高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品第二课时课后测评

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
3.1.2 椭圆
思维导图
常见考法
考点一 点与椭圆的位置关系
【例1】已知点P(k,1)，椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．

【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3\r(3),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，＋∞))
【解析】 依题意得，eq \f(k2,9)＋eq \f(1,4)>1，解得k<－eq \f(3\r(3),2)或k>eq \f(3\r(3),2).
【举一反三】
1.已知点(1,2)在椭圆eq \f(y2,n)＋eq \f(x2,m)＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．
【答案】 9
【解析】 依题意得，eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)＝1，而m＋n＝(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(4,n)))＝1＋eq \f(4m,n)＋eq \f(n,m)＋4＝5＋eq \f(4m,n)＋eq \f(n,m)
≥5＋2eq \r(\f(4m,n)·\f(n,m))＝9，当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9.
考点二 直线与椭圆的位置关系
【例2-1】(2020·上海高二课时练习)为何值时，直线和曲线有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
【答案】见解析
【解析】由，得，即
当，即时，直线和曲线有两个公共点；
当，即时，直线和曲线有一个公共点；
当，即时，直线和曲线没有公共点．
【例2-2】(2020·吉林长春.高二月考)直线与椭圆的位置关系为( )
A．相切B．相交C．相离D．不确定
【答案】B
【解析】由题意，直线，可得直线恒过点，
又由，所以点在椭圆的内部，
所以直线与椭圆相交于不同的两点，故选B．
对于含有一个参数的直线方程，往往是过定点的，找到这个定点后，只需要这个定点在椭圆内或是椭圆上即可，也即是.
【举一反三】
1．(2019·全国高二课时练习)直线与椭圆恒有两个公共点，则m的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】已知直线y＝kx＋1与椭圆联立方程组可化为(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0，
要使得直线与椭圆恒有两个公共点，
则△=100k2-4(m+5k2)(5-5m)=20[m2-(1-5k2)m]＞0，m＞0，m≠5．
∴m＞1-5k2，m＞0，m≠5，又k∈R，∴m＞1，且m≠5．
∴m的取值范围为(1，5)∪(5，+∞)故选C
2．(2020·全国高三课时练习(理))(2018·兰州一模)已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[3，＋∞)B．(－∞，3]
C．(3，＋∞)D．(－∞，3)
【答案】A
【解析】∵直线方程为∴直线恒过定点
∵曲线的方程为∴曲线表示椭圆
∵直线与曲线：恒有公共点
∴点在椭圆内或椭圆上，即.∴
故选A.
3.直线y＝x＋m与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是( )
A．－5＜m＜5B．m＜－，或m＞
C．m＜D．－＜m＜
【答案】D
【解析】由，得5x2+8mx+4m2﹣4=0，
结合题意△=64m2﹣20(4m2﹣4)＞0，
解得：－＜m＜，故选：D．
考点三 弦长
【例3】(2020·云南省泸西县第一中学高二期中(文))已知椭圆x24+y29=1及直线l：y=32x+m
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)当m=3时，求直线l被椭圆截得的弦长
【答案】(1)−32,32；(2)13.
【解析】(1)由y=32x+mx24+y29=1消去y，并整理得9x2+6mx+2m2−18=0……①
Δ=36m2−362m2−18=−36m2−18
∵直线l与椭圆有公共点
∴Δ≥0，可解得：−32≤m≤32
故所求实数m的取值范围为−32,32
(2)设直线l与椭圆的交点为Ax1,y1，Bx2,y2
由①得： x1+x2=−2m3， x1x2=2m2−189
∴AB=1+k2⋅x1+x22−4x1x2=1+322⋅−6m92−4×2m2−189=133⋅−m2+18
当m=3时，直线l被椭圆截得的弦长为13
【举一反三】
1．(2020·全国高二课时练习)已知椭圆C：的焦距为，短半轴的长为2，过点P(－2,1)且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求弦AB的长．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)已知椭圆焦距为，短半轴的长为2，即2c=4，b=2，
结合a2=b2+c2，解得a= ，b=2，c=2
故C：.
(2)已知直线l过点P(－2,1)且斜率为1，故直线方程为y-1=x+2，整理得y=x+3，
直线方程与椭圆方程联立
得. 设，．
∴
∴
2．(2020·全国高二课时练习)斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
斜率是1的直线L:y=x+b代入,化简得，
设,则，且，解得.
，
∴b=0时,|AB|的最大值为，故答案为:.
考点四 点差法
【例4】(1)(2020·上海高二课时练习)直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为__________．
(2020·全国高二课时练习)已知椭圆E：，的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为，则E的方程为__________.
(3)直线y＝x＋1与椭圆mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于，则椭圆的离心率等于_________.
【答案】(1).(2)(3)
【解析】(1)设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以由点斜式得．
(2)已知，设，，则①，②，
已知AB的中点坐标为，，
①－②得，
∴，
∵，∴，即，
又，
∴，，即E的方程为.
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，x0＝－，代入y＝x＋1得y0＝.
所以m x12＋n y12＝1，(1)m x22＋n y22＝1，(2)
由(1)-(2)得：，
，∴，
∴e2，∴e＝.故答案为：.
【举一反三】
1．(2020·上海高二课时练习)如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是________
【答案】 y=-0.5x+4
【解析】设弦为，且，代入椭圆方程得，两式作差并化简得，即弦的斜率为，由点斜式得，化简得.
2．(2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习)已知椭圆方程为+y2=1,则过点且被P平分的弦所在直线的方程为________.
【答案】
【解析】设这条弦与椭圆交于点，
由中点坐标公式知,
把代入,
作差整理得，
这条弦所在的直线方程为，
即，故答案为.
3．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2(O为原点)，则k1·k2的值为________.
【答案】－
【解析】设直线的方程为：，由，整理得
：，所以，，
所以，所以
，，所以
4．(2019·内蒙古一机一中高二期中(文))斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点平分，则的离心率是______．
【答案】.
【解析】设直线l与椭圆的交点为
因为弦恰被点 平分，所以
由，两式相减可得：
化简可得：，因为直线l的斜率为，所以
即所以离心率 故答案为
5．(2018·河南高二月考(文))已知椭圆：()的右焦点为，过点的直线交椭圆交于，两点，若的中点，且直线的倾斜角为，则此椭圆的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴，令，，则，
∴，，∴，.故选A.