2022-2023学年河北省唐山市第一中学高一上学期10月月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省唐山市第一中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出集合N的元素，根据集合的交集运算即可求得答案.

【详解】由题意得，

故，

故选：D

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可判断出答案.

【详解】命题“”为全称命题，

其否定为特称命题，即，

故选：D

3．如果，则正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】C

【分析】对于A，B，D取反例即可判断结果，根据作差法即可判断C．

【详解】取，则，故A错；

取，则，故B错；

由于，所以，则，故C正确；

取，则，故D错；

故选：C

4．已知集合，且都是全集的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（    ）

A． B．或

C． D．

【答案】A

【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解

【详解】由题意得，，

图中阴影部分为，

故选：A

5．为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用不等式的性质及充分不必要条件的定义即可求解.

【详解】由为真命题，等价于在上恒成立，

所以，即可.

设，，则

由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上，

所以在上单调递减，在上单调递增.

当时，取得最小值为，即，

所以的一个充分不必要条件是的真子集，则满足条件.

故选：A.

6．已知全集，集合.若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】解不等式得，再由集合间关系列不等式组求解

【详解】由题意得，，

而，则，

①若，则，得，

②若，则，解得，

综上，的取值范围，

故选：B

7．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和否命题真假的关系即可求解.

【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，等价于“任意的，使得等式成立”是真命题，又因为，所以，要使，则需或.

所以实数的取值范围为.

故选：D.

8．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A． B．1 C．2 D．8

【答案】C

【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数，确定，然后结合基本不等式得最小值．

【详解】的解集为，则的两根为，，

∴，∴，，则，即，

，当且仅当时取“=”，

故选：C.

二、多选题

9．设正实数满足，则（    ）

A．有最小值4 B．有最小值2

C．有最小值 D．有最小值8

【答案】AD

【分析】利用基本不等式及变形即可求解.

【详解】对于A，，当且仅当且即时，等号成立，所以的最小值为4，故A正确；

对于B，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为2，故B 不正确；

对于C，由不等式可得，当且仅当时，等号成立，

所以的最大值为，故C不正确；

对于D，由不等式可得，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为，故D正确.

故选：AD.

10．下列结论错误的是（    ）

A．满足的集合A的个数是7个

B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

C．设，则“”是“”的充分不必要条件

D．不等式的解集为

【答案】CD

【分析】写出满足的集合A，可判断A;根据“”和“方程有一个正根和一个负根”之间的逻辑推理关系，判断B;根据“”和“”之间的逻辑推理关系判断C;求得的解集判断D.

【详解】对于A，满足的集合有，，，，共7个，A正确；

对于B，方程有一个正根和一个负根”的充要条件为，

推不出，但一定有成立，

故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，B正确；

对于C，，当时， ，推出；当时，一定有，

故“”是“”的必要不充分条件，C错误；

对于D, 不等式的解集为，D错误，

故选：.

11．若不等式的解集是，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．且

C．

D．不等式的解集是

【答案】ABD

【分析】根据一元二次不等式结合一元二次方程以及二次函数的关系判断A；由根与系数的关系可得到的关系，判断B;根据以及的关系可判断C;利用的关系化简，继而解不等式可判断D.

【详解】因为不等式的解集是，

则是方程的两根，且二次函数图象开口向下，

故 ，故A正确；

则 ，故 ，B正确；

由是方程的根，可知 ，

故，C错误；

不等式即，而，

即，即，故，

则不等式的解集是，D正确，

故选：ABD

12．已知关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】对于含参的不等式结合函数图像分类讨论即可得到答案.

【详解】当时,不等式为,解集为

当时,不等式为,令,解得,或,

当时,不等式的解集为，故D正确；

当时,不等式的解集为，

当时,不等式的解集为，故B正确.

对照其他选项可以看出AC错误；

故选：BD.

三、填空题

13．已知实数满足，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据不等式基本性质求出实数的取值范围.

【详解】，所以，且，

所以，即，

综上：

故答案为：

14．已知集合，则___________.

【答案】0或

【分析】分和，当时，利用判别式先求m，然后解方程可得n.

【详解】由题知，方程有唯一实数解n，

所以，当时，；

当时，得，由解得，所以.

所以，或

故答案为：0或

15．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解即可求解.

【详解】由，得，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

因为不等式的解集中恰有个整数，所以或，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

四、双空题

16．已知集合，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为.

（1）若，则这样的集合A共有___________个：

（2）若为偶数，则这样的集合A共有___________个.

【答案】         

【分析】第一空，根据累积值的规定，即可写出答案；第二空，先求集合M的所有子集个数，再求出当n为奇数时的A的个数，即可求得n为偶数时集合A的个数.

【详解】（1）根据题意，，结合“累积值”规定可知，

当时，集合A可以为或共2个；

（2）由题意知，则A的个数共有个；

当为奇数时，共有四种情况，

当时，；

当时，或；当时，或；

当时，或；

故当n为偶数时，A的个数为个，

故答案为：

五、解答题

17．已知集合，．

(1)当时，求；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简集合，根据补集和交集的概念运算可得结果；

（2）由求出，再求出，然后根据列式可求出结果.

【详解】(1)由得，得，

所以，

当时，由，得，

所以，

所以或，

所以.

(2)因为，

所以，

所以，即，

由得，得，，

所以，

因为，所以，，

解得.

18．已知，且，求

（1）的最小值；

（2）的最小值．

【答案】（1）64；（2）18.

【解析】（1）由，得到，利用基本不等式，即可求解.

（2）由，得，根据，结合不等式，即可求解.

【详解】（1）由，可得，

又由，可得，

当且仅当，即时，等号成立，即，

所以的最小值为.

（2）由，得，

因为，可得，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：

（1）“一正”：就是各项必须为正数；

（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

19．设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-5=0}.

(1)若A∩B={2}，求实数a的值；

(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围.

【答案】(1)-1或-3；

(2).

【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；

（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可；

【详解】(1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}.

因为A∩B={2}，所以2∈B，将x=2代入B中的方程，

得a2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3，

当a=-1时，B={x|x2-4=0}={-2，2}，满足条件；

当a=-3时，B={x|x2-4x+4=0}={2}，满足条件，

综上，实数a的值为-1或-3；

(2)对于集合B，=4（a+1）2-4（a2-5）=8（a+3）.

因为A∪B=A，所以B⊆A.

当<0，即a<-3时，B为空集，满足条件；

当=0，即a=-3时，B={2}，满足条件；

当>0，即a>-3时，B=A={1，2}才能满足条件，

则由根与系数的关系，得1+2=-2（a+1），1×2=a2-5，

解得a=-，且a2=7，矛盾.

综上，实数a的取值范围是.

20．已知命题，使为假命题．

(1)求实数的取值集合B；

(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由条件可得关于的方程无解，然后分、两种情况讨论即可；

（2）首先由为非空集合可得，然后由条件可得且，然后可建立不等式求解.

【详解】(1)因为命题，使为假命题，

所以关于的方程无解，

当时，有解，故时不成立，

当时，，解得，

所以

(2)因为为非空集合，所以，即，

因为是的充分不必要条件，所以且，

所以，即，

综上：实数的取值范围为.

21．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供(万元)的专项补贴.A企业在收到政府x(万元)补贴后，产量将增加到(万件).同时A企业生产t(万件)产品需要投入成本为(万元)，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本

（1）求企业春节期间加班追产所获收益(万元)关于政府补贴(万元)的函数关系式；

（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？

【答案】（1），；（2）即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；

【解析】（1）依题意得到的函数解析式；

（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解；

【详解】解：（1）依题意可知，销售金额万元，政府补贴万元，成本为万元；

所以收益，

（2）由（1）可知，

其中，当且仅当，即时取等号，

所以，

所以当时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；

即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

22．已知不等式．

（1）若对不等式恒成立，求实数m的取值范围；

（2）若对不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）讨论当时不是二次函数，成立；当时为二次函数要使在R上恒成立，则开口只能向下，代入计算即可。（2）通过，时为二次函数开口方向分别进行讨论即可。

【详解】（1）①当时，，显然恒成立．

②当时，对恒成立，只需满足

解得

综上，实数m的取值范围是．

（2）令，

①当时，，显然恒成立．

②当时，的图象开口向上，对称轴为，

若对恒成立，只需满足．

即 ，

.

③当时，的图象开口向下，对称轴为

若对恒成立，只需满足，即，

显然成立

．

综上，实数m的取值范围是．

【点睛】此题考查二次函数恒成立问题，关键点通过分类讨论思想解决问题，属于较易题目。