人教版高中数学选择性必修第一册第一章1-1-1空间向量及其线性运算习题含答案

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第一章　空间向量与立体几何1.1　空间向量及其运算1.1.1　空间向量及其线性运算A级 必备知识基础练1.给出下列命题:①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点构成一个圆;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p;④空间中任意两个单位向量必相等;⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是(　　)A.1 B.2 C.3 D.42.(多选题)下列说法错误的是(　　)A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线3.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=(　　)A.D1B1 B.D1B C.DB1 D.BD14.已知MA,MB是空间两个不共线的向量,MC=3MA-2MB,那么必有(　　)A.MA,MC共线 B.MB,MC共线C.MA,MB,MC共面 D.MA,MB,MC不共面5.在空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式中成立的是(　　)A.EB+BF+EH+GH=0B.EB+FC+EH+GE=0C.EF+FG+EH+GH=0D.EF-FB+CG+GH=06.如图,在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,设AB=a,AD=b,AA1=c,则CE=(　　)A.-a-12b+c B.a-12b+cC.a-12b-c D.a+12b-c7.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心,若EF+λA1D=0(λ∈R),则λ=　　　　　. 8.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知AB=e1+ke2,BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值是　　　　　. 9.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中:(1)单位向量共有多少个?(2)试写出模为5的所有向量.(3)试写出与AB相等的所有向量.(4)试写出AA1的相反向量.B级 关键能力提升练10.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且AO+OB=DO+OC,则四边形ABCD是(　　)A.空间四边形 B.平行四边形C.等腰梯形 D.矩形11.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点.若PA=a,PB=b,PC=c,则BE=(　　)A.12a-12b+12cB.12a-12b-12cC.12a-32b+12cD.12a-12b+32c12.已知正方体ABCD -A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1,那么M必(　　)A.在平面BAD1内 B.在平面BA1D内C.在平面BA1D1内 D.在平面AB1C1内13.(多选题)在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题中错误的是 (　　)A.OA+OD与OB1+OC1是一对相等向量B.OB-OC与OA1-OD1是一对相反向量C.OA1-OA与OC-OC1是一对相等向量D.OA+OB+OC+OD与OA1+OB1+OC1+OD1是一对相反向量14.(多选题)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列选项中正确的有(　　)A.AB-CB=ACB.AC'=AB+B'C'+CC'C.AA'=CC'D.AB+BB'+BC+C'C=AC'15.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任一点,若由OP=15OA+23OB+λOC确定的一点P与A,B,C三点共面,则λ=　　　　　. 16.已知正方体ABCD -A1B1C1D1,A1E=14A1C1,若AE=xAA1+y(AB+AD),则x=　　　　,y=　　　　. 17. 在长方体ABCD -A1B1C1D1中,M为DD1的中点,点N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证:A1N与A1B,A1M 共面.C级 学科素养创新练18.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不同为0的实数λ,m,n,使λOA+mOB+nOC=0,那么λ+m+n的值为　　　　　. 1.1.1　空间向量及其线性运算1.D　①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1,但方向不一定相同,所以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.2.ABC3.D　在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=(BA+BC)+DD1=BD+DD1=BD1.4.C　由共面向量定理知,MA,MB,MC共面.5.B　EB+FC=EB+BF=EF,EH+GE=GH,易证四边形EFGH为平行四边形,故EF+GH=0,故选B.6.A　根据向量减法的三角形法则得到CE=AE-AC=AA1+A1E-(AB+BC)=c+12b-a-b=-a-12b+c.故选A.7.-12　在△C1A1D中,EF是其中位线,所以EF∥A1D,且EF=12A1D,因此当EF+λA1D=0时,λ=-12.8.1　因为BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2,所以BD=BC+CD=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.又因为A,B,D三点共线,所以AB=λBD,所以e1+ke2=λ(6e1+6e2).因为e1,e2是不共线向量,所以1=6λ,k=6λ,故k=1.9.解(1)模为1的向量有A1A,AA1,B1B,BB1,C1C,CC1,D1D,DD1,共8个单位向量.(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为5,因此模为5的向量为AD1,D1A,A1D,DA1,BC1,C1B,B1C,CB1.(3)与向量AB相等的向量(除它自身之外)为A1B1,DC及D1C1.(4)向量AA1的相反向量为A1A,B1B,C1C,D1D.10.B　由已知得AB=DC,即AB,DC是相等向量,因此AB,DC的模相等,方向相同,即四边形ABCD是平行四边形.11.C　BE=12(BP+BD)=-12PB+12(BA+BC)=-12PB+12BA+12BC=-12PB+12(PA-PB)+12(PC-PB)=-32PB+12PA+12PC=12a-32b+12c.故选C.12.C　由于PM=PB1+7BA+6AA1-4A1D1=PB1+BA+6BA1-4A1D1=PB1+B1A1+6BA1-4A1D1=PA1+6(PA1-PB)-4(PD1-PA1)=11PA1-6PB-4PD1,因此M,B,A1,D1四点共面,即M必在平面BA1D1内.13.ABC　选项A中是一对相反向量,B中是一对相等向量,C中是一对相反向量,D中也是一对相反向量.14.ABC　作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'的图象如图,可得AB-CB=AB+BC=AC,故A正确;AB+B'C'+CC'=AB+BC+CC'=AC',故B正确;C显然正确;AB+BB'+BC+C'C=AB+BC=AC,故D不正确.综上,正确的有ABC.15.215　因为点P与A,B,C三点共面,所以15+23+λ=1,解得λ=215.16.1　14　AE=AA1+A1E=AA1+14A1C1=AA1+14(AB+AD),∴x=1,y=14.17.证明∵A1B=AB-AA1,A1M=A1D1+D1M=AD-12AA1,AN=23AC=23(AB+AD),∴A1N=AN-AA1=23(AB+AD)-AA1=23(AB-AA1)+23AD-12AA1=23A1B+23A1M,∴A1N与A1B,A1M共面.18.0　∵A,B,C三点共线,∴存在实数k,使得AB=kBC.∵AB=OB-OA,BC=OC-OB,∴OB-OA=k(OC-OB),化简整理得OA-(k+1)OB+kOC=0,∵λOA+mOB+nOC=0,∴①当k=-1时,比较系数得m=0且λ=-n,∴λ+m+n=0.②当k≠-1时,可得λ1=m-k-1=nk,得m=(-k-1)λ,n=kλ;由此可得λ+m+n=λ+(-k-1)λ+kλ=0,综上所述,λ+m+n=0.