2023届安徽省马鞍山市高三二模数学试卷

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2023年高三二模参考答案数  学 本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．选D．2．选C．3．选B．4．选B．5．选A．6．选D．7．选B．8．选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．【答案】选BCD 10．【答案】选ABC 11．【答案】选BD 12．【答案】选ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案】  14．【答案】  15．【答案】20  16．【答案】． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知等差数列的前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【解析】（1）设数列的公差为，由成等比数列，得即，解得，当时不合题意，所以，即；       （5分）（2）由（1）得所以所以．  （10分） 18．（12分）在中，角所对的边分别为，且．（1）求；（2）已知，，求的面积．【解析】（1）由题设得，由余弦定理，，整理得，所以．             （6分）（2）由（1）知，由余弦定理得，解得，故的面积为．         （12分）  19．（12分）大气污染物（大气中直径小于或等于2.5的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康．为了研究的浓度是否受到汽车流量等因素的影响，研究人员选择了24个社会经济发展水平相近的城市，在每个城市选择一个交通点建立监测点，统计每个监测点24内过往的汽车流量（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点空气中的平均浓度（单位：），得到的数据如下表：城市编号汽车流量浓度城市编号汽车流量浓度11.3066111.8213521.4476121.439930.7821130.923541.65170141.445851.75156151.102961.75120161.8414071.2072171.114381.51120181.656991.20100191.5387101.47129200.9145 （1）根据上表，若24内过往的汽车流量大于等于1500辆属于车流量大，大于等于75属于空气污染．请结合表中的数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为车流量大小与空气污染有关联？（2）设浓度为，汽车流量为．根据这些数据建立浓度关于汽车流量的线性回归模型，并求出对应的经验回归方程（系数精确到0.01）．0.1000.0500.0102.7063.8416.635 附：，，，，，．在经验回归方程中，．【解析】（1）由题知，列二联表，如下图 汽车流量大于等于1500辆汽车流量小于1500辆合计大于等于757411小于75189合计81220       ，依据小概率值的独立性检验，可以认为车流量大小与空气污染有关联．  （5分）（2）由题知，，，故浓度关于汽车流量的经验回归方程为．     （12分） 
20．（12分）如图，已知四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，，．（1）求证：；（2）若平面平面，且中，边上的高为3，求的长．         【解析】（1）设线段中点为，连接，，由及得且，又，所以平面，又平面，所以．                                            （5分）（2）过点作垂直直线于点，则，因为平面平面，平面平面，及平面，所以平面，连接，由，，易知，所以四边形是菱形，因为，所以四边形是正方形，且两两互相垂直，以为空间直角坐标系原点，分别以，，方向为轴正半轴，轴正半轴，轴正半轴，建立如图空间直角坐标系．设，则，，，，即，，，，设平面的法向量为，则，，得，；不妨取，则，同理可得平面的一个法向量，由平面平面得，所以，即．           （12分）   21．（12分）已知双曲线的焦距为，离心率．（1）求双曲线的方程；（2）设为双曲线上异于点的两动点，记直线的斜率分别为，若，求证：直线过定点．【解析】（1）由题意知，，，解得，所以双曲线的方程为．            （4分）（2）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，与联立，得，设，，则，        （6分）由得，即，即，即，将代入上式并整理得，   （9分）即，故或．当时，直线方程为过定点；当时，直线方程为过点与题意矛盾．综上，直线过定点．             （12分）  22．（12分）已知函数．（1）求函数的零点；（2）证明：对于任意的正实数，存在，当时，恒有． 【解析】（1）由题，，定义域为，因为，所以函数在区间上单调递减．  （3分）又，故函数的零点为．           （5分）（2）由（1）可知时，，即，因此，进而．注意到，当时，等价于，等价于，于是，对于任意的正实数，取，则当时，有，即证．       （12分）