题型01 数列解答题（裂项相消、错位相减、分组与并项）-高考数学必考重点题型技法突破

数列解答题专项练习

一、裂项相消法求和

裂项相消法求和的实质和解题关键

裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．

①裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．

②消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．

注意：利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．

1、已知各项均不相等的等差数列的前项和为, 且成等比数列.

(1)求数列的通项公式;

(2)求数列的前项和.

2、已知数列的前项和为，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

3、设，向量，，.

(1)试问数列是否为等差数列？为什么？

(2)求数列的前项和.

4、已知数列的前项和为，且()，数列满足，()．

(Ⅰ)求数列通项公式；

(Ⅱ)记数列的前项和为，证明：．

5、已知数列是等比数列，且，，成等差数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

6、已知等差数列的公差，其前项和为，若，且成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，证明：.

7、已知数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前项和为，证明：．

8、已知等差数列满足,前7项和.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

9、数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1.现在给你三个条件．①an＋1＝2an.②Sn＝2an＋t.③Sn＝2n＋k.从上述三个条件中．选一个填在下面问题的横线上，并完成后面问题的解答．

已知________，若bn＝log2an＋1，{bn}的前n项和为Tn.

(1)求Tn；

(2)求证：数列的前n项和An＜2.

10、数列{an}满足a1＝1, ＝an＋1(n∈N*)．

(1)求证：数列{a}是等差数列，并求出{an}的通项公式；

(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和．

11、设正项数列的前n项和为，已知

(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式

(2)设数列的前n项和为，且，若对任意都成立，求实数的取值范围.

二、错位相减法

注意解题“3关键”

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比的判断，注意分数和负数的情况．

②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式，注意最后一项的符号．

③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．　

1、已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn，若an＝＋(n∈N*，且n≥2)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记cn＝an·，求数列{cn}的前n项和Tn.

2、已知{an}为正项等比数列，a1＋a2＝6，a3＝8.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)若bn＝，且{bn}的前n项和为Tn，求Tn.

3、已知数列满足，且.

(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

4、设数列的前项和为，且，在正项等比数列中，．

(1)求和的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

5、在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．

(1)求数列，的通项公式．

(2)记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

6、已知数列{an}的首项为a1＝1，且.

(Ⅰ)证明：数列{an+2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)设bn＝log2(an+2)﹣log23，求数列的前n项和.

7、已知数列的前n项和，是等差数列，且.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)令.求数列的前n项和.

8、设等差数列的前项和为，且，.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)设，求数列的前项和.

9、数列满足：

(1)求的通项公式；

(2)若数列满足，求的前项和.

10、已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：

(1)；

(2)数列的前项和.

三、分组求和法与并项求和法

分组转化法求和的常见类型

①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．

②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．　

并项求和法常见类型：数列中带有(-1)n

1、已知数列满足，，.

(1)证明：数列为等比数列；

(2)求数列的前项和.

2、已知是等差数列，是等比数列，且，，，．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

3、已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．

4、已知数列中，，，.

(1)求证：数列是等比数列;

(2)求数列的前项和.

5、等差数列中，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

6、已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，为数列的前项和，求.

7、各项均为整数的等差数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝－1，a2，a3，S4＋1成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列{(－1)n·an}的前2n项和T2n.

8、已知{an}是等差数列，且lg a1＝0，lg a4＝1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k的值及数列{an＋bn}的前n项和．

9、设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)设数列{cn}满足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)．

10、已知等差数列{an}中，a5－a3＝4，前n项和为Sn，且S2，S3－1，S4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Tn.