专题23 二次函数抛物线与三角形的综合-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题23 二次函数抛物线与三角形的综合（原卷版）

第一部分 典例剖析+针对训练

类型一 二次函数与直角三角形的综合

1．（2022秋•利川市期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（4，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为直线AC下方抛物线上一动点，连接PA，PC，求△ACP面积的最大值；

（3）如图2直线l为该抛物线的对称轴，在直线l上是否存在一点M使△BCM为直角三角形，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

针对训练

1．（2022秋•渝中区期末）抛物线ybx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；

（3）过点C作CH⊥PN于点H，S△BMN＝9S△CHM，

①求点P的坐标；

②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

类型一 二次函数与等腰三角形的综合

典例2（2021秋•重庆期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；

（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

针对训练

1．（2022秋•代县期末）综合与探究

如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．

（1）求抛物线和直线BC的函数解析式．

（2）D是直线BC上方抛物线上一点，求△BDC面积的最大值及此时点D的坐标．

（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2022秋•宁陵县期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

类型三 二次函数与等腰直角三角形的综合

典例3（2022秋•洛川县校级期末）已知抛物线L₁：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣5，0），B（﹣1，0）两点．

（1）求抛物线L1的表达式；

（2）平移抛物线L1得到新抛物线L2，使得新抛物线L2经过原点O，且与x轴的正半轴交于点C，记新抛物线L2的顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求出点P的坐标．

针对训练

1．（2022秋•铁西区校级期末）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）当△PAB的面积最大时，求点P的坐标．

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？请直接写出点P的坐标．

第二部分 专题提优训练

1．（2022秋•渝中区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（，0），与y轴的交点为C，且tan∠CAO．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点D为AB的中点，过点D作AC的平行线交y轴于点E，点P为抛物线上第二象限内的一动点，连接PC，PD，求四边形PDEC面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）将该抛物线y＝ax2+bx+c向左平移得到抛物线y'，使y'经过原点，y'与原抛物线的交点为F，点M为抛物线y'对称轴上的一点，若以点F，B，M为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．

2．（2022秋•鞍山期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（0，2），（﹣2，2）两点．

（1）若抛物线C1：y＝ax2+bx+c经过（1，0），求抛物线解析式；

（2）抛物线C1：y＝ax2+bx+c与直线y＝x+2有M，N两个交点，O为坐标原点，若△MNO是以MN为腰的等腰三角形，请直接写出a的值；

（3）直线y＝x+2分别与抛物线C1：y＝ax2+bx+c，抛物线C2：y＝﹣ax2﹣bx+c恰好有三个公共点，若其中一个公共点是另外两个公共点连接线段的中点，求a的值．

3．（2022秋•前郭县期末）如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．

（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝　　，A （　 　，　 　），B （　 　，　 　）；

（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQPN的最大值；

（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2022•台山市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+x+6的图象与直线y＝kx+b有唯一交点A（﹣1，4）．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）若抛物线与x轴的交点分别为点M、N，抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA+PM的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．

（3）直线y＝kx+b与x轴交于点B，点Q是x轴上一动点，请你写出使△QAB是等腰三角形的所有点Q的横坐标．

5．（2022秋•通州区期末）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE的取值范围．

6．（2022秋•临湘市期末）如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时F点的坐标．

7．（2022•甘井子区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A在x轴上．P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上两点，若x1＜x2＜m，则y1＞y2；若x1＞x2＞m，则y1＞y2，且当y的绝对值为1时，△APQ为等腰直角三角形（其中∠PAQ＝90°）．

（1）求抛物线的解析式；（用含有m的式子表示）

（2）当m＞0，x1＜m，x2＞m，过点Q作QF⊥x轴，若y1•y2＝1，探究∠PAO与∠AQF之间数量关系；

（3）直线x＝m+1（1≤m≤3）交抛物线y＝ax2+bx+c于点D，将抛物线y＝ax2+bx+c以直线x＝m+1为对称轴向右翻折得到新抛物线，直线y＝kx经过点D，交原抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴于点E，交新抛物线于另一点H，问△EAH的面积是否存在最大值或最小值，若存在，求出面积最值和m的值，若不存在，请说明理由．