选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示测试题

这是一份选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示测试题，共13页。试卷主要包含了下列各组两个向量中,平行的有等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,则点B的坐标为( )
A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)
C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)
2.(多选题)下列各组两个向量中,平行的有( )
A.a=(1,-2,3),b=(1,2,1)
B.a=(0,-3,3),b=(0,1,-1)
C.a=(0,-3,2),b=0,1,-32
D.a=1,-12,3,b=(-2,1,-6)
3.已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量AB与AC的夹角为( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
4.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|=( )
A.7B.22C.3D.10
5. 如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是( )
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x= .
7.已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.
8.如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设AB=a,AD=b,AP=c.
(1)用向量a,b,c表示BM;
(2)在如图所示的空间直角坐标系中,求BM的坐标.
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9.已知空间向量OA=(x,y,8),OB=(z,3,4),OA∥OB,且|AB|=52,则实数z的值为( )
A.5B.-5
C.5或-5D.-10或10
10.已知O为坐标原点,OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则QA·QB取得最小值时,点Q的坐标为( )
A.12,34,13
B.34,34,32
C.43,43,83
D.43,43,73
11.(多选题)从点P(1,2,3)出发,沿着向量v=(-4,-1,8)方向取点Q,使|PQ|=18,则Q点的坐标为( )
A.(-1,-2,3)B.(9,4,-13)
C.(-7,0,19)D.(1,-2,-3)
12.(多选题)正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为2,M为B1C1的中点,则下列说法正确的是( )
A.AB1与BC1成60°角
B.若CN=13NC1,面A1MN交CD于点E,则CE=13
C.点P在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则点P的轨迹长等于2
D.E,F分别在棱DB1,A1C1上,且DEEB1=A1FFC1=2,直线EF与AD1,A1D所成角分别是α,β,则α+β=π2
13.已知点M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3),若|PQ|=3|MN|,且PQ∥MN,则MN的坐标为 ,点Q的坐标为 .
14.如图,将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,AC的长为2π3,A1B1的长为π3,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为 .
15.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a的坐标.
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16.(2021山东烟台检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,则直线D1E与A1D所成角的大小是 ,若D1E⊥EC,则AE= .
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.D ∵a=(-3,4,12),且AB=2a,∴AB=(-6,8,24).
∵A(1,-2,0),∴B(-5,6,24),故选D.
2.BD 对于B,有a=-3b,故a∥b;对于D,有b=-2a,故a∥b;而对A,C中两向量,不存在实数λ,使a=λb,故不平行.
3.C 由已知得AB=(0,3,3),AC=(-1,1,0),
因此cs=AB·AC|AB|·|AC|=332×2=12,
所以向量AB与AC的夹角为60°.
4.D ∵a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),
∴a+b=(3,0,-1),
∴|a+b|=32+02+(-1)2=10.故选D.
5. D 设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M12,1,12,N0,12,12,
∴MN=-12,-12,0,CC1=(0,0,1),
AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1B1=(0,1,0).
MN·CC1=0,∴MN⊥CC1,故A正确;MN·AC=12-12=0,∴MN⊥AC,故B正确;易知BD=2MN,且M,N∉BD,
∴MN∥BD,故C正确;设MN=λA1B1,得-12=0×λ,-12=λ,0=0×λ,无解,∴MN与A1B1不平行,故D错误.
故选D.
6.-8 由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),
所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.
7.解(1)因为a∥b,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).
又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,
解得z=2,所以c=(3,-2,2).
(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),
所以a+c与b+c所成角θ的余弦值cs θ=5-12+338×38=-219.
8.解(1)∵BM=BC+CM,BC=AD,CM=12CP,CP=AP-AC,AC=AB+AD,
∴BM=AD+12(AP-AC)=AD+12AP-12(AB+AD)=-12AB+12AD+12AP=-12a+12b+12c.
(2)a=AB=(1,0,0),b=AD=(0,1,0).
∵A(0,0,0),O12,12,0,P12,12,1,
∴c=AP=OP-OA=12,12,1,
∴BM=-12a+12b+12c=-12×(1,0,0)+12×(0,1,0)+12×12,12,1=-14,34,12.
9.C 因为OA∥OB,所以存在λ∈R,使得OA=λOB,
又|AB|=52,而AB=OB-OA=(z-x,3-y,-4),
则x=λz,y=3λ,8=4λ,(z-x)2+(3-y)2+(-4)2=50,
解得x=10,y=6,z=5,λ=2或x=-10,y=6,z=-5,λ=2.故选C.
10.C 点Q在直线OP上运动,设OQ=λOP=(λ,λ,2λ)(λ∈R),则QA=OA-OQ=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=OB-OQ=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴QA·QB=6λ-432-23,当λ=43时,QA·QB取得最小值,此时,Q43,43,83.故选C.
11.BC 设Q(x0,y0,z0),则PQ=λv,
即(x0-1,y0-2,z0-3)=λ(-4,-1,8).
由|PQ|=18,得(-4λ)2+(-λ)2+(8λ)2=18,
所以λ=±2,
所以(x0-1,y0-2,z0-3)=±2(-4,-1,8),
所以x0=-7,y0=0,z0=19,或x0=9,y0=4,z0=-13.故选BC.
12.ACD 如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).
对于A,AB1=(0,2,-2),BC1=(-2,0,-2),
cs=AB1·BC1|AB1||BC1| =422×22=12,
∴AB1与BC1成60°角,故A正确;
对于B,∵CN=13NC1,
∴N0,2,32,设E(0,m,2),则A1M=(-1,2,0),A1N=-2,2,32,A1E=(-2,m,2),由已知得A1,M,N,E四点共面,∴∃λ,μ∈R,使得A1M=λA1N+μA1E,
得-1=-2λ-2μ,2=2λ+mμ,0=32λ+2μ,
解得λ=2,μ=-32,m=43,
∴E0,43,2,∴CE=0,-23,0,|CE|=23,故B错误;
对于C,设P(2,y,z)(0≤y≤2,0≤z≤2),则MP=(1,y-2,z),DB1=(2,2,-2),
由MP·DB1=2+2y-4-2z=0,得y-z=1,
∴点P的轨迹长为线段y-z=1(1≤y≤2)的长度,为2,故C正确;
对于D,∵E,F分别在DB1,A1C1上,且DEEB1=A1FFC1=2,
∴DE=23DB1=23×(2,2,-2)=43,43,-43,A1F=23A1C1=23×(-2,2,0)=-43,43,0,
则E43,43,23,F23,43,0,则EF=-23,0,-23,则cs α=|cs|
=-43-43(-23) 2+(-23) 2×4+4=83223×22=1,
故α=0,
cs β=|cs|
=-43+43(-23) 2+(-23) 2×4+4=0,
故β=π2,即α+β=π2,故D正确.故选ACD.
13.(1,1,1) (-4,-1,-6)或(2,5,0) 由已知得MN=(1,1,1),设Q(x,y,z),
则PQ=(x+1,y-2,z+3),由题意,得
(x+1)2+(y-2)2+(z+3)2=312+12+12,x+1=y-2=z+3,
解得x=-4,y=-1,z=-6或x=2,y=5,z=0.
故点Q的坐标为(-4,-1,-6)或(2,5,0).
14.π4 以O为坐标原点,OA,OO1所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
则A(0,1,0),A1(0,1,1),B132,12,1,C32,-12,0.
所以AA1=(0,0,1),B1C=(0,-1,-1),
则AA1·B1C=02+0×(-1)+1×(-1)=-1,
所以cs=AA1·B1C|AA1|·|B1C|=-11×2=-22.
因此,异面直线B1C与AA1所成的角为π4.
15.解(1)由题中条件可知,AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),
所以cs=AB·AC|AB||AC|=-2+3+614×14=12.
于是sin=32.
故以AB和AC为邻边的平行四边形的面积为
S=|AB||AC|sin=14×32=73.
(2)设a=(x,y,z),由题意得x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,
解得x=1,y=1,z=1,或x=-1,y=-1,z=-1.
故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
16.90° 1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
又AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,2,0).
设E(1,m,0),0≤m≤2,
则D1E=(1,m,-1),A1D=(-1,0,-1),
∴D1E·A1D=-1+0+1=0,
∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°.
∵D1E=(1,m,-1),EC=(-1,2-m,0),D1E⊥EC,
∴D1E·EC=-1+m(2-m)+0=0,
解得m=1,
∴AE=1.