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初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数优秀单元测试综合训练题
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这是一份初中数学人教版八年级下册19.2.2 一次函数优秀单元测试综合训练题，文件包含8年级数学下册尖子生同步培优题典专题1911第19章一次函数单元测试基础卷教师版docx、8年级数学下册尖子生同步培优题典专题1911第19章一次函数单元测试基础卷学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
初中数学培优措施和方法
1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想
2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。
3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。
4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备
5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。
6、主动思考，全心投入。很多同学在听课的过程中，只是简简单单的听，不能主动思考，这样遇到实际问题时，会无从下手，不知如何应用所学的知识去解答问题。
专题19.11第19章一次函数单元测试（基础卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•东海县期末）变量x、y有如下的关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．y2＝8x B．|y|＝x C．y=1x D．x=12y4
【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量进行分析即可．
【解析】A、y2＝8x，y不是x的函数，故此选项错误；
B、|y|＝x，y不是x的函数，故此选项错误；
C、y=1x，y是x的函数，故此选项正确；
D、x=12y4，y不是x的函数，故此选项错误；
故选：C．
2．（2020•斗门区一模）已知直线y＝x+b经过第一、三、四象限，则b的值可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．23 D．3
【分析】根据一次函数的性质得出b＜0，再得出选项即可．
【解析】∵直线y＝x+b经过第一、三、四象限，
∴b＜0，
∴符合的只有选项A，选项B、C、D都不符合，
故选：A．
3．（2019秋•新泰市期末）对于一次函数y＝1﹣2x，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（1，﹣2）
B．它的图象与直线y＝2x平行
C．y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质判断即可．
【解析】A、当x＝1时，y＝1﹣2x＝﹣1，
∴点（1，﹣2）不在一次函数y＝1﹣2x的图象上，A不符合题意；
B、∵k＝﹣2，它的图象与直线y＝﹣2x平行，B不符合题意；
C、∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，C不符合题意；
D、∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，D符合题意．
故选：D．
4．（2020秋•锦州期末）已知弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系如图所示，则弹簧不挂物体时的长度为（ ）
A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式，然后将x＝0代入函数解析式求出相应的y的值，即可得到弹簧不挂物体时的长度，本题得以解决．
【解析】设弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y＝kx+b，
∵该函数经过点（6，15），（20，22），
∴6k+b=1520k+b=22，
解得k=0.5b=12，
即弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y＝0.5x+12，
当x＝0时，y＝12，
即弹簧不挂物体时的长度为12cm，
故选：A．
5．（2020秋•宝安区期末）已知方程组x+y=22x−y=7的解为x=3y=−1，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】要求两直线的交点，就是联立解析式构成的方程组的解．
【解析】∵方程组x+y=22x−y=7的解为x=3y=−1，
∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3，﹣1），
∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0，
∴交点在第四象限．
故选：D．
6．（2020•如皋市二模）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1
【分析】利用图象得出答案即可．
【解析】如图所示：不等式kx+b＞1的解集为：x＞1．
故选：C．
7．（2020秋•章丘区期末）某快递公司每天上午7：00﹣8：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法正确的个数为：（ ）
①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；
②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；
③8：00时，甲仓库内快件数为400件；
④7：20时，两仓库快递件数相同．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象可知15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，据此可得甲仓库揽收快件的速度，进而得出8：00时，甲仓库内快件数；由图象可知45分钟，乙仓库派送快件数量为180件，可得乙仓库每分钟派送快件的数量，进而得出乙仓库快件的总数量，然后根据题意列方程即可求出两仓库快递件数相同是时间．
【解析】由题意结合图象可知：
15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，故①说法错误；
甲仓库揽收快件的速度为：（130﹣40）÷15＝6（件/分），
所以8：00时，甲仓库内快件数为：40+6×60＝400（件），故③说法正确；
60﹣15＝45（分），
即45分钟乙仓库派送快件数量为180件，
所以乙仓库每分钟派送快件的数量为：180÷45＝4（件），故②说法正确；
所以乙仓库快件的总数量为：60×4＝240（件），
设x分钟后，两仓库快递件数相同，根据题意得：
240﹣4x＝40+6x，
解得x＝20，
即7：20时，两仓库快递件数相同，故④说法正确．
所以说法正确的有②③④共3个．
故选：C．
8．（2020•泰顺县二模）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．测出药物燃烧阶段室内碳水化合物每立方米空气中的含药量y（mg）和燃烧时间x（min）如下表．根据表中数据，可得每立方米空气中的含药量y（mg）关于燃烧时间x（min）的函数表达式为（ ）
燃烧时间x（min）
2.5
5
7.5
10
含药量y（mg）
2
4
6
8
A．y=20x B．y=54x C．y=5x D．y=45x
【分析】根据表格中的是和函数的性质，可以判断哪个选项中的函数解析式与表格中的数据吻合，从而可以解答本题．
【解析】由表格中的数据可得，
y随x的增大而增大，故选项A、C错误；
当x＝5时，y=54×5=254，故选项B错误；
当x＝5时，y=45×5＝4，当x＝2.5时，y=45×2.5＝2，故选项D正确；
故选：D．
9．（2020春•温岭市期末）小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数y＝|x|﹣2的四条性质，其中错误的是（ ）
A．当x＝0时 y具有最小值为﹣2
B．如果y＝|x|﹣2的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞0
C．当﹣2＜x＜2时，y＜0
D．y＝|x|﹣2的图象与x轴围成的几何图形的面积是4
【分析】画出函数y═|x|﹣2的大致图象，即可求解．
【解析】函数y═|x|﹣2的大致图象如下：
A．当x＝0时 y具有最小值为﹣2，正确；
B．如果y＝|x|﹣2的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞﹣2，故B错误；
C．当﹣2＜x＜2时，y＜0，正确；
D．y＝|x|﹣2的图象与x轴围成的几何图形的面积=12×4×2＝4，正确，
故选：B．
10．（2020•余姚市模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+6与坐标轴交于点A，B，点C为OA上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，过点D作DE∥x轴，交y轴于点E，在直线DE上找一点F，使得∠DCF＝90°，连接OF，当OF+CF的值最小时，求点F的坐标为（ ）
A．（1，53） B．（32，32） C．（2，2） D．（3，1）
【分析】设C（m，0），则OC＝m，根据解析式求得OA＝OB＝6，即可得出∠BAO＝45°，根据CD⊥AB，求得△ACD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出D的坐标，延长CF交y轴于N，根据题意得出CN∥AB，根据轴对称的性质，当OF+CF＝CN时，OF+CF的值最小，即可得出EN＝OE，根据三角形中位线的性质得出EF，即可求得F的坐标．
【解析】∵一次函数y＝﹣x+6与坐标轴交于点A，B，
∴A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴∠BAO＝45°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCA＝45°，
∴CD＝AD，
∵DM⊥AC于M，
∴DM=12AC＝CM＝AM，
设C（m，0），则OC＝m，
∴AC＝6﹣m，
∴DM＝CM＝3−12m，
∴D（3+12m，3−12m），
延长CF交y轴于N，
∵CD⊥AB，∠DCF＝90°，
∴CF∥AB，
当EN＝OE时，则OF＝FN，此时OF+CF＝CN，值最小，
∵CN∥AB，OC＝m，
∴ON＝m，
∴此时m＝2（3−12m），
解得m＝3，
∵E是ON的中点，DE∥x轴，
∴EF=12OC=32，
∴F（32，32），
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•磴口县期末）在函数y=3x−2−x+1中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2
【分析】根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数为非负数求解可得答案．
【解析】根据题意，得：x﹣2≠0且x+1≥0，
解得x≥﹣1且x≠2，
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
12．（2020秋•龙岗区期末）如图，将直线OA向上平移2个单位长度，则平移后的直线的表达式为 y＝2x+2 ．
【分析】利用待定系数法确定直线OA解析式，然后根据平移规律填空．
【解析】设直线OA的解析式为：y＝kx，
把（1，2）代入，得k＝2，
则直线OA解析式是：y＝2x．
将其上平移2个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y＝2x+2．
故答案是：y＝2x+2．
13．（2019春•龙门县期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b≤0的解集为 x≥2 ．
【分析】根据图象可确定y≤0时，图象所在位置，进而可得答案．
【解析】一次函数y＝kx+b，当y≤0时，图象在x轴上以及x轴下方，
∴函数图象与x轴交于（2，0）点，
∴不等式kx+b≤0的解集为x≥2，
故答案为：x≥2．
14．（2020春•北镇市期中）小颖准备乘出租车到距家超过3km的科技馆参观，出租车的收费标准如下：
里程数/km
收费/元
3km以内（含3km）
8.00
3km以外每增加1km
1.80
则小颖应付车费y（元）与行驶里程数x（km）之间的关系式为 y＝1.8x+2.6 ．
【分析】根据题意可以写出应付车费y（元）与行驶里程数x（km）之间的函数表达式．
【解析】小颖应付车费y（元）与行驶里程数x（km）之间的关系式为：y＝1.8x+2.6；
故答案为：y＝1.8x+2.6．
15．（2017春•路桥区期末）甲、乙两车从路桥出发前往上海，在整个行驶过程中，汽车离开路桥的距离y（km）与行驶时间t（h）的函数关系如图所示．乙车出发 1.5 h后，乙车总在甲车前面，直至到达上海．
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到甲和乙的速度，然后即可得到相应的不等式，从而可以得到乙出发几小时后，乙车总在甲车前面，直至到达上海．
【解析】由图象可得，
甲的速度为：300÷5＝60（km/h），
乙的速度为：300÷（4﹣1）＝100（km/h），
设乙出发x小时后，乙车总在甲车前面，直至到达上海，
100x＞60（x+1），
解得，x＞1.5，
故答案为：1.5．
16．（2020•江阴市模拟）一次函数y1＝ax+3与y2＝kx﹣1的图象如图所示，则不等式kx﹣ax＜4的解集是 x＜1 ．
【分析】结合图象，写出直线y1＝ax+3在直线y2＝kx﹣1上方所对应的自变量的范围．
【解析】∵一次函数y1＝ax+3与y2＝kx﹣1的图象的交点坐标为（1，2），
∴当x＜1时，y1＞y2，
∴不等式kx﹣1＜ax+3（kx﹣ax＜4）的解集为x＜1．
故答案为x＜1．
17．（2020•滨海县一模）如图，A、B两地相距180km，一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式是 y＝180+120t（t≥0） ．
【分析】根据火车从B地出发沿BC方向以120千米/小时的速度行驶，则火车行驶的路程＝速度×时间，火车离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是：火车离A地的路程＝A、B两地的距离+火车行驶的路程．
【解析】∵A、B两地相距180km，一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶，
∴离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是y＝180+120t（t≥0）．
故答案为：y＝180+120t（t≥0）．
18．（2019秋•太原期末）如图（1），在△ABC中，AB＝AC．动点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→A匀速运动回到点A．图2是点P运动过程中，线段AP的长度y（cm）随时间t（s）变化的图象．其中点Q为曲线部分的最低点．
请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择
A或B 题．
A．△ABC的面积是 85 ．
B．图2中m的值是 6+25 ．
【分析】从图（2）看，AB＝3×2＝6＝AC，AP的最小值为4，即AH＝4；在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，则BH=36−16=25，进而求解．
【解析】过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，故BH＝CH=12BC，
从图（2）看，当t＝3时，点P在点B处，即AB＝3×2＝6＝AC，
从图（2）看，点Q为曲线部分的最低点，即AP的最小值为4，即AH＝4，
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，则BH=36−16=25，
故BC＝45；
△ABC的周长为6+6+45=12+45，
则m=12（12+45）＝6+25，
△ABC的面积=12BC×AH=12×45×4＝85，
故答案为85，25+6．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•安庆期中）已知y与x+1成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＜2时，求x的取值范围．
【分析】（1）由y与x+1成正比例可设y与x之间的函数关系式为y＝k（x+1）（k≠0），将（2，﹣6）代入其中即可求出k值，进而可得出y与x之间的函数关系式；
（2）由（1）的结论结合y＜2，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围．
【解析】（1）∵y与x+1成正比例，
∴设y与x之间的函数关系式为y＝k（x+1）（k≠0）．
将（2，﹣6）代入y＝k（x+1）得：﹣6＝k（2+1），
解得：k＝﹣2，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2（x+1），即y＝﹣2x﹣2．
（2）∵y＜2，
∴﹣2x﹣2＜2，
∴x＞﹣2．
20．（2020秋•无锡期末）如图，已知点A（6，0）、点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）在x轴上找一点P，满足PA＝PB，求P点的坐标．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的表达式；
（2）设点P的坐标为（m，0），结合点A，B的坐标可得出PA，PB的长，结合PA＝PB可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，进而可得出点P的坐标．
【解析】（1）设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx+b，
将A（6，0）、B（0，﹣2）代入，
得：6k+b=0b=−2，解得：k=13b=−2，
∴一次函数的表达式为y=13x﹣2；
（2）设点P的坐标为（m，0）．
∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，﹣2），
∴PA＝|m﹣6|，PB=m2+22．
∵PA＝PB，
∴（m﹣6）2＝m2+22，
∴m=83，
∴点P的坐标为（83，0）．
21．（2020秋•建邺区期末）一次函数的图象经过点A（0，4）和B（2，0）两点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）线段AB与第一象限的角平分线交于点P，则点P的坐标为 （43，43） ．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据题意点P坐标是直线AB与直线y＝x的交点，解方程y=−2x+4y=x即可求得．
【解析】（1）设一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（0，4）和点B（2，0）代入得b=42k+b=0，
解得k=−2b=4，
∴一次函数表达式为y＝﹣2x+4；
（2）∵第一象限角平分线解析式为y＝x，
∴点P坐标是直线AB与直线y＝x的交点，
解y=−2x+4y=x得x=43y=43，
∴点P坐标为（43，43），
故答案为（43，43）．
22．（2020•拱墅区四模）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的边长为1时，它的另一边长为3．
（1）设矩形的相邻边长分别为x，y．
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
（2）方方说矩形的周长可以等于6，你认为方方的说法正确吗？为什么？
【分析】（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；
②直接利用y≥3得出x的取值范围；
（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．
【解析】（1）①由题意可得：xy＝3，
则y=3x；
②当y≥3时，3x≥3，
解得：x≤1，
故x的取值范围是：0＜x≤1；
（2）∵一个矩形的周长为6，
∴x+y＝3，
∴x+3x=3，
整理得：x2﹣3x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，
∴矩形的周长不可能是6；
所以方方的说法不对．
23．（2019秋•拱墅区校级期末）已知一次函数y1＝kx+b（其中k、b为常数且k≠0）
（1）若一次函数y2＝bx﹣k，y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值；
（2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，求此时一次函数y1的表达式．
【分析】（1）把点（2，3）分别代入y1和y2，联立方程组，求出k和b的值即可；
（2）根据题意可得y1＝kx+k﹣1，分k＞0，k＜0两种情况，结合一次函数的性质求出k的值即可．
【解析】（1）∵y1与y2的图象交于点（2，3），
∴把点（2，3）代入y1与y2的解析式得，
2k+b=32b−k=3，
解得，k=35b=95；
（2）根据题意可得y1＝kx+k﹣1，
①当k＞0时，在﹣2≤x≤2时，y1随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1＝3k﹣1＝3，
∴k=43，
∴y1=43x+13；
②当k＜0时，在﹣2≤x≤2时，y1随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y1＝﹣k﹣1＝3，
∴k＝﹣4，
∴y1＝﹣4x﹣5．
综上所述，y1=43x+13或y1＝﹣4x﹣5．
24．（2020•河南模拟）河南灵宝苹果为中华苹果之翘楚，被誉为“中华名果”．某水果超市计划从灵宝购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果．已知2箱红富士苹果的进价与3箱新红星苹果的进价的和为282元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元
（1）求每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？
（2）如果购进红富士苹果有优惠，优惠方案是：购进红富士苹果超过20箱，超出部分可以享受七折优惠．若购进a（a＞0，且a为整数）箱红富士苹果需要花费w元，求w与a之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，超市决定在红富士、新红星两种苹果中选购其中一种，且数量超过20箱，请你帮助超市选择购进哪种苹果更省钱．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元；
（2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以写出w与a之间的函数关系式；
（3）根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以得到超市选择购进哪种苹果更省钱．
【解析】（1）设每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是x元、y元，
2x+3y=282x−y=6，得x=60y=54，
答：每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是60元、54元；
（2）当0＜a≤20且a为整数时，w＝60a，
当a＞20且a为整数时，w＝20×60+60（a﹣20）×0.7＝42a+360，
由上可得，w与a之间的函数关系式为w=60a(0＜a≤20且a为整数)42a+360(a＞20且a为整数)；
（3）当54a＜42a+360时，得a＜30，即a＜30时，购进新红星这种苹果更省钱，
当54a＝42a+360，即a＝30，即当a＝30时，购买红富士和新红星花费一样多；
当54a＞42a+360，得a＞30，即当a＞30时，购买红富士这种水果更省钱．
25．（2020春•韩城市期末）端午节期间，小刚一家乘车去离家380km的某地游玩，他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的三段函数图象如图所示：
（1）汽车在OA段与BC段哪段行驶的速度较快？
（2）求线段AB对应的函数解析式；
（3）小刚一家出发1.5小时时离目的地多远？
【分析】（1）观察图象，分别求出各部分的速度即可得出结论；
（2）设AB段图象的函数表达式为y＝kx+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；
（3）先将x＝1.5代入AB段图象的函数表达式，求出对应的y值，进一步即可求解．
【解析】（1）OA段汽车行驶的速度为：80÷1＝80（km/h），
BC段汽车行驶的速度为：（380﹣320）÷1＝60（km/h），
60km/h＜80km/h，
故汽车在OA段行驶的速度较快；
（2）设AB段图象的函数表达式为y＝kx+b．
∵A（1，80），B（3，320）在AB上，
∴k+b=803k+b=320，
解得：k=120−40，
∴y＝120x﹣40（1≤x≤3）；
（3）当x＝1.5时，y＝120×1.5﹣40＝140，
380﹣140＝240（km）．
故小刚一家出发1.5小时时离目的地240km远，
26．（2019秋•邳州市期末）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）请直接写出直线l的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求解；
（2）证明△ABC为等腰直角三角形，则S△ABC=12AB2=132；
（3）分点P在第一象限、点P在第四象限两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，则0=3k+bb=2，解得：k=−23b=2，
故直线l的表达式为：y=−23x+2；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC=12AB2=132；
（3）连接BP，PO，PA，则：
①若点P在第一象限时，如图1：
∵S△ABO＝3，S△APO=32a，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO=132，
即1+32a−3=132，解得a=173；
②若点P在第四象限时，如图2：
∵S△ABO＝3，S△APO=−32a，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP=132，
即3−32a−1=132，解得a＝﹣3；
故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为173或﹣3．
初中数学培优措施和方法
1、拓宽解题思路。数学解题不要局限于本题，而要做到举一反三、多思多想
2、细节决定成败。审题的细节、知识理解的细节、运用公式的细节、忽视检验的细节等，细节决定成败。
3、制作错题集。收集自己的错误，分门别类，没事时就翻一翻，看一看，自警一番，肯定会有很大的收获。
4、查自己欠缺的知识。关键的是做好知识准备，检查漏洞；其次是对解题常犯错误的准备
5、把好的做法形成习惯。注意书写规范，重要步骤不能丢，丢步骤等于丢分。
6、主动思考，全心投入。很多同学在听课的过程中，只是简简单单的听，不能主动思考，这样遇到实际问题时，会无从下手，不知如何应用所学的知识去解答问题。
专题19.11第19章一次函数单元测试（基础卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋•东海县期末）变量x、y有如下的关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．y2＝8x B．|y|＝x C．y=1x D．x=12y4
【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量进行分析即可．
【解析】A、y2＝8x，y不是x的函数，故此选项错误；
B、|y|＝x，y不是x的函数，故此选项错误；
C、y=1x，y是x的函数，故此选项正确；
D、x=12y4，y不是x的函数，故此选项错误；
故选：C．
2．（2020•斗门区一模）已知直线y＝x+b经过第一、三、四象限，则b的值可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．23 D．3
【分析】根据一次函数的性质得出b＜0，再得出选项即可．
【解析】∵直线y＝x+b经过第一、三、四象限，
∴b＜0，
∴符合的只有选项A，选项B、C、D都不符合，
故选：A．
3．（2019秋•新泰市期末）对于一次函数y＝1﹣2x，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（1，﹣2）
B．它的图象与直线y＝2x平行
C．y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质判断即可．
【解析】A、当x＝1时，y＝1﹣2x＝﹣1，
∴点（1，﹣2）不在一次函数y＝1﹣2x的图象上，A不符合题意；
B、∵k＝﹣2，它的图象与直线y＝﹣2x平行，B不符合题意；
C、∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，C不符合题意；
D、∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，D符合题意．
故选：D．
4．（2020秋•锦州期末）已知弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系如图所示，则弹簧不挂物体时的长度为（ ）
A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以求得弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式，然后将x＝0代入函数解析式求出相应的y的值，即可得到弹簧不挂物体时的长度，本题得以解决．
【解析】设弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y＝kx+b，
∵该函数经过点（6，15），（20，22），
∴6k+b=1520k+b=22，
解得k=0.5b=12，
即弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为y＝0.5x+12，
当x＝0时，y＝12，
即弹簧不挂物体时的长度为12cm，
故选：A．
5．（2020秋•宝安区期末）已知方程组x+y=22x−y=7的解为x=3y=−1，则直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】要求两直线的交点，就是联立解析式构成的方程组的解．
【解析】∵方程组x+y=22x−y=7的解为x=3y=−1，
∴直线y＝﹣x+2与直线y＝2x﹣7的交点坐标为（3，﹣1），
∵x＝3＞0，y＝﹣1＜0，
∴交点在第四象限．
故选：D．
6．（2020•如皋市二模）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1
【分析】利用图象得出答案即可．
【解析】如图所示：不等式kx+b＞1的解集为：x＞1．
故选：C．
7．（2020秋•章丘区期末）某快递公司每天上午7：00﹣8：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，下列说法正确的个数为：（ ）
①15分钟后，甲仓库内快件数量为180件；
②乙仓库每分钟派送快件数量为4件；
③8：00时，甲仓库内快件数为400件；
④7：20时，两仓库快递件数相同．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象可知15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，据此可得甲仓库揽收快件的速度，进而得出8：00时，甲仓库内快件数；由图象可知45分钟，乙仓库派送快件数量为180件，可得乙仓库每分钟派送快件的数量，进而得出乙仓库快件的总数量，然后根据题意列方程即可求出两仓库快递件数相同是时间．
【解析】由题意结合图象可知：
15分钟后，甲仓库内快件数量为130件，故①说法错误；
甲仓库揽收快件的速度为：（130﹣40）÷15＝6（件/分），
所以8：00时，甲仓库内快件数为：40+6×60＝400（件），故③说法正确；
60﹣15＝45（分），
即45分钟乙仓库派送快件数量为180件，
所以乙仓库每分钟派送快件的数量为：180÷45＝4（件），故②说法正确；
所以乙仓库快件的总数量为：60×4＝240（件），
设x分钟后，两仓库快递件数相同，根据题意得：
240﹣4x＝40+6x，
解得x＝20，
即7：20时，两仓库快递件数相同，故④说法正确．
所以说法正确的有②③④共3个．
故选：C．
8．（2020•泰顺县二模）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．测出药物燃烧阶段室内碳水化合物每立方米空气中的含药量y（mg）和燃烧时间x（min）如下表．根据表中数据，可得每立方米空气中的含药量y（mg）关于燃烧时间x（min）的函数表达式为（ ）
燃烧时间x（min）
2.5
5
7.5
10
含药量y（mg）
2
4
6
8
A．y=20x B．y=54x C．y=5x D．y=45x
【分析】根据表格中的是和函数的性质，可以判断哪个选项中的函数解析式与表格中的数据吻合，从而可以解答本题．
【解析】由表格中的数据可得，
y随x的增大而增大，故选项A、C错误；
当x＝5时，y=54×5=254，故选项B错误；
当x＝5时，y=45×5＝4，当x＝2.5时，y=45×2.5＝2，故选项D正确；
故选：D．
9．（2020春•温岭市期末）小王同学类比研究一次函数性质的方法，研究并得出函数y＝|x|﹣2的四条性质，其中错误的是（ ）
A．当x＝0时 y具有最小值为﹣2
B．如果y＝|x|﹣2的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞0
C．当﹣2＜x＜2时，y＜0
D．y＝|x|﹣2的图象与x轴围成的几何图形的面积是4
【分析】画出函数y═|x|﹣2的大致图象，即可求解．
【解析】函数y═|x|﹣2的大致图象如下：
A．当x＝0时 y具有最小值为﹣2，正确；
B．如果y＝|x|﹣2的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞﹣2，故B错误；
C．当﹣2＜x＜2时，y＜0，正确；
D．y＝|x|﹣2的图象与x轴围成的几何图形的面积=12×4×2＝4，正确，
故选：B．
10．（2020•余姚市模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+6与坐标轴交于点A，B，点C为OA上一动点，过点C作CD⊥AB于点D，过点D作DE∥x轴，交y轴于点E，在直线DE上找一点F，使得∠DCF＝90°，连接OF，当OF+CF的值最小时，求点F的坐标为（ ）
A．（1，53） B．（32，32） C．（2，2） D．（3，1）
【分析】设C（m，0），则OC＝m，根据解析式求得OA＝OB＝6，即可得出∠BAO＝45°，根据CD⊥AB，求得△ACD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出D的坐标，延长CF交y轴于N，根据题意得出CN∥AB，根据轴对称的性质，当OF+CF＝CN时，OF+CF的值最小，即可得出EN＝OE，根据三角形中位线的性质得出EF，即可求得F的坐标．
【解析】∵一次函数y＝﹣x+6与坐标轴交于点A，B，
∴A（6，0），B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴∠BAO＝45°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCA＝45°，
∴CD＝AD，
∵DM⊥AC于M，
∴DM=12AC＝CM＝AM，
设C（m，0），则OC＝m，
∴AC＝6﹣m，
∴DM＝CM＝3−12m，
∴D（3+12m，3−12m），
延长CF交y轴于N，
∵CD⊥AB，∠DCF＝90°，
∴CF∥AB，
当EN＝OE时，则OF＝FN，此时OF+CF＝CN，值最小，
∵CN∥AB，OC＝m，
∴ON＝m，
∴此时m＝2（3−12m），
解得m＝3，
∵E是ON的中点，DE∥x轴，
∴EF=12OC=32，
∴F（32，32），
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•磴口县期末）在函数y=3x−2−x+1中，自变量x的取值范围是 x≥﹣1且x≠2
【分析】根据分式的分母不为零、二次根式的被开方数为非负数求解可得答案．
【解析】根据题意，得：x﹣2≠0且x+1≥0，
解得x≥﹣1且x≠2，
故答案为：x≥﹣1且x≠2．
12．（2020秋•龙岗区期末）如图，将直线OA向上平移2个单位长度，则平移后的直线的表达式为 y＝2x+2 ．
【分析】利用待定系数法确定直线OA解析式，然后根据平移规律填空．
【解析】设直线OA的解析式为：y＝kx，
把（1，2）代入，得k＝2，
则直线OA解析式是：y＝2x．
将其上平移2个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y＝2x+2．
故答案是：y＝2x+2．
13．（2019春•龙门县期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b≤0的解集为 x≥2 ．
【分析】根据图象可确定y≤0时，图象所在位置，进而可得答案．
【解析】一次函数y＝kx+b，当y≤0时，图象在x轴上以及x轴下方，
∴函数图象与x轴交于（2，0）点，
∴不等式kx+b≤0的解集为x≥2，
故答案为：x≥2．
14．（2020春•北镇市期中）小颖准备乘出租车到距家超过3km的科技馆参观，出租车的收费标准如下：
里程数/km
收费/元
3km以内（含3km）
8.00
3km以外每增加1km
1.80
则小颖应付车费y（元）与行驶里程数x（km）之间的关系式为 y＝1.8x+2.6 ．
【分析】根据题意可以写出应付车费y（元）与行驶里程数x（km）之间的函数表达式．
【解析】小颖应付车费y（元）与行驶里程数x（km）之间的关系式为：y＝1.8x+2.6；
故答案为：y＝1.8x+2.6．
15．（2017春•路桥区期末）甲、乙两车从路桥出发前往上海，在整个行驶过程中，汽车离开路桥的距离y（km）与行驶时间t（h）的函数关系如图所示．乙车出发 1.5 h后，乙车总在甲车前面，直至到达上海．
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到甲和乙的速度，然后即可得到相应的不等式，从而可以得到乙出发几小时后，乙车总在甲车前面，直至到达上海．
【解析】由图象可得，
甲的速度为：300÷5＝60（km/h），
乙的速度为：300÷（4﹣1）＝100（km/h），
设乙出发x小时后，乙车总在甲车前面，直至到达上海，
100x＞60（x+1），
解得，x＞1.5，
故答案为：1.5．
16．（2020•江阴市模拟）一次函数y1＝ax+3与y2＝kx﹣1的图象如图所示，则不等式kx﹣ax＜4的解集是 x＜1 ．
【分析】结合图象，写出直线y1＝ax+3在直线y2＝kx﹣1上方所对应的自变量的范围．
【解析】∵一次函数y1＝ax+3与y2＝kx﹣1的图象的交点坐标为（1，2），
∴当x＜1时，y1＞y2，
∴不等式kx﹣1＜ax+3（kx﹣ax＜4）的解集为x＜1．
故答案为x＜1．
17．（2020•滨海县一模）如图，A、B两地相距180km，一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶，在行驶过程中，这列火车离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式是 y＝180+120t（t≥0） ．
【分析】根据火车从B地出发沿BC方向以120千米/小时的速度行驶，则火车行驶的路程＝速度×时间，火车离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是：火车离A地的路程＝A、B两地的距离+火车行驶的路程．
【解析】∵A、B两地相距180km，一列火车从B地出发沿BC方向以120km/h的速度行驶，
∴离A地的路程y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系式是y＝180+120t（t≥0）．
故答案为：y＝180+120t（t≥0）．
18．（2019秋•太原期末）如图（1），在△ABC中，AB＝AC．动点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→A匀速运动回到点A．图2是点P运动过程中，线段AP的长度y（cm）随时间t（s）变化的图象．其中点Q为曲线部分的最低点．
请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择
A或B 题．
A．△ABC的面积是 85 ．
B．图2中m的值是 6+25 ．
【分析】从图（2）看，AB＝3×2＝6＝AC，AP的最小值为4，即AH＝4；在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，则BH=36−16=25，进而求解．
【解析】过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，故BH＝CH=12BC，
从图（2）看，当t＝3时，点P在点B处，即AB＝3×2＝6＝AC，
从图（2）看，点Q为曲线部分的最低点，即AP的最小值为4，即AH＝4，
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，则BH=36−16=25，
故BC＝45；
△ABC的周长为6+6+45=12+45，
则m=12（12+45）＝6+25，
△ABC的面积=12BC×AH=12×45×4＝85，
故答案为85，25+6．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•安庆期中）已知y与x+1成正比例，且x＝2时，y＝﹣6．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＜2时，求x的取值范围．
【分析】（1）由y与x+1成正比例可设y与x之间的函数关系式为y＝k（x+1）（k≠0），将（2，﹣6）代入其中即可求出k值，进而可得出y与x之间的函数关系式；
（2）由（1）的结论结合y＜2，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围．
【解析】（1）∵y与x+1成正比例，
∴设y与x之间的函数关系式为y＝k（x+1）（k≠0）．
将（2，﹣6）代入y＝k（x+1）得：﹣6＝k（2+1），
解得：k＝﹣2，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2（x+1），即y＝﹣2x﹣2．
（2）∵y＜2，
∴﹣2x﹣2＜2，
∴x＞﹣2．
20．（2020秋•无锡期末）如图，已知点A（6，0）、点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）在x轴上找一点P，满足PA＝PB，求P点的坐标．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的表达式；
（2）设点P的坐标为（m，0），结合点A，B的坐标可得出PA，PB的长，结合PA＝PB可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，进而可得出点P的坐标．
【解析】（1）设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx+b，
将A（6，0）、B（0，﹣2）代入，
得：6k+b=0b=−2，解得：k=13b=−2，
∴一次函数的表达式为y=13x﹣2；
（2）设点P的坐标为（m，0）．
∵点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，﹣2），
∴PA＝|m﹣6|，PB=m2+22．
∵PA＝PB，
∴（m﹣6）2＝m2+22，
∴m=83，
∴点P的坐标为（83，0）．
21．（2020秋•建邺区期末）一次函数的图象经过点A（0，4）和B（2，0）两点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）线段AB与第一象限的角平分线交于点P，则点P的坐标为 （43，43） ．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据题意点P坐标是直线AB与直线y＝x的交点，解方程y=−2x+4y=x即可求得．
【解析】（1）设一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（0，4）和点B（2，0）代入得b=42k+b=0，
解得k=−2b=4，
∴一次函数表达式为y＝﹣2x+4；
（2）∵第一象限角平分线解析式为y＝x，
∴点P坐标是直线AB与直线y＝x的交点，
解y=−2x+4y=x得x=43y=43，
∴点P坐标为（43，43），
故答案为（43，43）．
22．（2020•拱墅区四模）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的边长为1时，它的另一边长为3．
（1）设矩形的相邻边长分别为x，y．
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥3时，求x的取值范围；
（2）方方说矩形的周长可以等于6，你认为方方的说法正确吗？为什么？
【分析】（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；
②直接利用y≥3得出x的取值范围；
（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．
【解析】（1）①由题意可得：xy＝3，
则y=3x；
②当y≥3时，3x≥3，
解得：x≤1，
故x的取值范围是：0＜x≤1；
（2）∵一个矩形的周长为6，
∴x+y＝3，
∴x+3x=3，
整理得：x2﹣3x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，
∴矩形的周长不可能是6；
所以方方的说法不对．
23．（2019秋•拱墅区校级期末）已知一次函数y1＝kx+b（其中k、b为常数且k≠0）
（1）若一次函数y2＝bx﹣k，y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值；
（2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，求此时一次函数y1的表达式．
【分析】（1）把点（2，3）分别代入y1和y2，联立方程组，求出k和b的值即可；
（2）根据题意可得y1＝kx+k﹣1，分k＞0，k＜0两种情况，结合一次函数的性质求出k的值即可．
【解析】（1）∵y1与y2的图象交于点（2，3），
∴把点（2，3）代入y1与y2的解析式得，
2k+b=32b−k=3，
解得，k=35b=95；
（2）根据题意可得y1＝kx+k﹣1，
①当k＞0时，在﹣2≤x≤2时，y1随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y1＝3k﹣1＝3，
∴k=43，
∴y1=43x+13；
②当k＜0时，在﹣2≤x≤2时，y1随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y1＝﹣k﹣1＝3，
∴k＝﹣4，
∴y1＝﹣4x﹣5．
综上所述，y1=43x+13或y1＝﹣4x﹣5．
24．（2020•河南模拟）河南灵宝苹果为中华苹果之翘楚，被誉为“中华名果”．某水果超市计划从灵宝购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果．已知2箱红富士苹果的进价与3箱新红星苹果的进价的和为282元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元
（1）求每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？
（2）如果购进红富士苹果有优惠，优惠方案是：购进红富士苹果超过20箱，超出部分可以享受七折优惠．若购进a（a＞0，且a为整数）箱红富士苹果需要花费w元，求w与a之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，超市决定在红富士、新红星两种苹果中选购其中一种，且数量超过20箱，请你帮助超市选择购进哪种苹果更省钱．
【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元；
（2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以写出w与a之间的函数关系式；
（3）根据题意，可以列出相应的不等式，从而可以得到超市选择购进哪种苹果更省钱．
【解析】（1）设每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是x元、y元，
2x+3y=282x−y=6，得x=60y=54，
答：每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是60元、54元；
（2）当0＜a≤20且a为整数时，w＝60a，
当a＞20且a为整数时，w＝20×60+60（a﹣20）×0.7＝42a+360，
由上可得，w与a之间的函数关系式为w=60a(0＜a≤20且a为整数)42a+360(a＞20且a为整数)；
（3）当54a＜42a+360时，得a＜30，即a＜30时，购进新红星这种苹果更省钱，
当54a＝42a+360，即a＝30，即当a＝30时，购买红富士和新红星花费一样多；
当54a＞42a+360，得a＞30，即当a＞30时，购买红富士这种水果更省钱．
25．（2020春•韩城市期末）端午节期间，小刚一家乘车去离家380km的某地游玩，他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的三段函数图象如图所示：
（1）汽车在OA段与BC段哪段行驶的速度较快？
（2）求线段AB对应的函数解析式；
（3）小刚一家出发1.5小时时离目的地多远？
【分析】（1）观察图象，分别求出各部分的速度即可得出结论；
（2）设AB段图象的函数表达式为y＝kx+b，将A、B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；
（3）先将x＝1.5代入AB段图象的函数表达式，求出对应的y值，进一步即可求解．
【解析】（1）OA段汽车行驶的速度为：80÷1＝80（km/h），
BC段汽车行驶的速度为：（380﹣320）÷1＝60（km/h），
60km/h＜80km/h，
故汽车在OA段行驶的速度较快；
（2）设AB段图象的函数表达式为y＝kx+b．
∵A（1，80），B（3，320）在AB上，
∴k+b=803k+b=320，
解得：k=120−40，
∴y＝120x﹣40（1≤x≤3）；
（3）当x＝1.5时，y＝120×1.5﹣40＝140，
380﹣140＝240（km）．
故小刚一家出发1.5小时时离目的地240km远，
26．（2019秋•邳州市期末）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）请直接写出直线l的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
【分析】（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求解；
（2）证明△ABC为等腰直角三角形，则S△ABC=12AB2=132；
（3）分点P在第一象限、点P在第四象限两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，则0=3k+bb=2，解得：k=−23b=2，
故直线l的表达式为：y=−23x+2；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC=12AB2=132；
（3）连接BP，PO，PA，则：
①若点P在第一象限时，如图1：
∵S△ABO＝3，S△APO=32a，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO=132，
即1+32a−3=132，解得a=173；
②若点P在第四象限时，如图2：
∵S△ABO＝3，S△APO=−32a，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP=132，
即3−32a−1=132，解得a＝﹣3；
故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为173或﹣3．
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