2023大同高一上学期11月期中数学试题含解析

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2022—2023学年度第一学期期中教学质量监测试题（卷）高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算．【详解】由题意或，，所以故选：B．2. 命题“，”的否定是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，然后直接判断作答.【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定是“，”.故选：A3. 已知幂函数的图像过点，则对的表述正确的有（    ）A. 是奇函数，在上是减函数 B. 是奇函数，在上是增函数C. 是偶函数，在上是减函数 D. 是偶函数，在上是减函数【答案】C【解析】【分析】根据幂函数定义求解出函数的解析式，再根据解析式分析函数的奇偶性和单调性可得出答案.【详解】依题意可设，则，解得，所以，故是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数．故选：C.4. “不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分不必要条件的概念求出选项.【详解】不等式在R上恒成立，即，对A，“”无法推出“”，反之“”也无法推出“”，故“” 是不等式在R上恒成立的既不充分也不必要条件，故A错误；对B，“”无法推出“”，反之，“”可以推出“”，故“”是不等式在R上恒成立的必要不充分条件，故C错误，对C，，但“”不能推出“”成立，故是不等式在R上恒成立的充分不必要条件，故C正确，对D，显然是充要条件，故D错误，故选：C.5. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3若某户居民本月缴纳的水费为90元，则此户居民本月的用水量为（    ）A. 17 B. 18 C. 19 D. 20【答案】D【解析】【分析】根据给定条件求出水费与水价的函数关系，再由给定函数值计算作答.【详解】依题意，设此户居民月用水量为，月缴纳的水费为y元，则，整理得：，当时，，当时，，因此，由得：，解得，所以此户居民本月的用水量为.故选：D6. 函数的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】首先求出函数的定义域，再将函数改写成分段函数，最后根据函数在上的单调性判断即可；【详解】解：因为，所以定义域为，所以，当时，因为与在上单调递增，所以函数在定义域上单调递增，故排除A、C、D，故选：B7. 已知定义在R上的奇函数满足，若，则（    ）A.  B.  C. 0 D. 2【答案】B【解析】【分析】由条件可得是周期函数，周期为4，然后可得答案.【详解】因为定义在R上奇函数满足，所以所以，所以是周期函数，周期为4所以故选：B8. 函数的定义域为R，对任意的，有，且函数为偶函数，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由条件有在上单调递减，函数为偶函数，则的图像关于直线对称，由对称性和单调性可得的大小关系.【详解】对任意的，有,即对任意的,设，都有，所以在上单调递减.又函数为偶函数，即.则的图像关于直线对称.所以, 则.故选：B.【点睛】本题考查函数单调性的定义及其应用，考查函数的奇偶性和对称性，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列各组函数不是同一个函数的是（    ）A ，B. ，C. ，D. ，【答案】BCD【解析】【分析】利用相同函数的意义，逐项分析判断作答.【详解】对于A，两个函数定义域都为R，对应法则相同，只是表示自变量的符号不同，A是同一函数；对于B，函数定义域为R，定义域为非零实数集，B不是同一函数；对于C，函数定义域为，而定义域为，C不是同一函数；对于D，函数定义域为R，定义域为非零实数集，D不是同一函数.故选：BCD10. 下列说法正确的是（    ）A. 若是奇函数，则一定有B. 函数在定义域内是减函数C. 若的定义域为，则的定义域为D. 函数的值域为【答案】CD【解析】【分析】举例说明判断A；求出函数单调区间判断B；求出复合函数的定义域判断C；利用单调性求出函数值域判断D作答.【详解】对于A，函数是奇函数，当时，函数值不存在，A不正确；对于B，函数定义域为，在上都递减，在定义域上不单调，B不正确；对于C，因为定义域为，则在中，由得：，所以的定义域为，C正确；对于D，函数的定义域为，且在上单调递增，于是得时，，所以函数的值域为，D正确.故选：CD11. 已知正数m，n满足，则下列说法正确的是（    ）A. 的最大值为 B. 的最大值为4C. 的最小值为4 D. 的最小值为8【答案】ABD【解析】【分析】由,变形,得到,转化为二次函数求解判断A，利用基本不等式求解即可判断BCD，注意取等条件.【详解】对A选项，由题得,，则当时,取得最大值,所以A正确，对B选项，由题得,当且仅当，，即时,等号成立，所以B正确，对C选项，，当且仅当，，即时，等号成立,所以C不正确，对D选项，，当且仅当，，即,时,等号成立,所以D正确.故选：ABD.12. 对于定义在D函数若满足：①对任意的，；②对任意的，存在，使得．则称函数为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（    ）．A.  B. C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据已知“等均值函数”的定义，逐项分析验证所给函数是否满足所给的两个条件，即可判断答案.【详解】对于定义域为R，满足，满足，对任意的，存在，使得,故A正确；对于，若，则，则 ，若，则，则 ，即满足①；对任意的，存在，使得，对任意的，存在，使得，即满足②，故B正确；对于，定义域为，对任意的，都有成立，满足①；对任意的，存在，使得，即满足②，故C正确；对于，定义域为，当时，，故对任意的，不成立，故D错误，故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.13. 二次函数的函数图像与x轴两交点之间的距离为______.【答案】7【解析】【分析】令求出与x轴两交点，即可算出答案.【详解】因为，令得，解得，所以，函数图像与x轴两交点之间的距离为.故答案为：714. 若“，”是真命题，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由原命题为真命题，结合能成立利用函数最值求解即可.【详解】由题意，“，”是真命题对于能成立，只需要即可，令，对称轴为，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即,所以实数的取值范围是.故答案为：.15. 若函数在上为增函数，则取值范围为_____.【答案】【解析】【详解】函数在上为增函数，则需，解得，故填.16. 已知正实数满足，则的最小值是___________.【答案】##【解析】【分析】构造函数，结合条件及函数的单调性可得，然后利用基本不等式即得.【详解】设，则函数为增函数，∵，∴，即∴，∴，当且仅当，即取等号.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而得到，再利用基本不等式可求.四、解答题：本题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合U为全体实数，或，.（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）把代入，利用补集、交集的定义求解作答.（2）根据给定条件，结合集合的包含关系分类求解作答.【小问1详解】当时，，而，所以.【小问2详解】由，得，当时，，解得，满足； 当时，，即，则有或，解得或，因此，所以实数的取值范围是.18. 设命题实数x满足，其中，命题实数x满足.（1）若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；（2）若P是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）分别假设为真命题，解二次不等式解得，再取两者交集即可；（2）先解命题中的二次不等式，再由必要不充分条件得到集合间的关系，从而利用数轴法即可得解.【小问1详解】当时，若命题p为真命题，则由解得，若命题q为真命题，则由解得，因为与均是真命题，所以，即；【小问2详解】由得，又，则有，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，则有，其中等号不能同时取得，解得，故实数的取值范围是.19. 函数是定义在上的奇函数，且.（1）确定的解析式；（2）解关于t的不等式.【答案】（1），；    （2）【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用特值求出a，b，再利用奇函数定义判断作答.（2）结合（1），判断函数的单调性，再利用奇函数及单调性解不等式作答.【小问1详解】函数是定义在上的奇函数，则，解得，而，即，解得，此时，，，即函数是奇函数，所以函数的解析式是，.【小问2详解】函数在上为增函数，，，， 因为，则，，，，因此，即，于是得在上为增函数，由（1）知，不等式，从而，解得，所以所求不等式的解集为.20. 2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）125.    （2）存在，.【解析】【分析】（1）根据题意，得到，解得，结合条件，可求得，由此可知调整后的研发人员的人数最少为125人；（2）由条件①得，由条件②得，假设存在同时满足以上两个条件，则上述不等式恒成立，进而求得，即，故确定存在，且.【小问1详解】依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，则，整理得，解得，因为且，所以，故，所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为125人.小问2详解】由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，上式两边同除以得，整理得；由条件②由技术人员年人均投入不减少，得，解得；假设存在这样的实数, 使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，即恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立, 所以，又因为，当时，取得最大值，所以，所以，即，即存在这样的满足条件，其范围为.