人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品第一课时课后复习题

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
3.1.1 椭圆
【题组一 椭圆的定义】
1．(2020·全国高三其他(理))已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是_______________.(填出所有正确命题的序号)
【答案】②④
【解析】设点P的坐标为：P(x，y)，
依题意，有：，
整理，得：，
对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，
椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；
对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，
椭圆方程为：，则，解得：，符合；
对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；
对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，
不可能成为焦点在y轴上的双曲线，
所以，不存在满足题意的实数a，正确.
所以，正确命题的序号是②④.
2．(2018·福建高二期末(理))已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，﹣4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．(x≠0)B．(x≠0)
C．(x≠0)D．(x≠0)
【答案】B
【解析】∵△ABC的周长为20，顶点B (0，﹣4)，C (0，4)，
∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，
∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4∴b2＝20，
∴椭圆的方程是故选B．
3．(2020·全国高三其他(文))已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义知，
所以.
又，
如图，设直线交椭圆于，两点.当为点时，最小，最小值为.故选：B
4．(2019·湖北襄阳。高二期中)椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则________.
【答案】
【解析】根据题意，椭圆，其中，，则，
点在椭圆上，若，则，
在△中，，，，
则，则有，故答案为．
5．(2020·上海高二课时练习)椭圆上一点到左焦点的距离为2，是的中点，则等于______
【答案】
【解析】：根据椭圆的定义：,所以,是中点，是的中点，所以．
【题组二 椭圆定义的运用】
1．(2019·吉林省实验高二期末(理))方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】方程x2＋ky2＝2可变形为：，表示焦点在x轴上的椭圆，则有：，
解得.易知当时，，当时未必有，所以是的充分但不必要条件.故选B.
2．(2018·天津静海一中高二期末(理))已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，且，所以或．
故选D．
3．(2019·福建城厢.莆田一中高二期中)“”是“方程表示的曲线为椭圆”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，则，解得：或
或是的真子集，所以“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B
4．(2020·四川射洪中学高二期中(文))若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为( )
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】由于方程为椭圆，且焦点在轴上，所以，解得，所以，长轴长为.故选：D
5．(2020·湖北江岸.武汉二中高二期末)是方程表示椭圆的( )．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，则有，解得且
所以是方程表示椭圆的必要不充分条件故选：B
6．(2020·江西九江一中高二月考(理))方程表示椭圆的一个必要不充分条件是( )
A．m＞0B．m＞4C．m＞0且m≠4D．m＜0
【答案】A
【解析】若方程表示椭圆，则m＞0且m≠4，
∴m＞0是方程表示椭圆的一个必要不充分条件，故选：A
7．(2019·浙江高三其他)已知p：方程表示椭圆，q：.则p是q的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若方程表示椭圆，则解得且，
易知可以推出，但是不能推出，故是的充分不必要条件．故选：A.
8．(2020·广西钦州一中高三开学考试(理))设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】，，由椭圆定义，，
由⊥得，
的面积为4，则，即，
，即,解得，即，故选：C.
【题组三 椭圆的标准方程】
1．(2020·四川青羊.树德中学高三月考(文))已知椭圆的焦点为，．过点的直线与交于，两点．若的周长为8，则椭圆的标准方程为( )．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据椭圆的定义知的周长为，∴，又，，∴，
∴椭圆的标准方程为．
2．(2020·四川外国语大学附属外国语学校高一期末)过点且与有相同焦点的椭圆的方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】椭圆，
∴焦点坐标为：( ，0)，(-，0)，c=，
∵椭圆的焦点与椭圆有相同焦点
设椭圆的方程为：=1，
∴椭圆的半焦距c=，即a2-b2=5
结合，解得：a2=15，b2=10
∴椭圆的标准方程为 ，故选A．
3．(2020·上海高二课时练习)中心在原点，焦点在轴上，焦距为8，且过点(3，0)的椭圆方程为( ).
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【解析】因为焦距为8，所以，即
又因为椭圆的焦点在轴上，且过点(3，0)，所以 ，所以椭圆的方程为.
故选：B
4．(2019·山西高三开学考试(文))在平面直角坐标系xy中，椭圆C的中心为原点，焦点、在x轴上，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，且的周长为16，那么C的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，的周长为16，即,
根据椭圆的性质，有，即；椭圆的离心率为，即，则，故，则，则椭圆的方程为，故选：D．
5．(2020·福建高二期末(文))焦点在x轴上的椭圆x24+y2m=1的离心率为12，则实数m的值为( )
A．1B．3C．2D．3
【答案】D
【解析】焦点在x轴上的椭圆x24+y2m=1的离心率为12，则a2=4,b2=m,c2=4−m,故e=4−m2=12⇒m=3. 故答案为：D.
6．(2020·河北衡水中学高考模拟(文))已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意椭圆：的离心率为得，
椭圆的长轴长与焦距之和为6，，
解得，，则，所以椭圆的标准方程为：，故选D
7．(2020·海林市朝鲜族中学高三课时练习)已知椭圆过点和点，则此椭圆的方程是
A．B．或
C．D．以上均不正确
【答案】A
【解析】设经过两点P和点Q的椭圆标准方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0，m≠n)，
代入A、B得， ，解得 ，∴所求椭圆方程为+x2=1．故选A．
8．(2020·全国高二课时练习)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【解析】由已知，∴.
∵，∴.
∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是或.
【题组四 离心率】
1．点P(x，y)是椭圆(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2≤90°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A．0C．0【答案】A
【解析】方法一：∵点P(x，y)是椭圆上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2≤90°，
∴以为直径的圆与椭圆至多有一个公共点，∴，∴，∴，
∴，∴．故选A．
方法二：
由题意得当点P为短轴的端点时，∠F1PF2最大，只要此时∠F1PF2≤90°即可，
这时|PF1|＝|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，在△PF1F2中由余弦定理得
，∴a2＋a2≥4c2，解得，∴．故选A．
2．(2020·四川高三一模(理))已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】过点倾斜角为的直线方程为：，即，
则圆心到直线的距离：，
由弦长公式可得：，
整理可得：则：.本题选择B选项.
3．(2020·河北新华.石家庄二中)若焦点在轴上的椭圆 的离心率为，则( )
A．31B．28C．25D．23
【答案】D
【解析】焦点在x轴上，所以 所以离心率 ，所以 解方程得m=23所以选D
4．(2020·四川省南充市白塔中学高二月考(文))在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 ( )
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】 可得：，
又 故椭圆的左右焦点分别为：，
和是椭圆的左右焦点
由顶点B在椭圆，根据椭圆的定义可得：
根据正弦定理：，“角化边”
，
故选：A.
5．(2020·四川内江.高二期末(理))已知椭圆的右顶点为，左焦点为，若以为直径的圆过短轴的一个顶点，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设椭圆的焦距为，则，，
因为圆以为直径，
所以半径，圆心到原点的距离为，
因为以为直径的圆过短轴的一个顶点，
所以，即，
化简得，，，
则，，，解得或(舍去)，
故选：B.
10．(2020·全国高三课时练习(理))已知点是以为焦点的椭圆上一点，若，则椭圆的离心率( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆+=1(a＞b＞0)上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF2F1=2，
∴=2，设|PF2|=x，则|PF1|=2x，由椭圆定义知x+2x=2a，∴x=，∴|PF2|=，则|PF1|==，由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2，∴解得c=a，∴e==．