高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品第二课时练习题

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
3.2.2 双曲线
【题组一 双曲线的离心率】
1．(2020·全国)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：与交于，两点.若，则双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】联立解得，
不妨设，，
而，则，
即，
即，
整理可得，
解得.
故选：A.
2．(2020·四川青羊.树德中学)设是双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若，且，则双曲线C的离心率为( )
A．3B．2C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形．
∴．
设，则，
∴，即．
∵，
又，
在△MF1F2中，由余弦定理可得：，
即，
∴双曲线的离心率e．
故选D．
3．(2019·甘肃省会宁县第二中学高二期末)已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为( )
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】椭圆的焦点坐标为，，
所以，解得，
所以双曲线方程为，离心率，故选：A.
4．(2020·赤峰二中)设双曲线的左、右两焦点分别为，P是双曲线右支上一点，且三角形为正三角形(O为坐标原点)，则双曲线的离心率是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，三角形为正三角形，则，连接
可得，又，即，所以
故选：B
5．(2020·北京高二期中)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，那么该双曲线的离心率是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于双曲线的渐近线为，所以，
所以.
故选：D
6．(2020·广西兴宁)设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为双曲线的两条渐近线方程为，
当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时.
直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，
当渐近线的斜率满足，即时，
直线l与双曲线左、右支均相交，
所以.
故选:C.
8．(2020·东湖江西师大附中高三月考(理))斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点，
所以，所以
所以双曲线离心率的取值范围是
故选：B
【题组二 直线与双曲线的位置关系】
1．(2019·安徽黄山)已知双曲线的左焦点为，过的直线交双曲线左支于、B两点，则l斜率的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线为，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率；当直线斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜率.故选B.
2．(2018·河北张家口.高二月考(文))已知双曲线的离心率等于，直线与双曲线的左右两支各有一个交点，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】双曲线的离心率等于,
,可得
,
双曲线,
直线与双曲线联立可得,
直线与双曲线的左右两支各有一个交点,
,,
即的取值范围是，故选B.
3．(2020·江西东湖.南昌十中高二月考)若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【解析】当直线斜率存在时，设直线L：y=k(x-3)，代入双曲线方程化简得(4-9k2)x2+54k2x-81k2-36=0
要使L与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等，
∴4-9k2=0，或△=0(不成立)，解得k=±
当直线斜率不存在时，直线为x=3，此时与双曲线也只有一个公共点，
故这样的直线有3条，
故选C
4．(2020·定远县民族学校高二月考(理))直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由双曲线与直线联立可 ，因为直线 与双曲线交于不同的两点，所以 可得 ，斜率的取值范围是，故选C.
【题组三 弦长】
1．(2019·会泽县第一中学校高二月考(理))已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若斜率为2的直线交双曲线交于两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或.
【解析】(1)根据待定系数法求双曲线方程，知道，；(2)设直线方程，与双曲线方程联立，得到韦达定理，根据弦长公式，求出直线方程.
试题解析：(1)由，得，又，
∴，
∴双曲线的方程为.
(2)设直线的方程为，，
由，得，
∴，得，
∴弦长，解得，
∴直线的方程为或.
2．(2019·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末(文))过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于A、B两点，
(1)求双曲线的离心率和渐近线；
(2)求|AB|.
【答案】(1)，(2)|AB=8|
【解析】(1)因为双曲线方程为,所以,则,
所以,渐近线方程为
(2)由(1),右焦点为,则设直线为,
代入双曲线中,化简可得,
所以,,
所以
3．(2019·四川省绵阳南山中学高二期中(理))已知双曲线C：的一条渐近线方程为，点是双曲线的一个顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，且与双曲线交于A，B两点求AB的长.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为双曲线C的一条渐近线方程为，所以，即.
又点是双曲线的一个顶点，∴，得，
∴双曲线的方程为
(2)由(1)知，双曲线的右焦点为，
∴经过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线l的方程为，
联立直线与双曲线方程，消y得，
设，，则，，
所以.
4．(2020·盘县红果镇育才学校高三月考(文))已知双曲线C的离心率为，且过点，过双曲线C的右焦点，做倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，为左焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)过点，所以，，所以，又，所以，
所以双曲线的方程为.
(2)结合题意可得直线AB的方程为，
设，，联立方程，消去y，得.
∴，，∴，
直线AB的方程变形为.
∴原点O到直线AB的距离为，∴.
【题组四 点差法】
1．(2019·新疆生产建设兵团第五师高级中学高二月考(文))已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.
【答案】
【解析】设点、，
由题意可得，，，
直线的斜率为，
则，两式相减得，
所以，
由于双曲线的一个焦点为，则，，，
因此，该双曲线的标准方程为.
故答案为：.
2．(2020·平罗中学高二月考(理))点是曲线C：的弦的中点.则直线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，
点是曲线：的弦的中点，
.
把的坐标代入曲线的方程，可得
，两式相减得，，
即，
，
即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故选：.
3．(2018·安徽定远二中高二月考(理))已知椭圆，倾斜角为的直线l与椭圆分别相交于A.B两点，点P为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，
则，
整理得，
又因为，则，
所以，
又因为点P为线段AB的中点，
则，
所以，即，
所以，
即直线OP的斜率为，
故选：B.
4．(2020·银川三沙源上游学校高三二模(理))已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为( )
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】设，因为是弦的中点，根据中点坐标公式得.
直线:的斜率为，故.
因为两点在双曲线上，所以，
两式相减并化简得，
所以，所以.
故选：D
5．(2020·萍乡市湘东中学高二期中(文))直线恒过定点，若点是双曲线的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，得，
所以定点为，
设这条弦与双曲线的两交点分别为，
则有，
两式相减得，
得，
为弦的中点，所以弦的斜率存在，
弦所在直线斜率，
利用点斜式可得弦所在的直线方程为
在双曲线内部且斜率不等于(渐近线斜率)，
所求的直线与双曲线有两个交点.
故选：D.
6．(2020·甘肃兰州)过点作一直线与双曲线相交于、两点，若为中点，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y﹣2＝k(x﹣4)
代入双曲线C：，整理得(1﹣2k2)x2+8k(2k﹣1)x﹣32k2+32k﹣10＝0
设此方程两实根为，，则
又P(4，2)为AB的中点，所以8，解得k＝1
当k＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，
所求直线AB的方程为y﹣2＝x﹣4化成一般式为x﹣y﹣2＝0．＝8，＝10
|AB|||•4．故选D．