专题14 圆中的两解及多解问题（分类讨论思想）归类集训-2023年中考数学二轮专题提升训练

专题14 圆中的两解及多解问题（分类讨论思想）归类集训

类型一 讨论弦上某点或端点的位置

1．在半径为10的中，弦AB的长为16，点P在弦AB上，且OP的长为8，AP长为____________________________；

（2021•无棣县模拟）

2．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（    ）

A． B． C．或 D．或

（2020•黑龙江）

3．在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB=CD=4，则S△ACP=______．

类型二 圆心在两弦之间或者两弦之外

（2021•商河县校级模拟）

4．一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？

5．（1）半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于　  　；

（2）在半径为1的中，弦的长分别为和，则的度数是　    ；

（3）已知圆内接中．，圆心O到的距离为，圆的半径为，求腰长．

类型三 讨论点在优弧上或劣弧上

（2022秋•双城区期末）

6．已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为_____cm．

（2021秋•凉州区校级期末）

7．如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是_____．

类型四 弦所对的圆周角

（2018秋•泗阳县期中）

8．圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆周角等于_______.

（2020秋•溧阳市期末）

9．已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若BC=，则∠A的度数（　　　）

A．30° B．60° C．120° D．60°或120°

类型五 讨论圆内接三角形的形状

（2019•绥化）

10．半径为5的是锐角三角形ABC的外接圆，，连接、，延长交弦于点D．若是直角三角形，则弦的长为__．

11．已知等腰的三个顶点都在半径为5的上，如果底边的长为8，求边上的高．

类型六 讨论点与圆的位置关系

（2020•南通模拟）

12．若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为______．

13．已知点P到的最长距离为，最短距离为．试求的半径长．

类型七 讨论直线与圆的位置关系

（2021•崇明区二模） 

14．已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（　　）

A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切

（2021秋•信都区校级月考）

15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 _____；若⊙C与AB边只有一个有公共点，则r的取值范围为 _____．

（衢州中考）

16．如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着轴向下运动，当⊙C与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　）

A．3秒或6秒 B．6秒 C．3秒 D．6秒或16秒

（2018•浦东新区二模）

17．已知l1//l2，l1、l2之间的距离是3cm，圆心O到直线l1的距离是1cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为_________cm．

（2021秋•新荣区月考）

18．综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心O点放置在AC的中点上，DE与直角边AC重合，如图1所示，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，OD＝3，量角器交AB于点G，F，现将量角器DE绕点C旋转，如图2所示．

（1）点C到边AB的距离为 　   　．

（2）在旋转过程中，求点O到AB距离的最小值．

（3）若半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，求BK的长．

参考答案：

1．

【分析】作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．

【详解】作OC⊥AB于点C

，

∴AC=AB=8，

OC=，又OP=8，

∴PC=，

当点P在线段AC上时，AP=，

当点P在线段BC上时，AP=．

故答案为．

【点睛】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形、运用分情况讨论思想是解题的关键．

2．C

【分析】先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长；

【详解】连接AC，AO，

∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，

∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，

当C点位置如图1所示时，

∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，

∴OM==3cm，

∴CM=OC+OM=5+3=8cm，

∴AC=cm；

当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，

∵OC=5cm，

∴MC=5−3=2cm，

在Rt△AMC中，AC=cm．

故选C．

【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键．

3．或或

【分析】作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，连接OD、OB，则可以求出OE、OF的长度，进而求出OP的长度，进一步得PE与PF长度，最后可求出答案.

【详解】如图所示，作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，

∴AE=BE==2，DF=CF==2，

在中，

∵OB=，BE=2，

∴OE=1，

同理可得OF=1，

∵AB垂直于CD，

∴四边形OEPF为矩形，

又∵OE=OF=1，

∴四边形OEPF为正方形，

又∵ 有如图四种情况，

∴（1）=AP∙CP=×1×3=，

  （2）=AP∙PC=×1×1=，

   （3）=PC∙PA=×3×3=，

   （4）=AP∙PC=×3×1=，

故答案为：或或

【点睛】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理还有圆的综合运用，熟练掌握方法是关键.

4．水面上升的高度为10cm或70cm．

【分析】分两种情形分别求解即可解决问题．

【详解】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB

由垂径定理得：BC＝AB＝30cm，

在Rt△OBC中，OC＝＝40cm，

当水位上升到圆心以下时  水面宽80cm时，

则OC′＝＝30cm，

水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；

当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，

综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．

【点睛】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

5．（1）60°或120度；（2）75°或15°；（3） 或．

【分析】（1）如图1，过O作，利用垂径定理得到，解直角三角形求出，同理得，则，由圆周角定理得到．再由四边形是圆内接四边形，求出即可得到答案；

（2）①如图2所示：连接，过O作于E，于F，②如图3所示：连接，过O作于E，于F，分别解直角三角形求出

即可得到答案；

（3）如图4，假若是锐角，是锐角三角形，连接，作于D，连接，如图5，若是钝角，则是钝角三角形，分别求出对应的的长即可得到答案．．

【详解】解：（1）如图1，过O作，

∴，

∵，

∴，

∴，

同理得，

∴，

∴．

又∵四边形是圆内接四边形，

∴．

故这条弦所对的圆周角的度数等于60°或120度．

故答案为：60°或120度．

（2）解：有两种情况：

①如图2所示：连接，过O作于E，于F，

∴，

由垂径定理得： ， ，

∴cos∠OAE，cos∠OAF，

∴，

∴；

②如图3所示：

连接，过O作于E，于F，

∴，

由垂径定理得： ， ，

∴cos∠OAE，cos∠OAF，

∴，

∴；

故答案为：75°或15°；

（3）分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，

如图4，假若是锐角，是锐角三角形，

连接，作于D，连接，

∵，

∴是的中垂线，

∴也是的中垂线，

∴A、O、D三点共线，

∵，

∴，，

∴；

如图5，若是钝角，则是钝角三角形，

和图4解法一样可得，，

∴，

综上可得腰长的长为或．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，圆内接四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．

6．1

【分析】由垂径定理得出AC，再由勾股定理得出OC，从而得出CD的长．

【详解】解：如图，

∵AB＝cm，∴AC＝cm，

在Rt△AOC中，OC＝cm，

∴CD＝2﹣1＝1cm．

故答案为1．

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，是基础知识要熟练掌握．

7．65°或115°##115°或65°

【详解】本题要分两种情况考虑，如下图，分别连接OC；OB；BP1；BP2；CP1；CP2

（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时：

∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点

∴OC⊥AC，OB⊥AB，

∴∠ACO=∠ABO=90°，

∵∠A=50°，

∴在四边形ABOC中，∠COB=130°，

∴∠BP1C=65°，

（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时

∵四边形BP1CP2为⊙O的内接四边形，

∵∠BP1C=65°，

∴∠BP2C=115°.

综合（1）、（2）可知，∠BPC的度数为65°或115°.

8．45°或135°

【详解】试题分析：如图弦AB把圆分成度数的比为1：3的两条弧，∴∠AOB=360÷（1+3）=90°，∠P=45°，∴∠P’=180°-∠P=135°，故答案为45°或135°；

考点：1．圆周角定理；2．圆内接四边形的性质．

9．D

【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质，求得答案．

【详解】解：如图，作直径BD，连接CD，则∠BCD=90°，

∵△ABC是半径为2的圆内接三角形，BC=，

∴BD=4，

∴CD==2，

∴CD=BD，

∴∠CBD=30°，

∴∠A=∠D=60°，

∴∠A′=180°-∠A=120°，

∴∠A的度数为：60°或120°．

故选：D．

【点睛】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

10．或

【分析】如图1，当时，可得是等边三角形，解直角可求解；如图2，当，推出是等腰直角三角形，解可求解．

【详解】解：如图1，当时，

即，

∴，

∴，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

如图2，当，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

综上所述：若是直角三角形，则弦的长为或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质；正确的作出图形是解题的关键．

11．8或2

【分析】连接并延长交于D点，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出，分两种情况求出即可．

【详解】解：连接并延长交于D点，连接，

∵，

∴，

∴根据垂径定理得：，

∴，

∵，，

∴，

在中，根据勾股定理得：；

①圆心在三角形内部时，如图所示：

三角形底边上的高；

②圆心在三角形外部时，如图所示：

三角形底边上的高．

∴边上的高是8或2．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理，解题的关键是根据题意作出图形，注意分类讨论．

12．或

【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．

【详解】解：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，

若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为a+b，因而半径为；

当此点在圆外时，圆的直径是a﹣b，因而半径是；

故答案为或．

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识．

13．或

【分析】分两种情况进行讨论：①点P在圆内；②点P在圆外，进行计算即可

【详解】解：①当P在外时，如图，

∵P当的最长距离是为，最短距离为，

∴，

∴，

∴的半径为'；

当P在内时，

，

此时，

的半径为．

即的半径长为或．

【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键．

14．D

【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．

【详解】∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm

∴点A在以O为圆心5cm长为半径的圆上，点B在以O圆心3cm长为半径的⊙O上

当AB⊥OB时，如左图所示，由OB=3cm知，直线AB与⊙O相切；

当AB与OB不垂直时，如右图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则OD<OB，所以直线AB与⊙O相交；

∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切

故选：D．

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与半径的大小，从而可确定位置关系．

15．     0<r<     r=

【分析】根据d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内，可得答案；根据圆心到直线的距离等于半径时直线与圆只有一个公共点．

【详解】解：如图，作CH⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB==10，

∵S△ABC=•AC•BC=•AB•CH，

∴CH=，

∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，

∴0<r<；

∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线只有一个公共点，

∴r=．

故答案为：0<r<；r=．

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．

16．D

【详解】试题解析：如图，

∵x=0时，y=-4，

y=0时，x=3，

∴A（3，0）、B（0，-4），

∴AB=5，

当C在B上方，直线与圆相切时，连接CD，

则C到AB的距离等于1.5，

∴CB=1.5÷sin∠ABC=1.5×=2.5；

∴C运动的距离为：1.5+（4-2.5）=3，运动的时间为：3÷0.5=6；

同理当C在B下方，直线与圆相切时，

连接CD，则C运动的距离为：1.5+（4+2.5）=8，运动的时间为：8÷0.5=16．

故选D．

17．2或4

【详解】分析：分两种情况进行讨论即可.

详解：圆与直线有三个公共点，

则：圆与直线相交，与直线相切，分两种情况进行讨论.

如图所示：

半径为：

半径为：

故答案为2或4.

点睛：考查直线与圆的位置关系，根据圆与直线有三个公共点，得出圆与直线相交，与直线相切，是解答此题的关键.

18．（1）；（2）；（3）

【分析】（1）先利用勾股定理求得，进而根据等面积法求解即可；

（2）根据点到直线的距离垂线段最短，即当时，即时，进而即可求得的长，即点O到AB距离的最小值；

（3）根据切线的性质可得，勾股定理求得，进而即可求得的长

【详解】（1）∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，

则

设点C到边AB的距离为，

故答案为：

（2）当时，即时，点O到AB距离的最小；

 中心O点放置在AC的中点上

点O到AB距离的最小值为：

（3） OD＝3，半圆O与Rt△ABC的直角边相切，设切点为K，

在中，,

，

【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，垂线段最短，切线的性质定理，掌握以上知识是解题的关键．