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初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理精品练习题
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这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理精品练习题，文件包含8年级数学下册尖子生同步培优题典专题175勾股定理与弦图问题教师版docx、8年级数学下册尖子生同步培优题典专题175勾股定理与弦图问题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
初中数学培优措施和方法
1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想
2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。
3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。
4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备
5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。
6、主动思考，全心投入。很多同学在听课的过程中，只是简简单单的听，不能主动思考，这样遇到实际问题时，会无从下手，不知如何应用所学的知识去解答问题。
专题17.5 勾股定理与弦图问题专题培优（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•重庆期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（ ）
A．25 B．19 C．13 D．169
【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．
【解析】由条件可得：a2+b2=1312ab=13−14a＞b＞0，
解之得：a=3b=2．
所以（a+b）2＝25，
故选：A．
2．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（ ）
A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5
C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解析】根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，
∵（x+y）2＝49，
∴2xy＝24，故D错误，
∴（x﹣y）2＝1，故A错误，
∴x2﹣y2＝7，故C正确；
故选：C．
3．（2020秋•阜宁县期中）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（ ）
A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出小正方形的面积．
【解析】根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2），
故选：A．
4．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．5
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解析】设大正方形的边长为c，则c2＝a2+b2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4，
∴20﹣2ab＝4，
解得：ab＝8，
故选：B．
5．（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
【解析】根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
故选：B．
6．（2020秋•江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（ ）
A．45 B．36 C．25 D．18
【分析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝216，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长．
【解析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，
由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝3，
根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：
225＝4×12ab+9，
所以2ab＝216，
根据勾股定理，得a2+b2＝152，
所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝225+216＝441，
因为a+b＞0，
所以a+b＝21，
所以21+15＝36．
所以一个直角三角形的周长是36．
故选：B．
7．（2020秋•碑林区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．214 B．215 C．225 D．223
【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM的面积．
【解析】∵S正方形ABCD＝21，
∴AB2＝21，
设DH＝x，
则AH＝3DH＝3x，
∴x2+9x2＝21，
∴x2=2110，
根据题意可知：
AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，
∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，
∴S△FGN＝2S△CGN
∵S△AEM＝S△CGN，
∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，
∴阴影部分的面积之和为：
S梯形NGFM=12（NG+FM）•FG
=12（EM+MF）•FG
=12FE•FG
=12×（2x）2
＝2x2
=215．
故选：B．
8．（2020春•朝阳区校级月考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（ ）
A．6 B．7 C．12 D．15
【分析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝24，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长．
【解析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，
由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝1，
根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：
25＝4×12ab+1，
所以2ab＝24，
根据勾股定理，得a2+b2＝52，
所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，
因为a+b＞0，
所以a+b＝7，
所以7+5＝12．
所以一个直角三角形的周长是12．
故选：C．
9．（2020•温州二模）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，如图的勾股图中，已知∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．作四边形PQNM，满足点H、I在边MN上，点E、G分别在边PM，QN上，∠M＝∠N＝90°，P、Q是直线DF与PM，QN的交点．那么PQ的长等于（ ）
A．24524 B．26124 C．241360 D．31021
【分析】如图，延长FA交PM于J，过点P作PK⊥DE于K，过点Q作QW⊥FG于W．首先证明PD＝PE，利用相似三角形的性质求出PD，FQ即可解决问题．
【解析】如图，延长FA交PM于J，过点P作PK⊥DE于K，过点Q作QW⊥FG于W．
∵四边形ACDE，四边形BCFG都是正方形，
∴∠ACD＝∠BCF＝90°，AC＝CD，BC＝CF，
∵CA＝CD，CB＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，
∴△DCF≌△ACB（SAS），
∴∠DFC＝∠ABC，DF＝AB＝5，
∵AC＝4，
∴BC=AB2−AC2=52−42=3，
∵PM∥AI，DE∥AF，
∴∠PDE＝∠PFJ，∠PED＝∠PJF＝∠JAI，
∵∠JAI+∠BAC＝90°，∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠JAI＝∠ABC，
∴∠PJF＝∠PFJ，
∴∠PED＝∠PDE，
∴PD＝PE，
∵PK⊥DE，
∴EK＝DK＝2，
∵∠PKD＝∠DCF＝90°，∠PDK＝∠DFC，
∴△PKD∽△DCF，
∴PDDF=DKFC，
∴PD5=23，
∴PD=103，
同法可证，FW＝WG＝1.5，△QFW∽△FDC，
∴QFDF=FWCD，
∴QF5=1.54，
∴QF=158，
∴PQ＝PD+DF+FQ=103+5+158=24524，
故选：A．
10．（2020•永嘉县模拟）下图是英国牧师佩里加尔证明勾股定理的“水车翼轮法”，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，互相垂直的线段MN，PQ将正方形BFHC分为面积相等的四部分，这四个部分和以AC为边的正方形恰好拼成一个以AB为边的正方形．若正方形ACDE的面积为5，△CQM的面积为1，则正方形CBFH的面积为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】观察图形可知，正方形PMQN的面积＝5+1×4＝9，再加上4个1可求正方形CBFH的面积．
【解析】连结PM，PN，NQ，在最大正方形中作出小正方形，
观察图形可知，正方形PMQN的面积＝作出小正方形的面积＝5+1×4＝9，
则正方形CBFH的面积9+1×4＝13．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•法库县期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝ 4 ．
【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可．
【解析】∵△ABH≌△BCG，
∴BG＝AH＝12，
∵四边形EFGH都是正方形，
在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH=AB2−AH2=202−122=16．
∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，
故答案为：4．
12．（2020春•雨花区校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为 29 ．
【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．
【解析】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a2+b2＝42＝16，
由题意4×12ab+3＝16，
2ab＝13，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+13＝29，
故答案为：29．
13．（2020秋•即墨区校级期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为 22 ．
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×4＝2，
∴4×12ab+（a﹣b）2＝16，
∴（a﹣b）2＝16﹣8＝8，
∴a﹣b＝22．
故答案为：22．
14．（2020秋•淮阴区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为 49 ．
【分析】根据正方形EFGH的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．
【解析】直角三角形直角边的较短边为132−122=5，
正方形EFGH的面积＝13×13﹣4×5×122=169﹣120＝49．
故答案为：49．
15．（2020秋•武侯区校级月考）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则xy＝ 22.5 ．
【分析】根据勾股定理列出方程，进而利用各图形面积的关系列式解答即可．
【解析】根据勾股定理可得：x2+y2＝49，（x﹣y）2＝4，
可得：49﹣2xy＝4，
解得：xy＝22.5，
故答案为：22.5．
16．（2020秋•沈河区校级期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为2的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝43EF，则正方形ABCD的面积为 98 ．
【分析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，由此即可解决问题．
【解析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，
由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵AM＝43EF，
∴2a＝43b，
∴a＝23b，
∵正方形EFGH的面积为2，
∴b2＝2，
∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝49b2＝98，
故答案为：98．
17．（2020春•临江市校级期末）图1是我国著名的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长与此边长相等的长度得到点A'，B'，C'，D'，得到图2．已知正方形EFGH与正方形A'B'C'D'的面积分别为1cm2和85cm2，则阴影部分的面积为 30 cm2．
【分析】由正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，由勾股定理可求出x，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．
【解析】∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，
∴EF＝FG＝GH＝HE＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′=85，
设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，
D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得
（2x）2+（2x+1）2＝85，
化简得：2x2+x﹣21＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍），
∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4，
∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30，
故答案为：30．
18．（2020春•阳西县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为 5 ．
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据三角形面积和正方形面积以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，
∴大正方形的面积为：4×12ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，
∴大正方形的边长为5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•天宁区期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝ 163 ．
【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【解析】（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×12ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
则a2+b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
12×（3+1）×3×4
=12×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝16，
∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝16，
∴x+4y=163，
∴S2＝x+4y=163．
故答案为：163．
20．（2020秋•姜堰区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；
（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．
【分析】（1）由题意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，推出2mn＝60，可得（m+n）2＝m2+n2+2mn＝121．
（2）由（1）可知m+n=11n−m=1，求出m，n的值，再利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）由题意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，
∴2mn＝60，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝61+60＝121；
（2）由（1）可知m+n=11n−m=1，
∴m=5n=6，
∴AC＝5，BC＝6，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，CD＝12，
∴AD=AC2+CD2=52+122=13，
∴这个风车的外围周长＝4（13+6）＝76．
21．（2020秋•徐州期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F，
则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝ b﹣a ．（用含字母的代数式表示）
因为S四边形ABCD＝S△ACD+ S△ABC ＝ 12b2 +12ab；
S四边形ABCD＝S△ADB+ S△DCB =12c2+ 12a(b−a) ；
所以 12b2 +12ab=12c2+ 12a(b−a) ；
所以 a2+b2＝c2 ．
【分析】根据面积公式和勾股定理的证明解答即可．
【解析】证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F，
则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝b﹣a．（用含字母的代数式表示）
因为S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab；
S四边形ABCD＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b−a)；
所以12b2+12ab=12c2+12a(b−a)；
所以a2+b2＝c2．
故答案为：b﹣a；S△ABC；12b2；S△DCB；12a(b−a)；12b2；12a(b−a)；a2+b2＝c2．
22．（2020秋•玄武区校级期中）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×12ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ 5：9 ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 28 ；
（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ 403 ．
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：
如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
【分析】【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．
（3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【解析】【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c=5a，
∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，
故答案为：5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣2×12×4×6＝28．
故答案为：28．
（3）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
12×（3+1）×3×4
=12×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，
∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，
∴x+4y=403，
∴S2＝x+4y=403．
故答案为：403．
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．
理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得：12（a+b）×k（a+b）＝3×12×b×ka+12×c×ck，
∴（a+b）2＝3ab+c2
∴a2+b2﹣ab＝c2．
23．（2020春•包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；
（3）画出边长为a+b和a+2b的矩形即可．
【解析】（1）梯形ABCD的面积为12(a+b)(a+b)=12a2+ab+12b2，
也可以表示为12ab+12ab+12c2，∴12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，
即a2+b2＝c2；
（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得x=94；
（3）如图，
由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
24．（2020春•青白江区期末）如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．
（1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．
请根据以上材料，填空：
方法一：S＝ ab+b2 ．
方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+12b2−12a2+12c2．
（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．
（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．
【分析】（1）根据长方形的面积公式可求解；
（2）根据长方形的面积＝4个三角形的面积和列式化简即可求解；
（3）将a，c的值代入计算可求解b的值，进而可求解S值．
【解析】（1）S＝b（a+b）＝ab+b2．
故答案为S＝ab+b2；
（2）由题意得：ab+b2=ab+12b2−12a2+12c2，
∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，
∴a2+b2＝c2；
（3）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6，
∴62+b2＝102，
∴b＝8，
∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．
答：S的值为112．
初中数学培优措施和方法
1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想
2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。
3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。
4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备
5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。
6、主动思考，全心投入。很多同学在听课的过程中，只是简简单单的听，不能主动思考，这样遇到实际问题时，会无从下手，不知如何应用所学的知识去解答问题。
专题17.5 勾股定理与弦图问题专题培优（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•重庆期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（ ）
A．25 B．19 C．13 D．169
【分析】根据正方形的面积及直角边的关系，列出方程组，然后求解．
【解析】由条件可得：a2+b2=1312ab=13−14a＞b＞0，
解之得：a=3b=2．
所以（a+b）2＝25，
故选：A．
2．（2020秋•明溪县期中）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（ ）
A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5
C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解析】根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，
∵（x+y）2＝49，
∴2xy＝24，故D错误，
∴（x﹣y）2＝1，故A错误，
∴x2﹣y2＝7，故C正确；
故选：C．
3．（2020秋•阜宁县期中）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（ ）
A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2
【分析】由正方形的性质和勾股定理求出小正方形的面积．
【解析】根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2），
故选：A．
4．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．5
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解析】设大正方形的边长为c，则c2＝a2+b2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝4，
∴20﹣2ab＝4，
解得：ab＝8，
故选：B．
5．（2020秋•中牟县期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．
【解析】根据勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
故选：B．
6．（2020秋•江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（ ）
A．45 B．36 C．25 D．18
【分析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝216，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长．
【解析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，
由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝3，
根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：
225＝4×12ab+9，
所以2ab＝216，
根据勾股定理，得a2+b2＝152，
所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝225+216＝441，
因为a+b＞0，
所以a+b＝21，
所以21+15＝36．
所以一个直角三角形的周长是36．
故选：B．
7．（2020秋•碑林区校级期中）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．214 B．215 C．225 D．223
【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设DH＝x，则AH＝3DH＝3x，根据勾股定理可得x的平方的值，再根据题意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得阴影部分的面积之和为梯形NGFM的面积．
【解析】∵S正方形ABCD＝21，
∴AB2＝21，
设DH＝x，
则AH＝3DH＝3x，
∴x2+9x2＝21，
∴x2=2110，
根据题意可知：
AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，
∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，
∴S△FGN＝2S△CGN
∵S△AEM＝S△CGN，
∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，
∴阴影部分的面积之和为：
S梯形NGFM=12（NG+FM）•FG
=12（EM+MF）•FG
=12FE•FG
=12×（2x）2
＝2x2
=215．
故选：B．
8．（2020春•朝阳区校级月考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（ ）
A．6 B．7 C．12 D．15
【分析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，2ab＝24，再根据完全平方公式求出a+b的值，进而可得一个直角三角形的周长．
【解析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，
由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝1，
根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：
25＝4×12ab+1，
所以2ab＝24，
根据勾股定理，得a2+b2＝52，
所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，
因为a+b＞0，
所以a+b＝7，
所以7+5＝12．
所以一个直角三角形的周长是12．
故选：C．
9．（2020•温州二模）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，如图的勾股图中，已知∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．作四边形PQNM，满足点H、I在边MN上，点E、G分别在边PM，QN上，∠M＝∠N＝90°，P、Q是直线DF与PM，QN的交点．那么PQ的长等于（ ）
A．24524 B．26124 C．241360 D．31021
【分析】如图，延长FA交PM于J，过点P作PK⊥DE于K，过点Q作QW⊥FG于W．首先证明PD＝PE，利用相似三角形的性质求出PD，FQ即可解决问题．
【解析】如图，延长FA交PM于J，过点P作PK⊥DE于K，过点Q作QW⊥FG于W．
∵四边形ACDE，四边形BCFG都是正方形，
∴∠ACD＝∠BCF＝90°，AC＝CD，BC＝CF，
∵CA＝CD，CB＝CF，∠ACB＝∠DCF＝90°，
∴△DCF≌△ACB（SAS），
∴∠DFC＝∠ABC，DF＝AB＝5，
∵AC＝4，
∴BC=AB2−AC2=52−42=3，
∵PM∥AI，DE∥AF，
∴∠PDE＝∠PFJ，∠PED＝∠PJF＝∠JAI，
∵∠JAI+∠BAC＝90°，∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠JAI＝∠ABC，
∴∠PJF＝∠PFJ，
∴∠PED＝∠PDE，
∴PD＝PE，
∵PK⊥DE，
∴EK＝DK＝2，
∵∠PKD＝∠DCF＝90°，∠PDK＝∠DFC，
∴△PKD∽△DCF，
∴PDDF=DKFC，
∴PD5=23，
∴PD=103，
同法可证，FW＝WG＝1.5，△QFW∽△FDC，
∴QFDF=FWCD，
∴QF5=1.54，
∴QF=158，
∴PQ＝PD+DF+FQ=103+5+158=24524，
故选：A．
10．（2020•永嘉县模拟）下图是英国牧师佩里加尔证明勾股定理的“水车翼轮法”，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，互相垂直的线段MN，PQ将正方形BFHC分为面积相等的四部分，这四个部分和以AC为边的正方形恰好拼成一个以AB为边的正方形．若正方形ACDE的面积为5，△CQM的面积为1，则正方形CBFH的面积为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】观察图形可知，正方形PMQN的面积＝5+1×4＝9，再加上4个1可求正方形CBFH的面积．
【解析】连结PM，PN，NQ，在最大正方形中作出小正方形，
观察图形可知，正方形PMQN的面积＝作出小正方形的面积＝5+1×4＝9，
则正方形CBFH的面积9+1×4＝13．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•法库县期末）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝ 4 ．
【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可．
【解析】∵△ABH≌△BCG，
∴BG＝AH＝12，
∵四边形EFGH都是正方形，
在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH=AB2−AH2=202−122=16．
∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，
故答案为：4．
12．（2020春•雨花区校级月考）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为 29 ．
【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．
【解析】大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a2+b2＝42＝16，
由题意4×12ab+3＝16，
2ab＝13，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+13＝29，
故答案为：29．
13．（2020秋•即墨区校级期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为 22 ．
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×4＝2，
∴4×12ab+（a﹣b）2＝16，
∴（a﹣b）2＝16﹣8＝8，
∴a﹣b＝22．
故答案为：22．
14．（2020秋•淮阴区期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形EFGH，这样就组成了一个“赵爽弦图”．若AB＝13，AE＝12，则正方形EFGH的面积为 49 ．
【分析】根据正方形EFGH的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．
【解析】直角三角形直角边的较短边为132−122=5，
正方形EFGH的面积＝13×13﹣4×5×122=169﹣120＝49．
故答案为：49．
15．（2020秋•武侯区校级月考）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则xy＝ 22.5 ．
【分析】根据勾股定理列出方程，进而利用各图形面积的关系列式解答即可．
【解析】根据勾股定理可得：x2+y2＝49，（x﹣y）2＝4，
可得：49﹣2xy＝4，
解得：xy＝22.5，
故答案为：22.5．
16．（2020秋•沈河区校级期中）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为2的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝43EF，则正方形ABCD的面积为 98 ．
【分析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，由此即可解决问题．
【解析】设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2，
由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b，
∵AM＝43EF，
∴2a＝43b，
∴a＝23b，
∵正方形EFGH的面积为2，
∴b2＝2，
∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝49b2＝98，
故答案为：98．
17．（2020春•临江市校级期末）图1是我国著名的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长与此边长相等的长度得到点A'，B'，C'，D'，得到图2．已知正方形EFGH与正方形A'B'C'D'的面积分别为1cm2和85cm2，则阴影部分的面积为 30 cm2．
【分析】由正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，可得大小正方形的边长，设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，由勾股定理可求出x，从而可求出相关三角形的边长，即可求出阴影部分的面积．
【解析】∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，
∴EF＝FG＝GH＝HE＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′=85，
设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，
D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得
（2x）2+（2x+1）2＝85，
化简得：2x2+x﹣21＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍），
∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4，
∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30，
故答案为：30．
18．（2020春•阳西县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为 5 ．
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据三角形面积和正方形面积以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，
∴大正方形的面积为：4×12ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，
∴大正方形的边长为5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•天宁区期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝ 163 ．
【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【解析】（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×12ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
则a2+b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
12×（3+1）×3×4
=12×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝16，
∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝16，
∴x+4y=163，
∴S2＝x+4y=163．
故答案为：163．
20．（2020秋•姜堰区期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．
（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若图①中大正方形的面积为61，小正方形的面积为1，求（m+n）2；
（2）若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）．
【分析】（1）由题意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，推出2mn＝60，可得（m+n）2＝m2+n2+2mn＝121．
（2）由（1）可知m+n=11n−m=1，求出m，n的值，再利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）由题意（n﹣m）2＝1，m2+n2＝61，
∴2mn＝60，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝61+60＝121；
（2）由（1）可知m+n=11n−m=1，
∴m=5n=6，
∴AC＝5，BC＝6，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，CD＝12，
∴AD=AC2+CD2=52+122=13，
∴这个风车的外围周长＝4（13+6）＝76．
21．（2020秋•徐州期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F，
则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝ b﹣a ．（用含字母的代数式表示）
因为S四边形ABCD＝S△ACD+ S△ABC ＝ 12b2 +12ab；
S四边形ABCD＝S△ADB+ S△DCB =12c2+ 12a(b−a) ；
所以 12b2 +12ab=12c2+ 12a(b−a) ；
所以 a2+b2＝c2 ．
【分析】根据面积公式和勾股定理的证明解答即可．
【解析】证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F，
则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝b﹣a．（用含字母的代数式表示）
因为S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC=12b2+12ab；
S四边形ABCD＝S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b−a)；
所以12b2+12ab=12c2+12a(b−a)；
所以a2+b2＝c2．
故答案为：b﹣a；S△ABC；12b2；S△DCB；12a(b−a)；12b2；12a(b−a)；a2+b2＝c2．
22．（2020秋•玄武区校级期中）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×12ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ 5：9 ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 28 ；
（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ 403 ．
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：
如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
【分析】【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．
（3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【解析】【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c=5a，
∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，
故答案为：5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣2×12×4×6＝28．
故答案为：28．
（3）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
12×（3+1）×3×4
=12×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，
∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，
∴x+4y=403，
∴S2＝x+4y=403．
故答案为：403．
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．
理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得：12（a+b）×k（a+b）＝3×12×b×ka+12×c×ck，
∴（a+b）2＝3ab+c2
∴a2+b2﹣ab＝c2．
23．（2020春•包河区校级期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；
（3）画出边长为a+b和a+2b的矩形即可．
【解析】（1）梯形ABCD的面积为12(a+b)(a+b)=12a2+ab+12b2，
也可以表示为12ab+12ab+12c2，∴12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，
即a2+b2＝c2；
（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得x=94；
（3）如图，
由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
24．（2020春•青白江区期末）如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上．BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．
（1）在探究长方形ACDF的面积S时，我们可以用两种不同的方法：一种是找到长和宽，然后利用长方形的面积公式，就可得到S；另一种是将长方形ACDF看成是由△ABC，△BDE，△AEF，△ABE组成的，分别求出它们的面积，再相加也可以得到S．
请根据以上材料，填空：
方法一：S＝ ab+b2 ．
方法二，S＝S△ABC+S△BDE+SAEF+S△ABE＝ab+12b2−12a2+12c2．
（2）由于（1）中的两种方法表示的都是长方形ACDP的面积，因此它们应该相等，请利用以上的结论求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．
（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．
【分析】（1）根据长方形的面积公式可求解；
（2）根据长方形的面积＝4个三角形的面积和列式化简即可求解；
（3）将a，c的值代入计算可求解b的值，进而可求解S值．
【解析】（1）S＝b（a+b）＝ab+b2．
故答案为S＝ab+b2；
（2）由题意得：ab+b2=ab+12b2−12a2+12c2，
∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，
∴a2+b2＝c2；
（3）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6，
∴62+b2＝102，
∴b＝8，
∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．
答：S的值为112．
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