题型06 函数与导数题型（不等式证明与恒成立问题、极值点偏移与零点问题）-高考数学必考重点题型技法突破

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函数与导数的应用目录一、不等式的证明问题二、极值点偏移问题（换元构造法）三、不等式恒成立问题四、函数的零点问题一、不等式的证明问题1、已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直．(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.              2、已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.               3、已知f(x)＝xln x.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．                4、已知函数f(x)＝aex－ln x－1.(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)设x＝2是函数f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.             5、已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明：f(x)≥.                 二、极值点偏移问题（换元构造法）常见的解题步骤①有参先消参：利用方程f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的参数，若无参数直接利用题目给的等式②抓商构元或抓积换元：令t＝（t＝x1x2），消掉变量x1，x2，构造关于t的函数h(t)　③求导求解：利用导数求解函数h(t)的最小值（最大值），从而可证得结论法二、移项构造法①求导，获得f(x)的单调性，极值情况，做出f(x)的图像，由f(x1)=f(x2)得出x1，x2的取值范围（数形结合法）②构造辅助函数，若结论是x1+x2>(<)2x0,构造F(x)=f(x)-f(2x0-x),若结论是x1x22>(<)x02，则构造F(x)=f(x)-f()，求导，限定范围（x1或x2的取值范围），判定符号获得不等式③带入x1或x2，利用f(x1)=f(x2)和f(x)的单调性证明最终结论1、已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2>e2.                       2、已知函数f（x）＝a（x+2）﹣ex，g（x）＝lnx+（其中e为自然对数的底数，a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：当函数f（x）有极大值，且极大值为a时，若方程g（x）＝m（m为常数）有两个不等实根x1，x2，则x1+x2＞2．            3、已知函数f（x）＝x﹣alnx．（Ⅰ）若f（x）≥1恒成立，求a的取值范围：（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）＝m有两个不同的根x1，x2，求证：x1+x2＞m+1．             4、已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；(2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥.            5、已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数y＝g（x）对任意x满足g（x）＝f（4﹣x），求证：当x＞2，f（x）＞g（x）；（3）若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＞4．         6、已知函数.(1)求证:当时,对任意恒成立;(2)当时,若存在且,满足,求证:.            7、已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)设函数，若存在不相等的实数，，使得，证明：．        8、已知，，.(Ⅰ)若，求的极值；(Ⅱ)若函数的两个零点为，记，证明：．                         9、已知函数，.(1)设函数，讨论的单调性；(2)设函数，若的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：.                               10、已知函数f(x)＝λln x－e－x(λ∈R)．(1)若函数f(x)是单调函数，求λ的取值范围；(2)求证：当0<x1<x2时，e1－x2－e1－x1>1－.                                       三、不等式恒成立问题解题技巧分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”转化关通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)求最值关求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题1、已知f(x)＝xln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．                  2、已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)是否存在一个正实数，满足当时，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.                                3、已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．               4、已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数．(1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．                5、已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围．              6、设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－ln x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)证明：当x>1时，f(x)>0；(2)讨论g(x)的单调性；(3)若不等式f(x)<g(x)对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．           四、函数的零点问题判断函数零点个数的常见方法直接法：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数画图法：转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数定理法：利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决已知函数(方程)零点的个数求参数范围常见方法①函数在定义域上是单调函数，满足零点存在性定理．②若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析．③分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数．1、已知函数且在上的最大值为，(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明                     2、函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围．            3、已知f(x)＝＋－3，F(x)＝ln x＋－3x＋2.(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．              4、已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．              5、已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围．                6、已知函数f(x)＝aex－aex－1，g(x)＝－x3－x2＋6x，其中a>0.(1)若曲线y＝f(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程；(2)若f(x)＝g(x)＋m在[0，＋∞)上有解，求实数m的取值范围．            7、设函数.(Ⅰ)当，时，恒成立，求的范围；(Ⅱ)若在处的切线为，且方程恰有两解，求实数的取值范围.