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    高中数学新同步讲义(选择性必修第一册) 3.1.1 椭圆(第一课时)(精讲)

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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆优秀第一课时综合训练题

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆优秀第一课时综合训练题,文件包含高中数学新同步讲义选择性必修第一册311椭圆第一课时精讲教师版含解析docx、高中数学新同步讲义选择性必修第一册311椭圆第一课时精讲学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共20页, 欢迎下载使用。
    第一,必修课程,由国家根据学生全面发展需要设置,所有学生必须全部修习、全部考试。
    第二,选择性必修课程,由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
    第三,选修课程,由学校根据实际情况统筹规划开设,学生自主选择修习。
    2、课程类别变化,必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下,对原必修课程学分进行重构,由必修课程学分、选择性必修课程学分组成,适当增加选修课程学分。
    3、学时和学分变化,高中生全年假期缩减到11周。
    4、授课方式变化,选课制度将全面推开。
    5、考试方式变化,高考统考科目由教育部命题,学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
    3.1.1 椭圆
    思维导图
    常见考法
    考点一 椭圆的定义
    【例1】(1)(2020·上海徐汇.高二期末)已知、是定点,.若动点满足,则动点的轨迹是( )
    直线B.线段C.圆D.椭圆
    (2)(2019·宁波市第四中学高二期中)设是椭圆上的点.若是椭圆的两个焦点,则等于( )
    A.4B.5C.8D.10
    【答案】(1)B(2)D
    【解析】(1)对于在平面内,若动点到、两点的距离之和等于6,而6正好等于两定点、的距离,则动点的轨迹是以,为端点的线段.故选:B.
    (2)因为椭圆的方程为,所以,由椭圆的的定义知,
    故选D.
    椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视.
    定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.
    常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.
    【举一反三】
    1.(2020·河南省鲁山县第一高级中学高二月考)若椭圆上一点P到左焦点的距离为5,则其到右焦点的距离为( )
    A.5B.3C.2D.1
    【答案】D
    【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=1
    2.(2020·东城.北京五十五中高二月考)若椭圆上一点到其焦点的距离为6,则到另一焦点的距离为( )
    A.4B.194C.94D.14
    【答案】D
    【解析】依题意,且.故选:D
    3.下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)
    ①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|=eq \r(2)的点P的轨迹为椭圆;
    ②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段;
    ③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
    【答案】 ②
    【解析】 ①eq \r(2)B>0,解这个不等式就可求出实数的取值范围.
    椭圆,必须要满足解这个不等式就可求出实数的取值范围
    【举一反三】
    1.(2020·广东高三月考(文))“”是“方程表示椭圆”的( )
    A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【解析】因为方程表示椭圆的充要条件是,即且,故“”是“方程表示椭圆”的必要而不充分条件.故选:B.
    2.(2017·浙江东阳.高二期中)如果方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
    A.B.C.或D.或
    【答案】D
    【解析】椭圆的焦点在轴上,,解得或,故选D.
    3.(2019·北京北师大实验中学高二期中)若方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】因为方程表示椭圆,故:,且;
    又该椭圆的焦点在轴上,故只需,解得.故选:D.
    【例2-2】(1)(2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中(文))已知的顶点,在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在上,则的周长是( )
    A.B.C.D.
    (2)(2019·广西田阳高中))已知是椭圆上一点, 为椭圆的两焦点,且,则面积为( )
    A.B.C.D.
    【答案】(1)C
    【解析】(1)的顶点,在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在上,由椭圆的定义可得:的周长是.故选:C.
    (2)由椭圆的标准方程可得:a=5,b=3,∴c=4,
    设|PF1|=t1,|PF2|=t2,所以根据椭圆的定义可得:t1+t2=10①,
    在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,
    所以根据余弦定理可得:|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cs60°=|F1F2|2=(2c)2=64,
    整理可得:t12+t22﹣t1t2=64,②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2=100,③
    所以③﹣②得t1t2=12,
    ∴∠F1PF2=3.故选A.
    【举一反三】
    1.(2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考(文))已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于( )
    A.20B.16C.18D.14
    【答案】C
    【解析】根据椭圆方程可知,根据椭圆的定义可知,的周长为,故选C.
    2.(2018·湖南高二期中(理))已知E、F分别为椭圆x225+y29=1的左、右焦点,倾斜角为60∘的直线l过点E,且与椭圆交于A,B两点,则△FAB的周长为( )
    A.10B.12C.16D.20
    【答案】D
    【解析】椭圆x225+y29=1,可得a=5,
    三角形AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|,|AB|=|AF1|+|BF1|,
    所以:周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,
    由椭圆的第一定义,|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=10,所以,周长=4a=20.故选:D.
    3.已知P是椭圆上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是______.
    【答案】
    【解析】∵|PF1|+|PF2|=4,,又∵∠F1PF2=60°,
    由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cs60°
    12=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-|PF1|·|PF2|,∴,
    ∴.
    考点三 椭圆的标准方程
    【例3】(2020·四川内江,高二期末)分别求适合下列条件的方程:
    (1)焦点在轴上,长轴长为,焦距为的椭圆标准方程;
    (2)与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程
    (3)已知椭圆的两个焦点的坐标分别是,,并且经过点,则此椭圆的标准方程
    【答案】(1);(2)或(3)
    【解析】(1)由已知条件可得,可得,,
    因此,所求椭圆的标准方程为;
    (2)易知椭圆的离心率.
    当所求椭圆的焦点在x轴上时,可设椭圆的方程为,
    把点代入方程,得.
    又,解得,,所以所求椭圆的方程为.
    当所求椭圆的焦点在y轴上时,同理可设椭圆的方程为,
    把点代入方程,得.
    又,解得,,所以所求椭圆的方程为.
    (2)因设椭圆的标准方程为,因为点在椭圆上,
    所以,所以椭圆的标准方程为.此椭圆的标准方程是或.
    根据焦点位置分类讨论,再根据离心率以及点在椭圆上列方程组解得,,即得结果.
    【举一反三】
    1.(2019·全国高二课时练习)求满足下列条件的椭圆的标准方程:
    (1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);
    (2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
    (3)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点和
    【答案】(1) (2)或(3)
    【解析】(1)由焦距是4,可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,
    ,所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦点在y轴上,
    所以椭圆的标准方程为.
    (2)由题意知,2a=26,即a=13,又因为c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,
    因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为或.
    (2)设椭圆的方程为.
    将A,B两点坐标代入方程,得,解得,故所求椭圆的方程为.
    考点四 离心率
    【例4】(1)(2020·武威第八中学高二期末(理))已知椭圆:的一个焦点为,则的离心率为 。
    (2)(2019·江西南昌十中高二期中(文))过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于两点,为椭圆的左焦点,若为正三角形,则椭圆的离心率为
    【答案】(1)(2)
    【解析】(1)根据题意,可知,因为,所以,即,
    所以椭圆的离心率为.
    (2)根据题意,如图所示,
    可得为正三角形,可得在中,有,
    点在椭圆上,由椭圆的定义可得,
    则该椭圆的离心率
    1.椭圆的离心率的求法:
    (1)直接求a,c后求e,或利用e=eq \r(1-\f(b2,a2)),求出eq \f(b,a)后求e.
    (2)将条件转化为关于a,b,c的关系式,利用b2=a2-c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq \f(c,a)(e)的方程求e.
    2.求离心率范围时,常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系,通过解不等式求解,注意最后要与区间(0,1)取交集.
    【举一反三】
    1.(2020·江苏淮安.高二期中)已知椭圆的上顶点为,右顶点为,若过原点作的垂线交椭圆的右准线于点,点到轴的距离为,则此椭圆的离心率为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】由题可知,椭圆的焦点在轴上,
    则,所以,
    由于点在椭圆的右准线上,且到轴的距离为,
    则,所以,
    由题得,,则,
    即,则有,即,
    而,所以,
    整理得:,则,即,
    解得:,
    即椭圆的离心率为.
    故选:C.
    2.(2019·历下.山东师范大学附中)椭圆的短轴长为6,焦点到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆的离心率为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】设椭圆的短轴长为,长轴长为,焦距为,
    则,即;或,
    若,①
    ∵,
    ∴,②
    由①②得:,,
    ∴椭圆的离心率;
    若,③
    ∵,
    ∴,④
    由③④得:,,不符合题意,舍去,
    故椭圆的离心率为.
    故选:C.
    3.(2019·内蒙古通辽实验中学高二月考)椭圆与直线交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则椭圆的离心率为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】由,消去得,,
    设,中点为,


    即离心率,故选B.
    4.(2018·海林市朝鲜族中学高三课时练习)设椭圆C:的左、右焦点分别为、,P是C上的点,⊥,
    ∠=,则C的离心率为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】
    由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|= m, 故离心率e=选D.

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