，解答下列问题：

(1)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝　　；

(2)求出代数式的取值范围；

(3)若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n的值．

参考答案：

1．A

【分析】根据新定义列出一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】解：∵

∴，即

整理得，

方程有两个不相等的实数根．

故选A

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

2．B

【分析】先计算根的判别式的值，得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．

【详解】解：∵

，

∴方程无实数根．

故选B．

【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程的根的关系，即当> 0时，方程有两个不相等的实数根，当= 0时，方程有两个相等的实数根，当 < 0时， 方程无实数根．

3．且

【分析】根据二次项系数非零、被开方数非负及根的判别式△≥0列出关于 k 的一元一次不等式组求解即可．

【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+x+2＝0 有两个实数解，

∴

解得：且．

故填且．

【点睛】本题主要考查了根的判别式、二次根式以及一元二次方程的定义，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．

4．

【分析】根据根的判别式即可求出答案．

【详解】由题意可知：△＝4m2−2（1−4m）＝4m2＋8m−2＝0，

∴m2＋2m＝，

∴（m−2）2−2m（m−1）＝−m2−2m＋4＝−＋=，

故答案为.

【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解根的判别式的作用，本题属于基础题型．

5．A

【分析】利用一次函数的性质得到，再判断，从而得到方程根的情况．

【详解】解：∵一次函数的图像不经过第二象限，

∴，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．

6．①②④

【分析】利用因式分解法解方程可对①进行判断；根据根的判别式的意义，由方程有两个不相等的实根得到，则可判断，于是可对②进行判断；由c是方程的一个根得到，只有当时，，则可对③进行判断；利用计算根的判别式得到，则根据根的判别式的意义可对④进行判断．

【详解】解：若时，则，

∴原方程为，

∴

解得，，故①正确；

若方程有两个不相等的实根，则，

∴方程的根的判别式，

∴方程必有两个不相等的实根，故②正确；

∵c是方程的一个根，

∴，

当时，，故③错误；

若，则 ，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确；

故答案为：①②④．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．

7．C

【分析】根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】解：是一元二次方程的实数根，

，

，

，

，是一元二次方程的两个实数根，

，

．

故选：．

【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．

8．1

【分析】根据韦达定理可得，，整体代入求解即可．

【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，

∴，，

∴，

故答案为：1．

【点睛】本题考查韦达定理，掌握韦达定理是解题的关键．

9．

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得、，然后将其代入由变形后的代数式求值．

【详解】解：∵，是方程的两实数根，

∴即有：，，

∴．

故答案是：．

【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

10．C

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可知，，将变形后得到，由此即可求解．

【详解】解：∵，是方程的两个实数根，且，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：．

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

11．(1)，

(2)①31；②29

【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用一元二次方程的根与系数的关系即可得；

（2）①根据一元二次方程的根与系数的关系可得，利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算即可得；

②先根据一元二次方程根的定义得到，则，然后利用整体代入的方法计算即可得．

【详解】（1）解：方程，即的两根分别是和，

，，

故答案为：，．

（2）解：①方程的两根分别是和，

，

；

②方程的两根分别是和，

，，

，

．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．

12．C

【分析】设方程的两根分别为t，，利用根与系数的关系得到，，利用代入消元法得到，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值．

【详解】解：设方程的两根分别为t，，

根据题意得：，，

把代入得，

整理得，

解得：或（舍去），

∴m的值为1，故C正确．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

13．22

【分析】根据根与系数的关系和完全平方公式求解即可求出答案．

【详解】解：由题意可知：，，

∴原式

，

令，

其对称轴为： ，对称轴右边随的增大而增大，

∴时，原式的最小值为22．

故答案为：22．

【点睛】本题考查了一元二次方程，二次函数的性质，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．

14．D

【分析】把两边都除以，得，从而知x、是的两根，根据韦达定理可得答案．

【详解】解：∵，

∴，

则x、是的两根，

∴，

∵3，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了根与系数的关系．根据已知条件得到x、是关于x的方程的两根是解题的难点．

15．C

【分析】先把方程化成一般形式，再根据的结果判断根的情况，然后根据两根之积可得出结论．

【详解】解：∵关于x的方程（p为常数），

∴，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根.

根据根与系数的关系，方程的两个根的积为，

∴一个正根，一个负根.

故选：C．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等，若，是一元二次方程的两根时，，．当，方程有实数根，当时，方程没有实数根.

16．B

【分析】一元二次方程x2+2x+6-b=0有两个相等的实数根，则判别式的值为0，就要以求出b的值，由根与系数的关系可得2k=-2，就可以求出k的值，进而可以判断一次函数经过的象限．

【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+6-b=0有两个相等的实数根x1=x2=k，

∴△=22-4×(6-b)=0，

∴b=5，

由根与系数的关系，得2k=-2，

∴k=-1，

∴直线y=kx+b经过第一、二、四象限．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一次函数的图象及性质，综合运用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．

17．（1）；；（2）3

【分析】（1）由韦达定理直接得出m+n，mn的值即可；

（2）由韦达定理可得：，，将它们代入变形后的一元二次方程，得到关于k的一元二次方程，解方程求出k的值，并根据根的判别式对一元二次方程的实数根的情况进行判断，不合题意的k值舍去即可．

【详解】解：（1）；．

（2）关于的一元二次方程有两个实数根，，

，．

，即，

，整理得：，

，

，．

当时，原方程为，

，

符合题意；

当时，原方程为，

，

不符合题意，舍去．

的值为3．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法、韦达定理以及根的判别式，熟记公式并整体代入是解题关键．

18．(1)见解析；

(2)3

【分析】（1）先根据判别式的值得到，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据根与系数的关系得到，，再根据勾股定理得到，接着利用完全平方公式变形得到，则，然后解方程后利用方程的两根为正数确定k的值．

【详解】（1）证明：，

所以无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：，，

∵、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，

∴，

∴，

∴，

整理得，

解得：，，

∵，，

∴k的值为3．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况及根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程；熟练掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键，对于一元二次方程，若，方程有两个不相等的实数根，若，方程有两个相等的实数根，若，方程无实数根；若、是一元二次方程的两根时，，．

19．（1）见解析；（2）k的值为3或4．

【分析】（1）根据计算一元二次方程根的判别式，其结果大于0即可得证；

（2）根据一元二次方程根的意义，代入，求得，进而解一元二次方程，根据等腰三角形的定义以及构成三角形的条件分析判断即可．

【详解】（1）证明：∵＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，

∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：∵＝1＞0，

∴AB≠AC，

∴AB、AC中有一个数为4．

当x＝4时，原方程为：16﹣4（2k+1）+k2+k＝0，

即k2﹣7k+12＝0，解得：k1＝3，k2＝4．

当k＝3时，原方程为x2﹣7x+12＝0，

∴x1＝3，x2＝4．

∵3、4、4能围成等腰三角形，

∴k＝3符合题意；

当k＝4时，原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．

∵4、5、5能围成等腰三角形，

∴k＝4符合题意．

综上所述：k的值为3或4．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程根的意义，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，第二问中对等腰三角形的分类讨论是解题的关键．

20．(1)，

(2)8

【分析】（1）根据完全平方公式以及配方法即可求出答案．

（2）根据配方法对该分式进行变形，然后将与的值代入即可求出答案．

【详解】（1）解：由题意可知：，

，，

令，，

，，

，

解得：或，

或，

，或，；

设、是方程的两个实根，

，

当，时，

，

当，时，

，

，；

（2）解：原式，

当，时，

原式

．

【点睛】本题考查分式的运算及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及完全平方公式，本题属于中等题型．

21．（1）；（2）．

【分析】(1)设，分两种情况讨论,①方程为一元一次方程,②方程为二元一次方程,那么有, 根据△≥0即可求解;

(2)设，，根据根与系数的关系即可求解.

【详解】设，则原方程化为：

当方程（2）为一次方程时，

即a 2-1=0， a=±1．

若a=1，方程（2）的解为，原方程的解为满足条件；

若a=－1，方程（2）的解为，原方程的解为满足条件；

∴a=±1．

当方程为二次方程时，a 2-1≠0，则a≠±1，

要使方程有解，则

，

解得：，此时原方程没有增根，

∴取值范围是．

（2）设，，则

则是方程（a 2-1）y 2-（2a+7）y+1=0的两个实数根，

由韦达定理得：

∵， ∴，解得：

∴．

【点睛】题考查了根与系数的关系，根的判别式及分类讨论的数学思想，关键是掌握根与系数之间的关系进行解题.

22．(1)a＝6或a＝﹣6

(2)y或y≥﹣2

(3)或

【分析】（1）根据材料一设，化为x的一元二次方程用△≥0得y的范围，再列出a的方程求解；

（2）设y＝，变形之后用△≥0求解，再根据材料二得到结论；

（3）用△≥0得到代数式值的不等式，已知代数式值的最大、最小值，实质是已知和这个不等式对应的方程的二根，代入便可以求解．

【详解】（1）解：设，变形为，

∵△≥0，

∴可得，

而由已知y≥﹣6，故3﹣＝﹣6，

∴a＝6或a＝﹣6．

（2）设y＝，变形为，

∵△≥0，

∴，化简得，

先求出的二根，

∴根据材料二得y或y≥﹣2．

（3）设y＝，变形得，

∵△≥0，

∴，

整理得，

由已知可得﹣4≤y≤7，

根据材料二知的二根是，

代入整理得，

解得或．

【点睛】本题难度较大，主要考查阅读能力，能灵活运用阅读材料，涉及方程、不等式解的关系和一元二次方程根的判别式．