初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理精品巩固练习

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理精品巩固练习，文件包含8年级数学下册尖子生同步培优题典专题176勾股定理与最短路径问题教师版docx、8年级数学下册尖子生同步培优题典专题176勾股定理与最短路径问题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
初中数学培优措施和方法
1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想
2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。
3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。
4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备
5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。
6、主动思考，全心投入。很多同学在听课的过程中，只是简简单单的听，不能主动思考，这样遇到实际问题时，会无从下手，不知如何应用所学的知识去解答问题。


专题17.6勾股定理与最短路径问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋•禅城区期末）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（　　）

A．9 B．13 C．14 D．25
【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．
【解析】展开圆柱的半个侧面是矩形，
矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5．
根据两点之间线段最短，
知最短路程是矩形的对角线的长，即52+122=13，
故选：B．

2．（2020秋•太原期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　）

A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解析】如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，

延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，
∴BD＝16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=202−162=12cm，
∴则该圆柱底面周长为24cm．
故选：D．
3．（2019秋•东坡区期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）

A．13cm B．261cm C．23cm D．241cm
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解析】如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿2cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣2+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B=A'D2+BD2=52+122=13（cm），
故选：A．

4．（2020春•江岸区校级月考）如图所示，一个圆柱体高4cm，底面直径6πcm．一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（　　）

A．5cm B．10 cm C．12 cm D．（6π+4）cm
【分析】此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解析】在侧面展开图中，AC的长等于底面圆周长的一半，即12×π×6π=3（cm），
∵BC＝4cm，AC＝3cm，
根据勾股定理得：AB=32+42=5（cm），
∴要爬行的最短路程是5m．
故选：A．

5．（2020秋•金牛区校级月考）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是4π，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是（　　）

A．5 B．5 C．73 D．4
【分析】先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求出结果．
【解析】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．
∵AB＝π×4π=4，CB＝3，
∴AC=AB2+BC2=42+32=5，
故选：A．

6．（2020秋•成都期中）有一圆柱体如图，高4cm，底面周长6cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离（　　）cm．

A．3 B．213 C．8 D．5
【分析】圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求出结果．
【解析】AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C，D分别是BE，AF的中点．
∴AF＝6cm．AD＝3cm．
∴AC=AD2+CD2=32+42=5（cm）．
故选：D．

7．（2020秋•太原期中）今年9月22日是第三个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为20cm，高为10cm的圆柱粮仓模型，如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）

A．20πcm B．40πcm C．102cm D．202cm
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解析】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点，

∵AB＝10，BC=12×20＝10，
∴装饰带的长度＝2AC＝2AB2+BC2=202（cm），
故选：D．
8．（2020秋•峄城区期中）已如长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（　　）

A．29cm B．5cm C．37cm D．4.5cm
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解析】根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图1：
AB′2＝AB2+BB′2＝（2+1）2+42＝25；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图2：
AB′2＝AC2+B′C2＝22+（4+1）2＝4+25＝29；
（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图3：
AB′2＝AD2+B′D2＝12+（4+2）2＝1+36＝37；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2＝25，即AB′＝5cm，
故选：B．

9．（2020秋•市南区校级期中）某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（　　）

A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
【解析】将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图，

则AA′=92+122=15（cm）．
故选：D．
10．（2020秋•沙坪坝区校级期中）小南同学报名参加了南开中学的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为（　　）米．

A．16 B．82 C．146 D．178
【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而根据勾股定理求出AB的长．
【解析】如图：

AC＝5+3＝8，BC＝8，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=82+82=82．
即从点A攀爬到点B的最短路径为82米．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•长春期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为5m，则所需彩带最短是　13　m．

【分析】化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短，根据勾股定理求解即可．
【解析】如图，将这个圆柱体侧面展开得，
由勾股定理得，
AB=52+122=13，
故答案为：13．

12．（2020秋•重庆期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　17　dm．

【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解析】三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，
解得x＝17．
故答案为：17．
13．（2020秋•武侯区校级月考）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，有一只甲虫从顶点A沿盒的表面爬到顶点B处，那么它所爬行的最短路线的长是　74　cm．

【分析】把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【解析】因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；
（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；
（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；
∵74＜80＜90，
所以最短路径长为74cm．
故答案为：74．
14．（2020秋•南海区期中）如图所示，一圆柱高AB为2cm，底面直径BC为4cm，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是　6　cm（π取3）．

【分析】首先画出示意图，连接AC，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，BC=12×底面圆的周长，再在Rt△ACB中利用勾股定理算出AC的长即可，再计算AB+BC＝8，比较两种情形的数值的大小即可判断；
【解析】将圆柱体的侧面展开并连接AC．

∵圆柱的直径为4cm，
∴BC=12×4•π≈6（cm），
在Rt△ACB中，AC2＝AB2+CB2＝22+62＝40，
∴AC＝210（cm）．
∵高AB为2cm，底面直径BC为4cm，
∴走高AB再走直径BC，其距离为6cm，
∵6＜210，
∴蚂蚁爬行的最短的路线长是6cm．
故答案为：6．
15．（2020秋•中牟县期中）如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm，宽为9cm，高为5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G，蚂蚁爬行的最短路程是　285　cm．

【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可．
【解析】①如图1，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，

∵∠ACG＝90°，AC＝12+9＝21，CG＝5，
在Rt△ACG中，由勾股定理得：AG=212+52=466（cm）；
②如图2，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，

∵∠ABG＝90°，AB＝12，BG＝9+5＝14，
在Rt△ACBG中，由勾股定理得：AG=122+142=340=285（cm）；
③如图3，展开后连接AG，则AG就是在表面上A到G的最短距离，

∵∠AFG＝90°，AF＝5+12＝17，FG＝9，
在Rt△AFG中，由勾股定理得：AG=172+92=370（cm）．
∴蚂蚁爬行的最短路程是285cm，
故答案为：285．
16．（2020秋•青羊区校级期中）如图，圆柱形容器高为16cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子的上沿蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁A处到达B处的最短距离为　20cm　．

【分析】先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可．
【解析】如图所示，
∵圆柱形玻容器，高16cm，底面周长为24cm，
∴BD＝12cm，
∴AB=AD2+DB2=162+122=20（cm）．
∴蚂蚁A处到达B处的最短距离为20cm，
故答案为：20cm．

17．（2020秋•莱州市期中）如图，长方体盒子的长、宽、高分别是9cm，9cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，它至少要爬行　30　cm．

【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【解析】如图1所示，
AB=(9+9)2+242=30（cm），
如图2所示：
AB=(9+24)2+92=1090（cm）．
∵30＜1090，
∴蚂蚁爬行的最短路程是30cm．
故答案为：30．


18．（2020秋•罗湖区校级期中）如图，一个圆柱形工艺品高为18厘米，底面周长12厘米．现在需要从下底的A处绕侧面两周，到上底B（A的正上方）处镶嵌一条金丝，则金丝至少　30　厘米．

【分析】将圆柱的侧面展开，根据题意金丝从下底的A处绕侧面两周，到上底B的最短长度是：两直角边分别为12厘米，9厘米的斜边长的2倍．
【解析】如图，设AB的中点为M，侧面展开图是ABCD，CD的中点是N，
则金丝的最小值为侧面展开图中的AN+MC，
∵AN＝MC=122+92=15（厘米），
∴金丝至少15×2＝30厘米．
故答案为：30．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？

【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【解析】如图1，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16，
∴MN=122+102=20（cm）；
如图2，
∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，
∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10，
∴MN=182+102=2106（cm）．
∵20＜2106，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为20cm．


20．（2020秋•南关区校级期末）如图1，一只蚂蚁要从边长为1cm正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？请完成下列问题：
（1）图2是将立方体表面展开的一部分，请将正方体的表面展开图补充完整；（画一种即可）
（2）在图2中画出点A到点B的最短爬行路线，最短路径为：　线段AB　；
（3）在图2中标出点C，并画出A、C两点的最短爬行路线（画一种即可），最短路径为　线段AC　．

【分析】（1）根据题意画出正方体的展开图即可；
（2）根据线段的性质画出图形即可；
（3）根据线段的性质画出图形即可．
【解析】（1）如图所示，

（2）如图所示，连接AB，线段AB的即为点A到点B的最短爬行路线，
故答案为：线段AB；
（3）如图所示，线段AC即为A、C两点的最短爬行路线，
故答案为：线段AC．
21．（2020秋•长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．

【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．
【解析】将圆柱体的侧面展开，如图所示：

AB=12底面周长=12×π×16π=8（cm），AP=12BC＝6（cm），
所以AP=82+62=10（cm），
故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm．
22．（2020秋•郫都区期中）如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖．
（1）求出点A到点B的距离；
（2）求蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？

【分析】（1）分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上的面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB即可；
（2）根据（1）的结果进行大小比较即可得到结论．
【解析】（1）将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图1，
由题意可得：BD＝BC+CD＝5+10＝15cm，AD＝CH＝15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB=BD2+AD2=152+152=152cm；
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图2，
由题意得：BH＝BC+CH＝5+15＝20cm，AH＝10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AB=BH2+AH2=202+102=105cm，
则需要爬行的最短距离是152cm．
连接AB，如图3，
由题意可得：BB′＝B′E+BE＝15+10＝25cm，AB′＝BC＝5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：AB=BB'2+AB'2=252+52=526cm，
综上所述，点A到点B的距离为：152cm，105cm，526cm；
（2）由（1）知，∵点A到点B的距离为：152cm，105cm，526cm；
∴152＜105＜526，
∴则需要爬行的最短距离是152cm．



23．（2020秋•碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？

【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解析】如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，

延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，
∴BD＝16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=202−162=12（cm），
则该圆柱底面周长为24cm．
24．（2019秋•唐河县期末）如图a，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：
路线1：高线AB+底面直径BC，如图a所示，设长度为l1．
路线2：侧面展开图中的线段AC，如图b所示，设长度为l2．

请按照小明的思路补充下面解题过程：
（1）解：l1＝AB+BC＝2+8＝10
l2=AB2+BC2=22+(4π)2=4+16π2；
∵l12﹣l22＝
（2）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）
①此时，路线1：　8　．路线2：　16+4π2　．
②所以选择哪条路线较短？试说明理由．
【分析】（1）按照小明的思路计算即可；
（2）把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算即可．
【解析】（1）l1＝AB+BC＝2+8＝10，
l2=AB2+BC2=22+(4π)2=4+16π2；
∵l12﹣l22＝102﹣（4+16π2）
＝96﹣16π2
＝16（6﹣π2）＜0
∴l12＜l22
即l1＜l2
所以选择路线11 较短．
（2）①l1＝8．
∴l2=AB2+BC2=16+4π2
故答案为：8、16+4π2；
②∵l12﹣l22＝82﹣（16+4π2）
＝48﹣4π2
＝4（12﹣π2）＞0．
∴l1 2＞l22，即l1＞l2
所以选择路线2较短．