2022宁波慈溪高一下学期期末考试数学含解析

慈溪市2021学年第二学期高一期末测试高中数学学科试题

一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 复数的虚部为（    ）

A. 1 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接由复数虚部的定义求解即可

【详解】因为复数，

故的虚部为，

故选：B

2. 已知向量，若，则（    ）

A. 1 B.  C. 4 D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标公式求解即可

【详解】因为，故，故

故选：A

3. 若把数据，改变为，则它们的（    ）

A. 平均数与方差均不改变 B. 平均数改变，方差保持不变

C. 平均数不变，方差改变 D. 平均数与方差均改变

【答案】B

【解析】

【分析】直接由平均数和方差的定义计算即可求解.

【详解】数据的平均数，

数据的平均数为，平均数发生变化；

数据的方差，

数据的方差为，方差不发生变化.

故选：B.

4. 已知两条不重合的直线，平面，（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】利用直线与平面的位置关系可以判断ACD；利用线面垂直的性质定理可判断B.

【详解】对于A，若，则，也可能相交，也可能异面，故A错误；

对于B，利用线面垂直的性质定理知，若，则，故B正确；

对于C，若，则或，故C错误；

对于D，若，则，或，故D错误；

故选：B

5. 若经研究得出某地10名新冠肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为，则这10个数据的第80百分位数是（    ）

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

【答案】C

【解析】

【分析】根据百分位数的计算公式求解即可

【详解】由题意，，故第80百分位数是

故选：C

6. 若甲、乙、丙三人排队，则甲不排在第一位的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先列举出所有基本事件，再找出甲不排在第一位的基本事件，由古典概型求解即可.

【详解】甲、乙、丙三人排队的可能顺序有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种情况，

其中甲不排在第一位的有4种情况，则甲不排在第一位的概率为.

故选：D.

7. 在中，设，若，则的最大值为（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】先由结合余弦定理求得，再由基本不等式求得，由数量积的定义即可求得的最大值.

【详解】由可得，又，则，

又，可得，当且仅当时取等，此时的最大值为.

故选：D.

8. 在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设球的半径为r，由等积法得，由此可求得设球的半径为r，再根据球的表面积公式可求得答案.

【详解】解：因为平面，平面，平面，平面，

所以，，，

又，

所以平面，所以，

所以均为直角三角形，

设球的半径为r，则，

而，，

所以，解得，

所以球的表面积为，

故选：A.

二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9. 某校高一年级开设了甲､乙两个课外兴趣班，供学生们选择，记事件“只选择甲兴趣班"，=“至少选择一个兴趣班”，=“至多选择一个兴趣班”，“一个兴趣班都不选”，则（    ）

A. 与是互斥事件

B. 与既是互斥事件也是对立事件

C. 与不是互斥事件

D. 与是互斥事件

【答案】BC

【解析】

【分析】根据互斥事件，对立事件的概念判断即得.

【详解】事件“只选择甲兴趣班"；=“至少选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，选择甲乙两种兴趣班；=“至多选择一个兴趣班”，包含选择甲兴趣班，选择乙兴趣班，两种兴趣班都不选择；“一个兴趣班都不选”；

所以，与不是互斥事件，故A错误；

与既是互斥事件也是对立事件，故B正确；

与不是互斥事件，故C正确；

与不是互斥事件，故D错误.

故选：BC

10. 若复数满足：为的共轭复数，则（    ）

A.  B.

C. 在复平面对应的点位于第二象限 D. 是纯虚数

【答案】ABD

【解析】

【分析】先由复数的运算化简求出，由复数的模长即可判断A选项；求出，由复数的乘法运算即可判断B选项；由复数的几何意义即可判断C选项；由复数的除法运算及纯虚数的含义即可判断D选项.

【详解】，则，则，A正确；

，，B正确；

在复平面对应的点为，位于第三象限，C错误；

，D正确.

故选：ABD.

11. 如图，在长方体中，，在线段上运动，则（    ）

A. 平面平面

B. 存在点，使得

C. 的最大值为

D. 的最小值为

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A，由平面即可判断；对于B，假设存在，由得平面，进而得到，又不垂直，推出矛盾即可判断；对于C，由结合余弦定理即可判断；对于D，将平面绕旋转至与平面共面，解三角形即可求出的最小值.

【详解】对于A，易得平面，又平面，则平面平面，A正确；

对于B，连接，若存在点，使得，因为平面，平面，则，

又，平面，则平面，又平面，则，

又，则，又，显然不垂直，故不存在点，使得，B错误；

对于C，连接，易得，则，

当时，易得，当时，易得为钝角，由余弦定理得，

即，即为钝角，C错误；

对于D，将平面绕旋转至与平面共面，如图所示，易得的最小值即为，

作交延长线于，易得，又，则，

，即的最小值为，D正确.

故选：AD.

12. 已知关于向量方程：，其中向量，则（    ）

A. 关于向量的方程的解为（因为）

B. 向量与的夹角是锐角

C. 满足该方程的向量有无穷个

D.

【答案】CD

【解析】

【分析】设，求出，将方程转化为，利用向量的夹角及圆的性质依次判断即可.

详解】

设，则，则，整理得，

易得为以为圆心，为半径的圆上的点，则满足方程的有无数个，C正确；A错误；

设圆心为，连接并延长交圆于两点，则，显然当或时，与的夹角是，B错误；

易得，由图象可知，当时，有最小值为；当时，，有最小值为，则，D正确.

故选：CD.

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知向量、满足，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由平面向量的坐标运算可求得向量的坐标.

【详解】由已知可得.

故答案为：.

14. 给出下列关于“用样本估计总体”中的四个结论：

①中位数对极端值不敏感；

②若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生变化；

③标准差的大小不会超过极差；

④方差越小，说明这组数据越集中.

其中，正确的结论是___________.（用序号表示，把你认为正确的结论的序号都填上）

【答案】①③④

【解析】

【分析】由平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差的概念依次判断即可.

【详解】对于①，中位数是将数据从小到大排列后，最中间的1个数或2个数的平均数，所以中位数对极端值不敏感，①正确；

对于②，改变一组数据中的一个数，中位数和众数可能不发生变化，②错误；

对于③，设样本为，样本均值为，样本中的最大值和最小值分别为，

则标准差，③正确；

对于④，方差反映数据的离散程度，方差越小，说明这组数据越集中，④正确.

故答案为：①③④.

15. 宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北堍，建于清同治十一年（公元1872年）.光绪二十五年（1899年）增建钟楼，整座建筑由教堂､钟楼､偏屋组成，造型具有典型罗马哥特式风格.其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体所组成的几何体，若正四棱锥的侧棱长､底面边长与正方体的棱长均为，则顶端部分的体积为_____________

【答案】##

【解析】

【分析】先求出正四棱锥的高，进而得到正四棱锥的体积，再求出正方体的体积即可求解.

【详解】

如图在正四棱锥中，连接交于点，连接，则底面，又，

则，则，又正方体的体积为，则顶端部分的体积为.

故答案为：.

16. 设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】设，由得，进而求得，，即可求得.

【详解】设，由可得，

即，整理得，

即，

则；又复数对应的向量为，

则，，

则，

，

则，则，则.

故答案为：.

四､解答题（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或验算步骤.）

17. 已知向量满足，，且.

（1）求；

（2）设向量，记，求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由数量积的定义求出，再由结合数量积的运算律即可求解；

（2）先求出，再由向量夹角公式求解即可.

【小问1详解】

由题知，

所以；

【小问2详解】

因为；

，同理可求得；

所以.

18. 某校数学期末考试中有8道单项选择题，满分40分，每道题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，评分标准规定：答对得5分，不答或者答错得0分.某考生每道选择题都选出了一个答案，能确定其中有4道题的答案是正确的，而其余4题中，有一道题可以排除两个错误选项，有两道题都能排除一个错误选项，还有一道题因题意理解不清，只能随机猜测.

（1）求该考生得满分40分概率；

（2）问该考生得多少分的概率最大？

【答案】（1）；   

（2）该考生得25分的概率最大.

【解析】

【分析】（1）利用独立事件的乘法公式求其余4题全对的概率，即可得结果.

（2）由考生总得分X的取值有20、25、30、35、40，再应用独立事件乘法公式及互斥事件加法公式求各对应得分的概率并比较大小，即可得答案.

【小问1详解】

由题设知，在其余4道题中，有一道题答对的概率为，有两道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，

所以该考生单项选择题得40分的概率为.

【小问2详解】

设该考生总得分为X，则X的取值有：20，25，30，35，40.

依题意，.

，

同理：，，，

所以该考生得25分的概率最大.

19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是等腰三角形且为的中点，在上且底面.

（1）求证：侧面；

（2）当底面为正方形且侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先证，由侧面底面证得侧面，进而证得，即可证得侧面；

（2）连接AC，过O作，先证得，，则，再求出，即可求解.

【小问1详解】

因为是等腰三角形且，M为PD的中点，所以，因为侧面，且底面，

所以侧面底面，因为，所以侧面，因为侧面，所以，

因DC，侧面，且，所以侧面.

【小问2详解】

连接AC，过O作，交于点N，因为是正方形，所以，所以，

又因为底面，底面，所以，又平面，，

所以平面，又平面，所以，所以，不妨设等边三角形的边长为2，

则，，所以在直角三角形中，.

20. 核酸检测的物质是病毒的核酸.核酸检测是查找患者的呼吸道标本中是否存在外来入侵的病毒的核酸，来确定是否被新冠病毒感染.新冠病毒感染人体之后，首先会在呼吸道系统中进行繁殖，因此可以通过检测痰液，鼻咽拭子中的病毒核酸，来判断人体是否感染病毒.所以说，核酸检测阳性可以作为新型冠状病毒感染确诊的标准.为了解某核酸检测点检测人群的排队等待时间，随机调查了该检测点某天检测的100人，制成如下频率分布直方图.

（1）求样本中等待时间大于15分钟的人数及的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名检测者等待时间的

（i）中位数（结果用分数表示）；

（ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）

【答案】（1）人，   

（2）（i）；（ii）

【解析】

【分析】（1）利用频数，频率，总数的关系可求得样本中等待时间大于15分钟的人数，再利用频率和为1可求得的值；

（2）利用频率分布直方图中的平均数，中位数的计算公式可求解；

【小问1详解】

样本中等待时间大于15分钟的人数为：人.

由，解得

【小问2详解】

（i）设中位数为1，则易知

，解得

（ii）这100名检测者等待时间的平均值为：

21. 在中，内角所对的边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）先由正弦定理及和角公式得，进而求得，即可求解；

（2）由正弦定理得，结合三角恒等变换得，由角的范围求出的范围，再由面积公式即可求得面积的范围.

【小问1详解】

由正弦定理得：，所以，

又因为，所以，，又，所以.

【小问2详解】

由（1）知，又是锐角三角形，所以，由正弦定理得，

得，

因为，所以，所以ac的取值范围为，因为，

所以面积的取值范围为.

22. 如图，在多面体中，，，平面平面是棱上一点.

（1）求证：；

（2）若，求证：平面；

（3）若平面，求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）证明见解析；    （3）

【解析】

【分析】（1）由余弦定理求得，又是等腰直角三角形，则，即可证得；

（2）由与相似得，即可证得平面；

（3）取CD中点M，连接AM交BD于点N，由得即为直线与平面所成的角，解三角形求得即可求解.

【小问1详解】

连接AC，交BD于点O，连接OP，在中，，所以，

又，可知是等腰直角三角形，且，所以，

即，又，所以；

【小问2详解】

由（1）显然知与相似，所以，又，

所以，又因为平面PBD，平面PBD，所以平面PBD；

【小问3详解】

取CD中点M，连接AM交BD于点N，连接PN，则，且，所以四边形是平行四边形，

则，N为BD中点，.因为SA⊥平面PBD，所以直线PN是直线AM在平面PBD内的射影，

所以是直线与平面所成的角，即为直线BC与平面PBD所成角的平面角.

过点A作，垂足为E，连接SE，PE，在等腰直角中，，所以，

因为平面平面ABCD，交线为BD，平面，所以平面SBD，又平面，

所以，所以，在直角中，由平面，平面，

则，，可求得，所以.所以直线BC与平面PBD所成角的正弦值.